等边三角形专题最新含详细讲解析Word格式.docx
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A.2
4.(2011?
南平)边长为
B.
!
4
2:
的正三角形的高为(
c..-;
)
D.3
A.2B.4C.4D.2二
A.
3
5S1=2S2
B.
2S[=3S2
C.
2S1=■:
S2
D.
.4=252
&
(2007?
娄底)如图,△ABC是边长为6cm
AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为(
的等边三角形,被一平行于
BC的矩形所截,
1cm2
c2
2cm
3v'
cm2
3cm
出设厶CDH、△GHE的面积分别为◎、生,则()
D
H
G
5.(2010?
随州)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE丄AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,贝UDE的长为()
A._
1~|
2
D.不能确定
6.(2009?
攀枝花)如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,
AD与CE交于点F,则/DFC的度数为(
A.60°
45°
40°
D.30°
7.(2007?
绵阳)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、
9.(2006?
天津)如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC和厶EBC都是等边三角形,
AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE◎△DCB:
②CM=CN;
③AC=DN.其中,正确结论的个数是()
A.3个B.2个C.1个D.0个
10.(2006?
南宁)如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除
外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小
11.(2007?
南充)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40。
的方向行驶40海里到达B
地,再由B地向北偏西20。
的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距()
A.30海里B.40海里C.50海里|d.60海里|
12.(2006?
曲靖)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则/A等于()
A.25°
B.30°
C.45°
D.60°
13.(2011?
茂名)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且
CG=CD,DF=DE,则/E=度.
14.(2008?
日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE:
②PQ//AE:
③AP=BQ:
⑤/AOB=60度.恒成立的结论有.(把你认为正确的序号都填上)
15.(2005?
扬州)如图,将边长为4的等边△ABC,沿x轴向左平移2个单位后,得到△A'
B'
C'
,则点A'
的坐标为.
16(2004?
茂名)如图,正三角形A1B1C1的边长为1,△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2
△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3,…,如此类推,得到△AnBnCn.则:
E
F
B
18.(1999?
广州)如图,以A,B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形,最多可以作出个.卫.•占
21.(2009?
辽阳)如图,△ABC为正三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作正三角形CDE,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
参考.资料
(1)△A3B3C3的边长a3=
22.(2008?
绍兴)附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道思考题:
如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
/BQM=60度.
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完
(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
1若将题中“BM=CN”与“/BQM=60°
”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
2若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到/BQM=60°
?
3若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到/BQM=60°
-
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
①•,②;
③.并对②,③的判断,选择一个给出证明.
23.(2007?
河北)在厶ABC中,AB=AC,CG丄BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由)
图i图2图3
24.(2004?
苏州)已知:
如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
(1)求证:
DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
25.(2002?
黑龙江)已知等边厶ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB、AC、BC的距离
分别为h2、h3,AABC的高为h•“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h!
+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题:
(1)当点P在厶ABC内(如图2),
(2)点P在厶ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,g、h2、h3与h之间的关系如何?
请
写出你的猜想,不需证明.
(1)
(2)⑶P
26.(2000?
河南)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACPPDB;
(2)当厶ACPPDB时,求/APB的度数.
27.(2010?
雅安)如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)
求证:
AE=BD;
(2)求证:
MN//AB.
28.(2005?
临沂)如图,已知AD和BC交于点O,且厶OAB和厶OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.
△ACE为等边三角形.
29.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点0,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求/D0E的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形.
30.如图,等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ:
BC=1:
2,过P作PE丄AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长?
Q
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1.C2.C3.C4.D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13./E=15度.14.①②③
⑤•
15.'
'
.16.a3=丄;
△AnBnCn的边长an=*(或2)
4_2n_1
17.等边三角形.18.2个.19PP'
=3.
20.
解:
(1)在正△ABC
S)BCXAD=丄X4X2^=4頂.(3分)
22
(2)AC、DE的位置关系:
AC丄DE.(1分)在厶CDF中,•••/CDE=90°
-ZADE=30°
(2分)
•••/CFD=180°
-ZC-ZCDE=180°
-60°
-30°
=90°
.
•••AC丄DE.(3分)
(注:
其它方法酌情给分).
21.解:
AE//BC.理由如下:
•/△ABC与厶CDE为正三角形,
•BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°
•ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,
即ZBCD=ZACE,
•△BCD◎△ACE,
•ZB=ZEAC,
vZB=ZACB,
•ZEAC=ZACB,
•AE//BC.
22.请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
①是;
②是;
③否.并
对②,③的判断,选择一个给出证明.
(1)证明:
在厶ABM和厶BCN中,
,ZABM=ZBCN,
lAB=BC
•△ABM◎△BCN,
•ZBAM=ZCBN,
•ZBQM=ZBAQ+ZABQ=ZMBQ+ZABQ=60°
(2)①是;
③否.
②的证明:
如图,
在厶ACM和厶BAN中,
rCI=AH
,ZACM=ZBAN=120*,
lAC=AB
•••△ACM◎△BAN,
•••/AMC=/BNA,
•••/NQA=/NBC+/BMQ=/NBC+/BNA=180°
=120•••/BQM=60°
.
③的证明:
在Rt△ABM和Rt△BCN中,
/BM二CM
Iab=bc,
•Rt△ABM也RtABCN,
•••/AMB=/BNC.
又/NBM+/BNC=90°
•••/QBM+/QMB=90°
•••/BQM=90°
,即/BQM工60°
23
(1)BF=CG;
证明:
在厶ABF和厶ACG中
•••/F=ZG=90。
,/FAB=/GAC,AB=AC
•△ABF◎△ACG(AAS)
•BF=CG;
(2)DE+DF=CG;
过点D作DH丄CG于点H(如图2)
•/DE丄BA于点E,ZG=90°
DH丄CG
•四边形EDHG为矩形
•DE=HG,DH//BG
•••/GBC=/HDC
•/AB=AC
•••/FCD=/GBC=/HDC
又•••/F=/DHC=90°
CD=DC
•••△FDC◎△HCD(AAS)
•DF=CH
•GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;
(3)仍然成立.
过点D作DH丄CG于点H(如图3)
•四边形EDHG为矩形,
•DE=HG,DH//BG,
•••/GBC=/HDC,
•/AB=AC,
•••/FCD=/GBC=/HDC,
CD=DC,
•DF=CH,
•GH+CH=DE+DF=CG,
即DE+DF=CG.
24.
(1)证明:
过点D作DF//AB,交BC于F.
•••△ABC为正三角形,
•••/CDF=/A=60°
•△CDF为正三角形.
•DF=CD.
又BE=CD,
•BE=DF.
又DF//AB,
•/PEB=ZPDF.
•••在△DFP和^EBP中,
fZBPE=ZFPD
「ZPEB二/PDF,
BE^FD
•△DFP^AEBP(AAS).
•DP=PE.
(2)解:
由
(1)得厶DFP^AEBP,可得FP=BP.
•/D为AC中点,DF/AB,
•BF=」BC=-a.
•BP=」BF=」a.
24
25.
(1)当点P在厶ABC内时,结论m+h2+h3=h仍然成立.
理由如下:
过点P作BC的平行线,交AB于G,交AC于H,交AM于N,则可得
结论h!
+h2=AN.
•••四边形MNPF是矩形,
•PF=MN,即h3=MN.
•h1+h2+h3=AN+MN=AM=h,
即h1+h2+h3=h.
(2)当点P在厶ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是M+h?
-h3=h.
过点P作BC的平行线,与AB、AC、AM分别相交于G、H、N,则可得结论h1+h2=AN.
•••PF=MN,即h3=MN.
•••h1+h2-h3=AN-MN=AM=h
即h1+h2-h3=h.
解:
(1)当CD2=AC?
DB时,△ACPPDB,
•••△PCD是等边三角形,
•••/PCD=/PDC=60°
•••/ACP=/PDB=120
■I=Il
则根据相似三角形的判定定理得△ACPPDB
(2)当厶ACPPDB时,/APC=/PBD
•••/PDB=120°
•••/DPB+/DBP=60°
•••/APC+/BPD=60°
•••/APB=/CPD+/APC+/BPD=120°
即可得/APB的度数为120°
(1)•••△ACD和厶BCE是等边三角形,
•AC=DC,CE=CB,/DCA=60°
,/ECB=60°
•••/DCA=/ECB=60°
•••/DCA+/DCE=/ECB+/DCE,/ACE=/DCB,
在厶ACE与厶DCB中,rAC=DC
•••,ZACE二ZDCE,
lCE^CB
•AE=BD;
(2)•••由
(1)得,△ACE◎△DCB,
•••/CAM=/CDN,
•/ACD=/ECB=60。
,而A、C、B三点共线,
•••/DCN=60°
在厶ACM与厶DCN中,
rZlIAC=ZNDC
AC二DC,
ZACM=ZDC)^GOfl
•••△ACMS'
DCN,
•••MC=NC,
•••/MCN=60°
•△MCN为等边三角形,
•••/NMC=/DCN=60°
•••/NMC=/DCA,
•MN//AB.
28.证明:
•••△OAB和'
OCD为等边三角形,
•CD=OD,OB=AB,/ADC=/ABO=60•••四边形ODEB是平行四边形,
•OD=BE,OB=DE,/CBE=/EDO.
•CD=BE,AB=DE,/ABE=/CDE.
•△ABES'
EDC.
•AE=CE,/AEB=/ECD.
•/BE//AD,
•/AEB=/EAD.
•/EAD=/ECD.
在厶AFE和厶CFD中
又•••/AFE=/CFD,
•/AEC=/ADC=60°
•△ACE为等边三角形.
29.解:
(1)TAABC、△CDE都是等边三角形,
•AC=BC,CD=CE,/ACB=/DCE=60°
•/ACB+/BCD=/DCE+/BCD,
•/ACD=/BCE,在厶ACD和厶BCE中
rAC=BC
-ZACD=ZBCE,
lcd=ce
•△ACDSABCE,
•AD=BE.
•••△ACDSABCE,
•/ADC=/BEC,
•••等边三角形DCE,
•/CED=/CDE=60°
•/ADE+/BED=/ADC+/CDE+/BED,
=/ADC+60°
+/BED,
=/CED+60°
=60°
+60°
=120°
•/DOE=180°
-(ZADE+/BED)=60°
答:
/DOE的度数是60°
(3)证明:
•••△ACD◎△BCE,
•••/CAD=/CBE,AD=BE,AC=BC
又•••点M、N分别是线段AD、BE的中点,
•AM=2aD,BN=」BE,
•AM=BN,
在厶ACM和厶BCN中
'
AC=BC
-ZCAM=ZCBN,
棚二B囤
•△ACM◎△BCN,
•CM=CN,
/ACM=/BCN,
又/ACB=60°
•/ACM+/MCB=60°
•/BCN+/MCB=60°
•/MCN=60°
•△MNC是等边三角形.
30.解:
过P点作PF//BC交AC于F点,
•••等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,CQ:
BC=1:
2,
•AB=BC,/B=/ACB=/A=60°
•AP=CQ,
•/PF/AB,
•/APF=/B=60。
,/AFP=/ACB=60°
•/A=/APF=/AFP=60°
•△APF是等边三角形,
•/PE丄AC,
•EF旦AF,
2,
•/△APF是等边三角形,AP=CQ,
•PF=CQ
•/Q=/FPD,
在厶PDF和厶QDC中
fZFPD=ZQ
•二/FDP二ZQDC,
fF=CQ
•△PDF^AQDC,
•DF=CD,•DF=丄CF,
•de=ef+df=Zaf+2cf=2ac,
222
•ED=5.
双基训练
1.如图14-45,在等边厶ABC中,0是三个内角平分线的交点,0D//AB,OE
//AC,则图中等腰三角形的个数是。
2•如图14-46,AABC是等边三角形,D为BA的中点,DE丄AC,垂足为点E,
EFAB,AE=1,贝UAD=,AEFC的周长=。
3.如图14-47,在等边厶ABC中,AE=CD,BG丄AD,求证:
BP=2PG。
纵向应用
1.如图14-48,已知等边△ABC的ABC、ACB的平分线交于0点,若BC上的
点E、F分别在OB、0C垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。
團U-48
2.如图14-49,C是线段AB上的一点,从CD和ABCE是两个等边三角形,点D、
E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:
GH//AB。
3.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D使得ACDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:
△CMN是等边三角形。
4.如图14-51,C是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边△ACD和ACBE,
M为AE的中点,
N为DB的中点,求证:
ACMN为等边三角形。
5.如图14-52,在四边形
ABCD中,/A+/B=1200,AD=BC,以CD为边向形外作等边ACDE,连结AE,求证:
AABE为等边三角形
6.如图14-53,已知AABC是等边三角形,D为AC
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