98年全国高校招生数学统考试题理工农医类Word文档格式.docx

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（C）±

/2+（1/2）i（D）±

/2-（1/2）i

（9）如果棱台的两底面积分别是S，S'

，中截面的面积是S0，那么

（A）2

=

+

（B）S0＝

（C）2SO＝S＋S'

（D）S02＝2S'

S

（10）向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象

如右图所示，那么水瓶的形状是

（11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2

名护士。

不同的分配方法共有

（A）90种（B）180种（C）207种（D）540种

（12）椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点

在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的

（A）7倍（B）5倍（C）4倍（D）3倍

（13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过

这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

（A）4

（B）2

（C）2（D）

（14）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

（A）arccos

-1/2（B）arcsin

-1/2

（C）arccos1-

/2（D）arcsin1-

（15）在等比数列{an}中，a1>

1，且前n项和Sn满足

Sn=1/a1，那么a1的取

值范围是

（A）（1，＋∞）（B）（1，4）

（C）（1，2）（D）（1，

）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（16）设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，

则圆心到双曲线中心的距离是_____。

（17）（x+2）10（x2-1）的展开式x10的系数为______（用数字作答）。

（18）如图，在直四棱柱A1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____时，有A1C⊥B1D1。

（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。

（19）关于函数F（x）=4sin（2x+π/3）（x∈R），有下列命题：

①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x-π/6）；

③y=f（x）的图象关于点（－π、6，0）对称；

④y=f（x）的图象关于直线x=-π/6对称。

其中正确的命题的序号是_____。

把你认为正确的命题的序号都填上。

三、解答题：

本大题共6小题；

共69分。

解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤。

（20）（本小题满分10分）在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a+c=2b，

A-C=π/3，求sinB的值。

以下公式供解题时参考：

sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,

sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,

cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2,

cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2

（21）（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。

以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。

若

△AMN为锐角三角形，|AM|=

，|AN|=3，且|BN|=6。

建立适当的坐标

系，求曲线C的方程。

（22）（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。

污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。

设箱体的长度为a米，高度为b米。

已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。

现有制箱材料60平方米。

问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

（23）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC

垂直，∠ABC＝90°

，BC＝2，AC＝2

，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

（24）（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分

别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。

（25）（本小题满分12分）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的能项bn；

（Ⅱ）设数列{an}的通项an=loga（1+1/bn）（其中a>

0，且a≠1），记Sn是

数列{an}的前n项的和。

试比较Sn与1/3logabn+1的大小，并证明你

的结论。

数学（理工类）

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

A

C

11

12

13

14

15

二、填空题

（16）16/3　　（17）-5120

（18）AC⊥BD　　（19）①，③

（20）解：

由正弦定理和已知条件a+c=2b得

sinA+sinC=2sinB。

……2分由和差化积公式

得2sin（A+C）/2cos（A-C）/2=2sinB。

由A+B+C=π，

得sin（A+C）/2=cosB/2，又A-C=π/3，得

　（

/2）cosB/2=sinB，

∴（

/2）cosB/2=2（sinB/2）（cosB/2）。

……6分

∵0<

B/2<

π/2,cosB/2≠0，∴sinB/2=

/4，

从而cosB/2=

/4……9分

∴sinB=

/2×

/4=

/8……11分

（21）

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的

垂直平分线为y轴，点O

为坐标原点。

依题意

知：

曲线段C是以点N为

焦点，以l2为准线的抛

物线的一段，其中A、B

分别为C的端点。

设曲

线段C的方程为y2=2px（p>

0）,（xA≤x≤xB,y>

0），

其中xA,xB分别为A，B的横坐标，p=|MN|。

所以M（-p/2,0）,N（p/2,0）。

……4分

由|AM|=

，|AN|=3得

（xA+p/2）2+2pxA=17，①

（xA-p/2）2+2pxA=9。

②……6分

由①，②两式联立得xA=4/p，再将其代

入①式并由p>

0解得p=4,xA=1；

或p=2,xA=2。

因为△AMN是锐角三角形，

所以p/2>

xA，故舍去p=2,xA=2。

∴p=4,xA=1。

由点B在曲线段C上，

得xB=|BN|-p/2=4。

综上得曲线段C的方

程式为y2=8x（1≤x≤4,y>

0）。

……12分

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2

为x、y轴，M为坐标原

点。

作AE⊥l1，

AD⊥l2，EF⊥l2，垂

足分别为E、D、F。

……2分

设A（xA,yA）、B（xB,yB）、

N（xN,0）。

依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|=2

，由于△AMN为锐角

三角形，故有

xN=|AE|+|EN|=4。

xB=|BF|=|BN|=6。

……7分

设点P（x,y）是曲线段C上任一点，则由题

意知P属于集合{（x,y）|（x-xN）2=x2,

xA≤x≤xB,y>

0}。

……10分

故曲线段C的方程

y2=8（x-2）（3≤x≤6,y>

（22）解法一：

设y为流出的水中杂质

的质量分数，则y=k/ab，其中k>

0为比

例系数，依题意，即所求的a,b值使y值

最小。

根据题设，有

4b+2ab+2a=60（a>

0,b>

0），……4分

得b=30-a/2+a（0<

a<

30），①

于是y=k/ab=k/（（30a-a2）/（2+a））

　=k/（-a+32-64/（a+2））

　=k/（34-（a+2+64/（a+2））

　≥k/（34-2

）=k/18，

当a+2=64/（a+2）时取等号，

y达最小值。

……8分

这时a=6,a=-10（舍去）。

将a=6代入①式

得b=3。

故当a为6米，b为3米时，经沉淀

后流出的水中该杂质的质量分数最小。

……12分

依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知

4a+2ab+2a=60（a>

即a+2b+ab=30（a>

∵a+2b≥2

，

∴2

+ab≤30，当且仅当a=2b时，上

式取等号。

由a>

0，b>

0，解得0<

ab≤18。

即当a=2b时，ab取得最大值，

其最大值为18。

∴2b2=18。

解得b=3，a=6。

故当a为6米，

b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质

量分数最小。

（23）解：

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得

A1D⊥面ABC，∴∠A1AD

为A1A与面ABC所成的角。

∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C，

∴∠A1AD＝45°

为所求。

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由

A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。

∴∠A1ED是面A1ABB1

与面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。

又D是AC的中点，

BC＝2，AC＝2

，∴DE＝1，AD＝A1D＝

，

tgA1ED＝A1D/DE=

。

故∠A1ED＝60°

（Ⅲ）解法一：

由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足

为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。

……10分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。

又A1E⊥AB，

知HB∥A1E，且BC∥ED，∴∠HBC＝∠A1ED＝60°

∴CH＝BCsin60°

＝

连结A1B。

根据定义，点C到面A1ABB1的

距离，即为三棱锥C－A1AB的高h。

……10分由

V锥C－A1AB＝V锥A1－ABC得

1/2S△AA1Bh＝1/2S△ABCA1D，

即1/3×

h=1/3×

×

∴h=

（24）（Ⅰ）解：

曲线C1的方程为

y=（x-t）3-（x-t）+s。

……3分

（Ⅱ）证明：

在曲线C上任取一点B1（x1,y1）。

设B2（x2,y2）是B1关于点A的对称点，则有

x1+x2/2=t/2,y1+t2/2=s/2。

∴x1=t-x2,y1=s-y2。

……5分代入曲线C的

方程，得x2和y2满足方程：

s-y2=（t-x2）3-（t-x2），

即y2=（x2-t）3-（x2-t）+s，可知点B2（x2,y2）

在曲线C1上。

……7分反过来，同样可以证明，

在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。

因此，曲线C与C1关于点A对称。

（Ⅲ）证明：

因为曲线C与C1有且公有一个公共

点，所以，方程组y=x3-x,y=（x-t）3-（x-t）+s

有且公有一组解。

消去y，整理得

3tx2-3t2x+（t3-t-s）=0，这个关于x的一元二次

方程有且仅有一个根。

……10分所以t≠0并且

其根的判别式△=9t4-12t（t3-t-s）=0。

即t≠0,t（t3-4t-4s）=0。

∴s=t3/4-t且t≠0。

（25）（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得

b1=1,10b1+10（10-1）/2d=100。

解得b1=1,d=2。

∴bn=2n-1。

……2分

（Ⅱ）由bn=2n-1，知

Sn=lg（1+1）+lg（1+1/3）+…+lg（1+1/2n-1+

=lg[（1+1）（1+1/3）×

…×

（1+1/2n-1）]，

1/2lgbn+1=lg

因此要比较Sn与1/2lgbn+1的大小，可先比较

（1+1）（1+1/3）×

（1+1/2n-1）与

的大小。

取n=1有（1+1）>

，取n=2有

（1+1）（1+1/3）>

，由此推测

（1+1/2n-1）>

①……5分若①式成立，则由对数函数性质可断定：

Sn>

1/2lgbn+1。

下面用数学归纳法证明①式。

（i）当n=1时已验证①式成立。

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

（1+1/2k-1）>

那么，当n=k+1时，

（1+1）（1+1/3）…（1+1/2k-1）（1+1/2（k+1）-1）>

（1+1/2k+1）=

/2k+1（2k+2）。

∴[

/2k+1（2k+2）]2-[

]2

=4k2+8k+4k2+8k+3）/2k+1=1/2k+1>

0，

∴

/2k+1（2k+2）>

因而（1+1）（1+1/3）…（1+1/2k-1）（1+1/2k+1）

　>

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立。

由此证得：

Sn=1/2lgbn+1。

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