韦达定理教师版.docx
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韦达定理教师版
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
观察与猜想
1、解方程:
(1)2y2-y-1=0
(2)3x2-4x=2
解:
y=解:
=
y1=,y2=
则y1+y2=,y1y2=则x1+x2=,x1x2=
(3)3x2+7x+2=0
解:
x==,则x1+x2=,x1x2=
(4)5x+2=3x2
解:
x==,则x1+x2=,x1x2=
想一想:
方程的两根之和,两根之积与方程的系数之间存在什么关系?
2.一般地,对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2,由一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式知
x1=,x2=
能得出以下结果:
x1+x2=即:
两根之和等于
x1•x2=即:
两根之积等于
=+
=
=
=×
=
==
由此得出,一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=,x1x2=
3.韦达定理
已知是一元二次方程的两根,则有
4.如果把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的二次项系数化为1,则方程变形为x2+x+=0(a≠0),
则以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是:
x2-()x+x1x2=0(a≠0)
练习:
1、如果x1,x2是方程的两个实数根,求x1+x2和x1x2的值。
2、设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,
(1)试推导x1+x2=-,x1·x2=;
(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值
例题分析:
例1:
已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值;
解:
设方程的另一个根是x1,那么(为什么?
)
∴x1=
又x1+2=(为什么?
)
∴k=
例2:
利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根的
(1)平方和
(2)倒数和
解:
设方程的两个根分别为x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=
(1)∵(x1+x2)2=x12+2+x22
∴x12+x22=(x1+x2)2-2=
(2)
例3:
求一个一元二次方程,使它的两个根是
解:
所求的方程是x2-()x+()=0(为什么?
)
即x2+x-=0或6x2+x-=0
例4:
已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数。
解:
根据根与系数的关系可知,这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根
解这个方程,得x1=,x2=
因此,这两个数是,
1、下列方程两根的和与两根的积各是多少?
(1)y2-3y+1=0
(2)3x2-2x=2(3)2x2+3x=0(4)3x2+5x-2=0(5)2y2-5=6y
2、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值
3、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值
(1)(x1+1)(x2+1)
(2)
4、求一个一元二次方程,使它的两个根分别为4,-7
5、已知两个数的和等于-6,积等于2,求这两个数。
7.如果方程2x2+kx-5=0的实数根互为相反数,那么k=
8.已知是方程x2+2x-5=0 的实数根,求的值
9.已知一元二次方程
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设是方程的两个实数根,且满足,求m的值
10.关于x的一元二次方程,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根。
韦达定理的应用
韦达定理:
对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,那么
说明:
(1)定理成立的条件
(2)注意公式重的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例.若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1);
(2);(3);(4).
解:
由题意,根据根与系数的关系得:
(1)
(2)
(3)
(4)
说明:
利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
,,,
,,
等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,则x12+x22的值为_________
2.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2=,x1·x2=,(x1-x2)2=
3.已知方程2x2-3x+k=0的两根之差为2,则k=;
4.若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和-3,则a=;
5.若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;
6.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
(1)x12x2+x1x22
(2)-
7.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
(2)构造新方程
理论:
以两个数为根的一元二次方程是。
例.解方程组x+y=5
xy=6
解:
显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根
由方程①解得z1=2,z2=3
∴原方程组的解为x1=2,y1=3
x2=3,y2=2
显然,此法比代入法要简单得多。
(3)定性判断字母系数的取值范围
例.一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
解:
设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2
由题意知
△=k2-4×2×2≥0,k≥4或k≤-4
∴为所求。
【典型例题】
例1已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1)方程两实根的积为5;
(2)方程的两实根满足.
分析:
(1)由韦达定理即可求之;
(2)有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论.
解:
(1)∵方程两实根的积为5
∴
所以,当时,方程两实根的积为5.
(2)由得知:
①当时,,所以方程有两相等实数根,故;
②当时,,由于,故不合题意,舍去.综上可得,时,方程的两实根满足.
说明:
根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足.
例2已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数,使成立?
若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由.
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
解:
(1)假设存在实数,使成立.
∵一元二次方程的两个实数根
∴,
又是一元二次方程的两个实数根
∴
∴
,但.
∴不存在实数,使成立.
(2)∵
∴要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,
要使的值为整数的实数的整数值为.
说明:
(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
(2)本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法.
典型例题
A组
1.一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是()
A.B.C.D.
2.若是方程的两个根,则的值为()
A.B.C.D.
3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于()
A.B.C.D.
4.若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()
A.B.C.D.大小关系不能确定
5.若实数,且满足,则代数式的值为()
A.B.C.D.
6.如果方程的两根相等,则之间的关系是______
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是_______.
8.若方程的两根之差为1,则的值是_____.
9.设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则=_____,=_____.
10.已知实数满足,则=_____,=_____,=_____.
11.对于二次三项式,小明得出如下结论:
无论取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?
请您说明理由.
12.若,关于的方程有两个相等的的正实数根,求的值.
13.已知关于的一元二次方程.
(1)求证:
不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两根为,且满足,求的值.
14.已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长.
(1)取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是时,求的值.
B组
1.已知关于的方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,使方程的两实根互为相反数?
如果存在,求出的值;如果不存在,请您说明理由.
2.已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11.求证:
关于的方程有实数根.
3.若是关于的方程的两个实数根,且都大于1.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,求的值.
1.不解方程说出下列方程的两根和与两根差:
(1)
(2)(3)
2.已知关于的方程,是否存在负数,使方程的两个实数根的倒数和等于4?
若存在,求出满足条件的的值;若不存在,说明理由。
3.已知方程,作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
4.解方程组解方程组
5.已知一元二次方程的两个实数根满足,,,分别是的,,的对边。
(1)证明方程的两个根都是正根;
(2)若,求的度数。
6.在中,,斜边AB=10,直角边AC,BC的长是关于的方程的两个实数根,求的值。
7.
(1)若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍,则k=________
(2)已知:
a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根,求:
(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=__________
解法一:
(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(1+2000a+a2+6a)(1+2000b+b2+5b)=6a•5b=30ab
解法二:
由题意知∵a2+2000a+1=0;b2+2000b+1=0∴a2+1=-2000a;b2+1=-2000b
∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(2006a-2000a)(2005b-2000b)=6a•5b=30ab
解法三:
∵ab=1,a+b=-2000∴(1+2006a+a2)(1+2005b+b2)=(ab+2006a+a2)(ab+2005b+b2)
=a(b+2006+a)•b(a+2005+b)=a(2006-2000)•b(2005-2000)=30ab
8.已知a+a2-1=0,b+b2-1=0,a≠b,求ab+a+b的值.
9.若实数x、y、z满足x=6-y,z2=xy-9.求证:
x=y.
10.已知方程x2+px+q=0的二根之比为1∶2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.
11.设方程x2+px+q=0的两根之差等于方程x2+qx+p=0的两根之差,求证:
p=q或p+q=-4.
证明:
设方程x2+px+q=0的两根为α、β,x2+qx+P=0的两根为α'、β'.
由题意知α-β=α'-β',
故有α2-2αβ+β2=α'2-2α'β'+β
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