中考冲刺几何综合问题提高练习及解析.docx
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中考冲刺几何综合问题提高练习及解析
中考冲刺:
几何综合问题提高练习及解析
一、选择题
1.在平面直角坐标系中,直角梯形AOBC的位置如图所示,∠OAC=90°,AC∥OB,OA=4,AC=5,OB=6.M、N分别在线段AC、线段BC上运动,当△MON的面积达到最大时,存在一种使得△MON周长最小的情况,则此时点M的坐标为( )
A.(0,4) B.(3,4) C.(,4) D.(,3)
2.如图,△ABC和△DEF是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2,DE=4.点B与点D重合,点A,B(D),E在同一条直线上,将△ABC沿DE方向平移,至点A与点E重合时停止.设点B,D之间的距离为x,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y,则准确反映y与x之间对应关系的图象是( )
A B C D
二、填空题
3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB=,则AE=______(提示:
可过点A作BD的垂线)
4.如图,一块直角三角形木板△ABC,将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚,使它滚动到
△A″B″C″的位置,若BC=1cm,AC=cm,则顶点A运动到A″时,点A所经过的路径是_________cm.
三、解答题
5.在边长为1的正方形ABCD中,点E是射线BC上一动点,AE与BD相交于点M,AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是EF的中点,连结CG.
(1)如图1,当点E在BC边上时.求证:
①△ABM≌△CBM;②CG⊥CM.
(2)如图2,当点E在BC的延长线上时,
(1)中的结论②是否成立?
请写出结论,不用证明.
(3)试问当点E运动到什么位置时,△MCE是等腰三角形?
请说明理由.
6.如图,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动,当Q运动到A点时,P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒,点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.
7.正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合.
(1)如图1,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=,求证:
AE∥BF;
(2)如图2,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点,且AF:
FC=3:
1,BC=2,求BF的长.
8.将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放,连DF.
(1)如图2,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°,连DF、CG相交于M,则=_____,∠DMC=_____;
(2)如图3,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,试探究与∠DMC的值,并证明你的结论;
(3)若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β(0°<β<90°),则=_______,∠DMC=_________.请画出图形,并直接写出你的结论(不用证明).
9.已知△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=90°.
(1)如图
(1)当C、A、D在同一直线上时,连CE、BD,判断CE和BD位置关系,填空:
CE_____BD.
(2)如图
(2)把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置,试问
(1)中的结论是否仍然成立,写出你的结论,并说明理由.
(3)如图(3)在图2的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过点A作AN⊥BE′于点N,反向延长AN交DC′于点M.求的值.
10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放,使D点在CF边上,M为AE中点,
(1)连接MD、MF,则容易发现MD、MF间的关系是______________
(2)操作:
把正方形CGEF绕C点旋转,使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M,探究线段MD、MF的关系,并加以说明;
(3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变,
(2)中的结论是否仍成立?
直接写出猜想,不需要证明.
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】B.
【解析】如图,过点M作MP∥OA,交ON于点P,过点N作NQ∥OB,分别交OA、MP于两点Q、G,则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP•QG+MP•NG=MP•QN,
∵MP≤OA,QN≤OB,
∴当点N与点B重合,QN取得最大值OB时,△MON的面积最大值=OA•OB,
设O关于AC的对称点D,连接DB,交AC于M,
此时△MON的面积最大,周长最短,
∵=,即=,
∴AM=3,
∴M(3,4).
故选B.
2.【答案】B.
二、填空题
3.【答案】2.
【解析】过A作AF⊥BD,交BD于点F,
∵AD=AB,∠DAB=90°,
∴AF为BD边上的中线,
∴AF=BD,
∵AB=AD=,
∴根据勾股定理得:
BD==2,
∴AF=,
在Rt△AFE中,∠EAF=∠DCA=30°,
∴EF=AE,
设EF=x,则有AE=2x,
根据勾股定理得:
x2+3=4x2,
解得:
x=1,
则AE=2.
故答案为:
2.
4.【答案】.
三、解答题
5.【答案与解析】
(1)证明:
①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠CBM,
在△ABM和△CBM中,,
∴△ABM≌△CBM(SAS).
②∵△ABM≌△CBM
∴∠BAM=∠BCM,
又∵∠ECF=90°,G是EF的中点,∴GC=EF=GF,
∴∠GCF=∠GFC,
又∵AB∥DF,
∴∠BAM=∠GFC,
∴∠BCM=∠GCF,
∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°,
∴GC⊥CM;
(2)解:
成立;理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABM=∠CBM,
在△ABM和△CBM中,,
∴△ABM≌△CBM(SAS)
∴∠BAM=∠BCM,
又∵∠ECF=90°,G是EF的中点,
∴GC=GF,
∴∠GCF=∠GFC,
又∵AB∥DF,
∴∠BAM=∠GFC,
∴∠BCM=∠GCF,
∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°,
∴GC⊥CM;
(3)解:
分两种情况:
①当点E在BC边上时,
∵∠MEC>90°,要使△MCE是等腰三角形,必须EM=EC,
∴∠EMC=∠ECM,
∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE,
∴2∠BAE+∠BAE=90°,
∴∠BAE=30°,
∴BE=AB=;
②当点E在BC的延长线上时,同①知BE=.
综上①②,当BE=戓BE=时,△MCE是等腰三角形.
6.【答案与解析】
当P运动到C点时:
t=6
当Q运动到A点:
t=
∴分两种情况讨论
(1)当0≤t≤6时,如图:
作PH⊥AB于H,则△APH为等腰直角三角形
此时AP=t,BQ=t,则AQ=-t
PH=APsin45°=t
∴S△AQP=AQ·PH
=·(-t)·t
=t2+3t
(2)当6<t≤时,如图:
过P过PH⊥AB于H,此时△PBH为等腰直角三角形
AC+CP=t,BQ=t
∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t
∴PH=BPsin45°=(12-t)
∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ
=AC·BC-BQ·PH
=·6·6-·t·(12-t)
=18-t+t2
=t2-t+18.
综上,.
7.【答案与解析】
(1)证明:
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC
在△BFC中,
∵BF2+FC2=12+()2=4,
BC2=22=4
∴BF2+FC2=BC2
∴∠BFC=90°…(3分)
∴∠AEB+∠EBF=180°
∴AE∥BF…(4分)
(2)解:
∵Rt△ABC中,AB=BC=2,由勾股定理,得
AC==2.
∵AF:
FC=3:
1,
∴AF=AC=,FC=AC=
∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合
∴∠EAB=∠FCB,BE=BF,AE=CF=,
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠EAB+∠BAC=90°
即∠EAF=90°
在Rt△EAF中,EF==,
在Rt△EBF中,EF2=BE2+BF2
∵BE=BF
∴BF=EF=.
8.【答案与解析】
(1)如图2,连接BF,
∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,
∴∠FBC=∠CBD=45°,
∴∠CBD=∠GBC=90°,
而BF=BG,BD=BC,
∴△BFD∽△BGC,
∴∠BCG=∠BDF,=
而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°,
∴=,∠DMC=45°;
(2)如图3,
∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,
∴B、E、D三点在同一条直线上,
而四边形ABCD、四边
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