第1课时 集合的含义优质学案Word格式.docx
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答案 某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体,因“帅哥”无明确的标准,难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体.高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体,因为标准确定.
梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.
知识点四 常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
1.y=x+1上所有点构成集合A,则点(1,2)∈A.(√)
2.0∈N但0∉N*.(√)
3.由形如2k-1,其中k∈Z的数组成集合A,则4k-1∉A.(×
)
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;
(3)某班的所有高个子同学;
(4)
的近似值的全体.
考点 集合的概念
题点 集合的概念
解
(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;
(2)能构成集合;
(3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;
(4)“
的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合,关键在于是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修1课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系内第一象限的一些点
D.所有小的正数
答案 B
解析 A中“难题”的标准不确定,不能构成集合;
B能构成集合;
C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合;
D中没有明确的标准,所以不能构成集合.
类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系:
①
∈R;
②
∉Q;
③|-3|∉N;
④|-
|∈Q;
⑤0∉N,
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
解析
是实数,①对;
不是有理数,②对;
|-3|=3是自然数,③错;
|-
|=
是无理数,④错;
0是自然数,⑤错.故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如N,R,Q,概念要清晰);
其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.
跟踪训练2 用符号“∈”或“∉”填空.
-
________R;
-3________Q;
-1________N;
π________Z.
答案 ∈ ∈ ∉ ∉
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足
∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
答案 0,1,2
解析 ∵x∈N,
∈N,∴0≤x≤2且x∈N.
当x=0时,
=
=2∈N;
当x=1时,
=3∈N;
当x=2时,
=6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提:
集合中的元素是直接给出的.
②判断方法:
首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现.
(2)推理法
对于某些不便直接表示的集合.
首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x+a>
0,a∈R,若1∉A,2∈A,则( )
A.a>
-4B.a≤-2
C.-4<
a<
-2D.-4<
a≤-2
题点 由元素与集合的关系求参数的值
答案 D
解析 ∵1∉A,∴2×
1+a≤0,a≤-2.
又∵2∈A,∴2×
2+a>
0,a>
-4,∴-4<
a≤-2.
类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素:
a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:
0,1,x.
(1)若-3∈A,求a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值;
(3)是否存在实数a,x,使A=B.
解
(1)由-3∈A且a2+1≥1,
可知a-3=-3或2a-1=-3,
当a-3=-3时,a=0;
当2a-1=-3时,a=-1.
经检验,0与-1都符合要求.
∴a=0或-1.
(2)当x=0,1,-1时,都有x2∈B,
但考虑到集合元素的互异性,x≠0,x≠1,故x=-1.
(3)显然a2+1≠0.由集合元素的无序性,
只可能a-3=0或2a-1=0.
若a-3=0,则a=3,
A={a-3,2a-1,a2+1}
={0,5,10}≠B.
若2a-1=0,则a=
,
≠B.
故不存在这样的实数a,x,使A=B.
反思与感悟 元素的无序性主要体现在:
①给出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;
②给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.
跟踪训练4 已知集合M中含有三个元素:
2,a,b,集合N中含有三个元素:
2a,2,b2,且M=N,求a,b的值.
解 方法一 根据集合中元素的互异性,
有
或
解得
再根据集合中元素的互异性,得
方法二 ∵两个集合相等,则其中的对应元素相同.
∴
即
∵集合中的元素互异,
∴a,b不能同时为零.
当b≠0时,由②得a=0或b=
.
当a=0时,由①得b=1或b=0(舍去).
当b=
时,由①得a=
当b=0时,a=0(舍去).
1.下列给出的对象中,能组成集合的是( )
A.一切很大的数
B.好心人
C.漂亮的小女孩
D.清华大学2018年入学的全体学生
2.下面说法正确的是( )
A.所有在N中的元素都在N*中
B.所有不在N*中的数都在Z中
C.所有不在Q中的实数都在R中
D.方程4x=-8的解既在N中又在Z中
答案 C
3.由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________.
考点 集合中元素的特征
题点 集合中元素的个数
答案 3
4.下列结论不正确的是________.(填序号)
①0∈N;
②
∈Q;
③0∉Q;
④-1∈Z.
题点 判断元素与集合的关系
答案 ③
5.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,求实数m的值.
解 由元素互异性知m≠0,m2-3m+2≠0.由2∈A可知:
若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;
若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,
当m=0时,与m≠0相矛盾,
当m=3时,此时集合A中的元素为0,3,2,符合题意.
故实数m=2.
1.考察对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体,如果有,能构成集合,如果没有,就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系:
a∈A,a∉A.
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性:
指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性:
集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
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