高中导数题的解题技巧.docx
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高中导数题的解题技巧
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势:
导数应用:
导数-函数单调性-函数极值-函数最值-导数的实际应用.
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求:
了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.
例1.(2006年辽宁卷)与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
A.B.C.D.
[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力
[解答过程],,
即:
,所以.
故选A.
例2.(2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2曲线的切线
(1)关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
(2)关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.(2004年重庆卷)已知曲线y=x3+,则过点P(2,4)的切线方程是_____________.
思路启迪:
求导来求得切线斜率.
解答过程:
y′=x2,当x=2时,y′=4.∴切线的斜率为4.
∴切线的方程为y-4=4(x-2),即y=4x-4.
答案:
4x-y-4=0.
例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.
C.D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为.
故选A.
例5.(2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:
设切线的方程为
又
故选A.
解法2:
由解法1知切点坐标为由
故选A.
例6.已知两抛物线,取何值时,有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:
先对求导数.
解答过程:
函数的导数为,曲线在点P()处的切线方程为,即 ①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是的方程,故得
,消去得方程,
若△=,即时,解得,此时点P、Q重合.
∴当时,和有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以“导数”为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.(2006年天津卷)函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8.设为三次函数,且图象关于原点对称,当时,的极小值为,求出函数的解析式.
思路启迪:
先设,再利用图象关于原点对称确定系数.
解答过程:
设,因为其图象关于原点对称,即
,得
由,
依题意,,,
解之,得.
故所求函数的解析式为.
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪:
求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂,采用导数法求解较为容易。
解答过程:
由得,,即函数的定义域为.
,
又,
当时,,
函数在上是增函数,而,的值域是.
例10.(2006年天津卷)已知函数,其中为参数,且.
(1)当时,判断函数是否有极值;
(2)要使函数的极小值大于零,求参数的取值范围;
(3)若对
(2)中所求的取值范围内的任意参数,函数在区间内都是增函数,求实数的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力,以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程](Ⅰ)当时,,则在内是增函数,故无极值.
(Ⅱ),令,得.
由(Ⅰ),只需分下面两种情况讨论.
①当时,随x的变化的符号及的变化情况如下表:
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,函数在处取得极小值,且.
要使,必有,可得.
由于,故.
当时,随x的变化,的符号及的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此,函数处取得极小值,且
若,则.矛盾.所以当时,的极小值不会大于零.
综上,要使函数在内的极小值大于零,参数的取值范围为.
()解:
由()知,函数在区间与内都是增函数。
由题设,函数内是增函数,则a须满足不等式组
或
由(),参数时时,.要使不等式关于参数恒成立,必有,即.
综上,解得或.
所以的取值范围是.
例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为,且
(1)当时,函数在上单调递减,
(2)当时,由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递增.
综上所述:
当时,函数在上单调递减.
当时,函数在上单调递减,函数在上单调递增.
例12.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一:
(Ⅰ)由图像可知,在上,在上,在上,
故在上递增,在上递减,
因此在处取得极大值,所以
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设
又
所以
由即得
所以
例13.(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(Ⅱ)设,.若存在使得成立,求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)f`(x)=-[x2+(a-2)x+b-a]e3-x,
由f`(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-3=0,即得b=-3-2a,
则f`(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.
令f`(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是极值点,
所以x+a+1≠0,那么a≠-4.
当a<-4时,x2>3=x1,则
在区间(-∞,3)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(3,―a―1)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(―a―1,+∞)上,f`(x)<0,f(x)为减函数.
当a>-4时,x2<3=x1,则
在区间(-∞,―a―1)上,f`(x)<0,f(x)为减函数;
在区间(―a―1,3)上,f`(x)>0,f(x)为增函数;
在区间(3,+∞)上,f`(x)<0,f(x)为减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的单调递增,在区间(3,4)上单调递减,那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[min(f(0),f(4)),f(3)],
而f(0)=-(2a+3)e3<0,f(4)=(2a+13)e-1>0,f(3)=a+6,
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6].
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4],
由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只须仅须
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