单调性与最大小值教学设计Word文档格式.docx
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归纳:
用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
【设计意图】由生活情境引入新课,激发兴趣.
归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中时同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
.借助图象,直观感知
问题1:
分别作出函数y=x+2,y=—x+2,y=x2,y=
1x的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规
律?
图2
预案:
函数y=x+2在整个定义域内y随x的增大而增大;
函数y=—x+2在整个定义域内y随x的增大而减小.
函数y=x2在[0,+)上y随x的增大而增大,在上y
随x的增大而减小.
函数y=1x在上y随x的增大而减小,在上y随x的增大而减小.
引导学生进行分类描述,同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:
能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数f在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数f在该区间上为增函数;
如果函数f在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数f在该区间上为减函数.
教师指出:
这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观认识.
【设计意图】从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的次认识.
.探究规律,理性认识
问题1:
下图是函数y=x+2x的图象,能说出这个函数分
别在哪个区间为增函数和减函数吗?
图3
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
),[0在x2=f:
如何从解析式的角度说明2问题
为增函数?
在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12V22,所以f=x2在[0,+)为增函数.
仿,取很多组验证均满足,所以f=x2在[0,+)为增
函数.
任取x1,x2€[0,+^),且x1Vx2,因为x12-x22=<
0,即x12<
x22,
所以f=x2在[0,+)为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1,x2.
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好了铺垫.
.抽象思维,形成概念
你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义
吗?
师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
板书定义
巩固概念
判断题:
1已知f=1x,因为fVf,所以函数f是增函数.
2若函数f满足fVf,则函数f在区间[2,3]上为增函数.
3若函数f在区间上均为增函数,则函数f在区间上为增函数.
4因为函数f=1x在区间和上都是减函数,所以f=1x在
U上是减函数.
通过判断题,强调三点:
1单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
2对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域,可以是定义域内某个区间,也可以根本不单调.
3函数在定义域内的两个区间A,B上都是增函数,一般
不能认为函数在AUB上是增函数.
思考:
如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
【设计意图】让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出
单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.
掌握证法,适当延展
【例】证明函数f=x+2x在上是增函数.
.分析解决问题
针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.
证明:
任取x1,x2€,且x1Vx2,设元
f-f=x1+2x1-x2+2x2求差
=+2x1-2x2
=+2x1x2=1-2x1x2=x1x2-2x1x2,变形
•••2vx1Vx2,
•••x1-x2V0,x1x2>
2,「.f-fV0,即卩fVf,断号
•••函数f=x+2x在上是增函数.定论
.归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤:
设元、作差、变形、
断号、定论.
练习:
证明函数f=x在[0,+^)上是增函数.问题:
要证明函数f在区间上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对任意的x1,x2€,且x1工x2有f—fx2—x1>
0可以吗?
引导学生分析这种叙述与定义的等价性,让学生尝试用这
种等价形式证明函数f=x在[0,+)上是增函数.
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
归纳小结,提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程
中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
.小结
概念探究过程:
直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.证明方法和步骤:
设元、作差、变形、断号、定论.数学思想方法和思维方法:
数形结合,等价转化,类比等..作业
书面作业:
课本习题1.3A组第1,2,3题.
课后探究:
函数f在区间上是增函数当且仅当对任意的x,x
+h€,且hz0有f—fh>
0.
研究函数y=x+1x的单调性,并结合描点法画出函数的
草图.
设计说明
.教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的个
性质,是函数学习中个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.
对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的;
单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数.论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点.
.教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,从三个不同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识;
强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;
突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成.
.教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
.教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施:
在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤.
可对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.
第2课时
方诚心
.知识与技能
使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用.
启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题.
.过程与方法
通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育.
探究与活动,明白考虑问题要细致,说理要明确.
.情感、态度与价值观
理性描述生活中的最大、最多等现象.
函数最大值的定义和求法.
如何求一个具体函数的最值.
导入新
思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为100002的矩形新厂址,新厂址的长为x,则宽为10000X,所建围墙y,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
学生先思考或讨论,教师指出此题意在求函数y=2x+
10000x,x>
0的最小值.引出本节课题:
在生产和生活中,我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题,这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?
这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题,将实际问题转化为求函数的最值,这就是函数的思想,用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
①f=—x+3;
②f=—x+3,x€[—1,2];
③f=x2+2x+1;
④f=x2+2x+1,x€[-2,2].
学生回答后,教师引出课题:
函数的最值.
推进新
新知探究
提出问题
如图4所示是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x€[-1,+)、y=f的图象.观察这三个图象的共同特征.
图4
函数图象上任意点P的坐标与函数有什么关系?
你是怎样理解函数图象最高点的?
问题中,在函数y=f的图象上任取一点A,如图5所示,设点c的坐标为,谁能用数学符号解释:
函数y=f的图象有最高点c?
图5
在数学中,形如问题中函数y=f的图象上最高点c的纵坐标就称为函数y=f的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
函数最大值的定义中fw即f<
f,这个不等式反映了函数
y=f的函数值具有什么特点?
其图象又具有什么特征?
函数最大值的几何意义是什么?
函数y=—2x+1,x€有最大值吗?
为什么?
点是不是函数y=—2x+1,x€的最高点?
由问题你发现了什么值得注意的地方?
讨论结果:
函数y=—x2—2x的图象有最高点A,函数y=—2x+1,x€[—1,+^)的图象有最高点B,函数y=f这三个函数的图象的共同特征也就是说,c.的图象有最高点.是都有最高点.
函数图象上任意点P的坐标的意义:
横坐标x是自变量的
取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
由于点c是函数y=f图象上的最高点,则点A在点c的下方,即对定义域内任意x,都有y<
y0,即f<
f,也就是对函数y=f的定义域内任意x,均有f<
f成立.
一般地,设函数y=f的定义域为I,如果存在实数满足:
1对于任意的x€I,都有f<
;
2存在x0€I,使得f=.
那么,称是函数y=f的最大值.
fw反映了函数y=f的所有函数值不大于实数;
这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是.
函数图象上最高点的纵坐标.
函数y=—2x+1,x€没有最大值,因为函数y=—2x+1,x€的图象没有最高点.
不是,因为该函数的定义域中没有-1.
讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;
函数图象上有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
类比函数的最大值,请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
类比上面问题,你认为讨论函数最小值应注意什么?
活动:
让学生思考函数最大值的定义,利用定义来类比定义.最高点类比最低点,不等号“W”类比不等号“》”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
函数最小值的定义是:
1对于任意的x€I,都有f>;
那么,称是函数y=f的最小值.
函数最小值的几何意义:
函数图象上最低点的纵坐标.
讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;
函数图象上有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
应用示例
例1求函数y=2x-1在区间[2,6]上的最大值和最小值.
活动:
先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有解题思路时,才提示:
图象最高点的纵坐标就是函数的最大值,图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性,再利用函数单调性的定义证明,最后利用函数.的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x
-1的图象,只取在区间[2,6]上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解:
设2<
x1vx2<
6,则有
f-f=2x1-1-2x2-1=2[-]=2.
•••2<
x1vx2<
6,
•••x2—x1>
0,>
•••f>
f,即函数y=2x-1在区间[2,6]上是减函数.
•当x=2时,函数y=2x-1在区间[2,6]上取得最大值f=2;
当x=6时,函数y=2x-1在区间[2,6]上取得最小值f=25.
变式训练
.求函数y=x2-2x的最大值和最小值.
最大值是f=15,最小值是f=-1.
.函数f=x4+2x2-1的最小值是.
解析:
转化为求二次函数的最小值.
设x2=t,y=t2+2t-1,
又当t>
0时,函数y=t2+2t-1是增函数,
则当t=0时,函数y=t2+2t-1取最小值一1.所以函数f=x4+2x2-1的最小值是-1.
答案:
-1
.画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.
分析:
函数的图象关于y轴对称,先画出y轴右侧的图象,
再对称到y轴左侧合起来得函数的图象;
借助图象,根据单调性的几何意义写出单调区间.
函数图象如图6所示.
图6
由图象得,函数的图象在区间和[0,1]上是上升的,在[-
1,0]和上是下降的,最高点是,
故函数在,[0,1]上是增函数;
函数在[-1,0],上是减函数,最大值是4.
点评:
本题主要考查函数的单调性和最值,以及最值的求法.求函数的最值时,先画函数的图象,确定函数的单调区间,再用定义法证明,最后借助单调性写出最值,这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值:
先判断函数的单调性,再利用其单调
性求最值;
常用到下面的结论:
①如果函数y=f在区间上
单调递减,则函数y=f在x=b处有最大值f;
②如果函数y=f在区间上单调递增,则函数y=f在x=b处有最小值f.
例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是与
时h期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度.
间ts之间的关系为h=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出
后什么时候是它爆裂的最佳时刻?
这时距地面的高度是多
少?
可以指定一位学生到黑板上书写,教师在下面巡视,并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值,画出函数的图象,利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h=-4.9t2+14.7t+18取得最大值;
“这时距地面的高度是多少”就是函数h=
-4.9t2+14.7t+18的最大值;
转化为求函数h=-4.9t2
+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
作出函数h=-4.9t2+14.7t+18的图象,如图7所示,
图7
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于函数h=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t=-14.72X=1.5时,函数有最大值h=4XX1814.72429.
即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约是29.
本题主要考查二次函数的最值问题,以及应用二次
函数解决实际问题的能力.解应用题的步骤是:
①审清题意读懂题;
②将实际问题转化为数学问题来解决;
③归纳结论.
注意:
要坚持定义域优先的原则;
求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是
A.323c2
B.4c2
c.32c2
D.23c2
设一个三角形的边长为XC,则另一个三角形的边长为c,两个三角形的面积和为S,则S=34x2+342=322+23>
23.当x=2时,S取最小值23c2.故选D.
D
.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已件,问该商品10元,其销售量就要减少1知这种商品每涨.售价定为多少时才能赚取最大利润,并求出最大利润.
设未知数,引进数学符号,建立函数关系式,再研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出回答.利润=心肖售量.
设商品售价定为x元时,利润为y元,则y=[60-?
10]
=-10[2-16]=-102+160,
当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时可获最大利润160元.
知能训练
课本本节练习5.
【补充练习】
某厂XX年拟举行促销活动,经调查测算,该厂产品的年销售量x万件与去年促销费满足x=3-2+1.已知XX年生产的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍.
将XX年该产品的利润y万元表示为年促销费的函数;
求XX年该产品利润的最大值,此时促销费为多少万元?
年利润=销售价格x年销售量-固定投入-促销费
—再投入,销售价格=1.5x每件产品平均成本;
利用单调法求函数的最大值.
每件产品的成本为8+16xx元,故XX年的利润为
y=1.5x8+16xxxx-=4+8x-=4+83-2+1-=28
-16+1-.
可以证明当0<
<
3时,函数y=28-16+1—是增函数,当〉3时,函数y=28-16+1—是减函数,所以当=3时,函数y=28-16+1—取最大值21万元.
拓展提升
求函数y=1x2+x+1的最大值.
利用计算机软件画出函数的图象,如图8所示,故图象最高点是-12,43.
图8
贝U函数y=1x2+x+1的最大值是43.
函数的定义域是R,
可以证明当xv—12时,函数y=1x2+x+1是增函数;
当x>
—12时,函数y=1x2+x+1是减函数.
则当x=—12时,函数y=1x2+x+1取最大值43,即函数y=1x2+x+1的最大值是43.
由y=1x2+x+1,得yx2+yx+y—1=0.
•••x€R.••关于x的方程yx2+yx+y—1=0必有实数根.
无实数根,0=1—y+yx+yx2的方程x关于时,0=y当
即y=0不属于函数的值域.
当y工0时,则关于x的方程yx2+yx+y—1=0是一元二次方程,
则有△=2—4Xy>
0.•••0vy<
43.
•••函数y=1x2+x+1的最大值是43.
方法三称为判别式法,形如函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f,当函数的定义域是R时,常用判别式法求最值,其步骤是:
①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的
方程的形式x2+nx+=0;
②分类讨论=0是否符合题意;
③当工0时,关于x的方程x2+nx+=0中有x€R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4>
0,得关于y的不等式,解不等式组n2-4>
0,工0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.
课堂小结
本节课学习了:
函数的最值;
求函数最值的方法:
①图象法,②单调法,③判别式法;
求函数最值时,要注意函数的定义域.
作业
课本习题1.3A组5,6.
设计感想为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下措施:
.在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.
.在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌
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