数学建模综合评价方法定.docx
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数学建模综合评价方法定
所谓指标就是用来评价系统的参量•例如,在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等,就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标•一般说来,任一个指标都
反映和刻画事物的一个侧面.
从指标值的特征看,指标可以分为定性指标和定量指标.定性指标是用定性的语言作为指标描述值,定量指标是用具体数据作为指标值•例如,旅游景区质量等级有5A、
4A、3A、2A和1A之分,则旅游景区质量等级是定性指标;而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标.
从指标值的变化对评价目的的影响来看,可以将指标分为以下四类:
(1)极大型指标(又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标;
(2)极小型指标(又称为成本型指标)是指标值越小越好的指标;
(3)居中型指标是指标值既不是越大越好,也不是越小越好,而是适中为最好的指标;
(4)区间型指标是指标值取在某个区间为最好的指标.
例如,在评价企业的经济效益时,利润作为指标,其值越大,经济效益就越好,这就是效益型指标;而管理费用作为指标,其值越小,经济效益就越好,所以管理费用是成本型指标.再如建筑工程招标中,投标报价既不能太高又不能太低,其值的变化围一般是(10%,5%)X标的价,超过此围的都将被淘汰,因此投标报价为区间型指标.投标工期既不能太长又不能太短,就是居中型指标.
在实际中,不论按什么式对指标进行分类,不同类型的指标可以通过相应的数学法进行相互转换
8.2.4评价指标的预处理法
一般情况下,在综合评价指标中,各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级,从而使得各指标之间存在着不可公度性,给综合评价带来了诸多不便.为了尽可能地反映实际情况,消除由于各项指标间的这些差别带来的影响,避免出现不合理的评价结果,就需要对评价指标进行一定的预处理,包括对指标的一致化处理和无量纲化处理.
1.指标的一致化处理
所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一.一般来说,在评价指标体系中,可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标,它们都具有不同的特点.如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好;而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好;对于室温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大,也不期望取值太小,而是居中为好.若指标体系中存在不同类型的指标,必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理.例如,将各类指标都转化为极大型指标,或极小型指标.一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标.但是,在不同的指标权重确定法和评价模型中,指标一致化处理也有差异.
(1)极小型指标化为极大型指标
对极小型指标Xj,将其转化为极大型指标时,只需对指标Xj取倒数:
1
Xj
Xj
或做平移变换:
XjMjXj,
其中Mjmax©”},即n个评价对象第j项指标值Xj最大者.
J1inJ
(2)居中型指标化为极大型指标
对居中型指标Xj,令Mjmax{xd,m」min{^},取
1in1in
2(Xjmj)Mjmj
Xj
Mjmjjj2
2(MjxjMjmj
jj,jjxjM
Mjmj2j
就可以将x-转化为极大型指标.
(3)
[a-,b-]时为最好,指标值离该区间越远就越
区间型指标化为极大型指标对区间型指标X-,X-是取值介于区间
差.令M-max{x-},m-min{x-},
1in1in
c-max{a-m-,M-b-},取
’a-x-
x-a-;
c-
X-1,
a-x-b-;
X-b-
1-L
x-b-.
c-
就可以将区间型指标X-转化为极大型指标.
类似地,通过适当的数学变换,也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标.
2•指标的无量纲化处理
所谓无量纲化,也称为指标的规化,是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程•因此,就有指标的实际值和评价值之分.一般地,将指标无量纲
化处理以后的值称为指标评价值•无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程.
对于n个评价对象S1,S2,L,Sn,每个评价对象有m个指标,其观测值分别为
Xi-(i1,2丄,n;j1,2,L,m).
(1)标准样本变换法
令
特点:
样本均值为0,差为1;区间不确定,处理后各指标的最大值、最小值不相同;对于指标值恒定(Sj0)的情况不适用;对于要求指标评价值X*0的评价法(如熵值法、几加权平均法等)不适用.
(2)线性比例变换法
对于极大型指标,令
minXj
X*4(1in,1jm).
*
Xj
Xij
maXXij
(maXXij
0,1in,1j
m).
Xij
该法的优点是这些变换式是线性的,且变化前后的属性值成比例•但对任一指标来说,变换后的X*1和X*0不一定同时出现.
[0,1];计算简便,并保留了相对排序关系.
特点:
当Xij0时,x*
(3)向量归一化法
m).
jm).
优点:
当Xij0时,Xij
[0,1],即
(Xj)21.
该法使0x*
1,且变换前后
对于极小型指标,令
i1
in,1j
in,1
对于极大型指标,令
正逆向不变;缺点是它是非线性变换,变换后各指标的最大值和最小值不相同.(4)极差变换法对于极大型指标,令
*Xjrniri舛
XjJ(1in,1jm).
maxXijminXij
对于极小型指标,令
*rpax勺Xj
Xj亠(1im,1jn).
maxxijmin为
1in1in
其优点为经过极差变换后,均有0X*1,且最优指标值X*1,最劣指标值
X*0•该法的缺点是变换前后的各指标值不成比例,对于指标值恒定(Sj0)的情况不
适用.
(5)功效系数法
令
*Xj河詳
X*c——d(1in,1jm).
maxXiminx”
1in1in
其中c,d均为确定的常数.c表示平移量”,表示指标实际基础值,d表示旋转量”,即
表示放大”或缩小”倍数,则X*[c,cd].
通常取c60,d40,即
*Xj円詳
Xj60g40(1in,1jm).
maxXiminXi
1in1in
则x*实际基础值为60,最大值为100,即X*[60,100].
特点:
该法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法,取值围确定,最小值为c,
最大值为cd.
3.定性指标的定量化
在综合评价工作中,有些评价指标是定性指标,即只给出定性地描述,例如:
质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等•对于这些指标,在进行综合评价时,必须先通过适当的式进行赋值,使其量化•一般来说,对于指标最优值可赋值10.0,对于指标
最劣值可赋值为0.0.对极大型和极小型定性指标常按以下式赋值.
(1)极大型定性指标量化法
对于极大型定性指标而言,如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等
级,则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0,对应关系如图8-2所示.介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值.
图8-2极大型定性指标量化法
(2)极小型定性指标量化法
对于极很低低一般高
言,如果I~I11L
分为很01.03.05.07.0
低和很低等
很咼
9.0
小型定性指标而
n指标能够
10.0咼、咼、一般、
五个等级,则可
以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0和9.0,对应关系如图8-3所示.介于两个等级之间的可
以取两个分值之间的适当数值作为量化值.
很咼
高
一般
低
很低
11
01.0
1
3.0
1
5.0
1
7.0
1
9.0
1
10.0
模糊综合评价法
在客观世界中,存在着多不确定性现象,这种不确定性有两大类:
一类是随机性现象,即事物对象是明确的,由于人们对事物的因果律掌握不够,使得相应结果具有不可预知性,例如晴天、下雨、下雪,这是明确的,但出现规律不确定;另一类是模糊性现象,即某些事物或概念的边界不清楚,使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果,例如年轻与年老、高与矮、美与丑等,这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的,而是事物的一种在结构的不确定属性,称为模糊性现象.
模糊数学就是用数学法研究和处理具有模糊性”现象的一个数学分支.而模糊综合
评价就是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,进行综合评价的一种法.
•隶属度函数的确定法
隶属度的思想是模糊数学的基本思想,确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学法建立数学模型的关键,然而这是至今尚未完全解决的问题.下面介绍几种常用的确定隶属函数的法.
⑴模糊统计法
模糊统计法是利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观法,是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的•下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程.
1以年龄为论域X,在论域X中取一固定样本点X。
27.
*°*
2设A为论域X上随机变动的普通集合,A是青年人在X上以A为弹性边界的
*00O
模糊集,对A的变动具有制约作用.其中X。
A,或XoA,使得xo对°的隶属关系具有不确定性•然后进行模糊统计试验,若n次试验中覆盖Xo的次数为mn,则称mn为
n
O
Xo对于°的隶属频率.由于当试验次数n不断增大时,隶属频率趋于某一确定的常数,
O
(Xo)
lim
n
该常数就是Xo属于°的隶属度,即
比如在论域X中取Xo
27,选择若干合适人选,请他们写出各自认为青年人最适
宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁),即将模糊概念明确化.若n次试验中覆盖27
岁的年龄区间的次数为m,则称m为27岁对于青年人的隶属频率,表8-4是抽样调查
n
统计的结果.由于27岁对于青年人的隶属频率稳定在0.78附近,因此可得到X。
27属
O
于模糊集A的隶属度°(27)0.78.
表8-427岁对青年人的隶属频率
试验次数n
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
129
隶属次数m
6
14
23
31
39
47
53
62
68
76
85
95
101
隶属频率m
n
0.60
0.70
0.77
0.78
0.78
0.76
0.76
0.78
0.76
0.76
0.75
0.79
0.78
③在论域X中适当的取若干个样本点Xi,X2,L,Xn,分别确定出其隶属度
O
A(x)(i1,2丄,n),建立适当坐标系,描点连线即可得到模糊集A的隶属函数曲线.
将论域X分组,每组以中值为代表分别计算各组隶属频率,连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线,见表8-5与图8-5所示.
确定模糊集合隶属函数的模糊统计法,重视实际资料中包含的信息,采用了统计分析手段,是一种应用确定性分析揭
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