版高考数学文高分计划一轮24 二次函数与幂函数 3.docx
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版高考数学文高分计划一轮24二次函数与幂函数3
2.4 二次函数与幂函数
[知识梳理]
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③两根式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)当α<0时,幂函数y=xα是定义域上的减函数.( )
(2)关于x的不等式ax2+bx+c>0恒成立的充要条件是( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( )
(4)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.教材衍化
(1)(必修A1P44T9)函数y=(x2-3x+10)-1的递增区间是( )
A.(-∞,-2)B.(5,+∞)
C.D.
答案 C
解析 由于x2-3x+10>0恒成立,即函数的定义域为(-∞,+∞),
设t=x2-3x-10,则y=t-1是(0,+∞)上的减函数,
根据复合函数单调性的性质,
要求函数y=(x2-3x+10)-1的递增区间,
即求t=x2-3x+10的单调递减区间,
∵t=x2-3x+10的单调递减区间是,
则所求函数的递增区间为.故选C.
(2)(必修A1P78探究)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>aB.a>b>c>d
C.d>c>a>bD.a>b>d>c
答案 B
解析 幂函数a=2,b=,c=-,d=-1的图象,正好和题目所给的形式相符合,在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.
3.小题热身
(1)(2017·济南诊断)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=( )
A.B.1
C.D.2
答案 C
解析 由幂函数的定义知k=1.又f=,所以α=,解得α=,从而k+α=.故选C.
(2)函数f(x)=x2-ax-a在[0,2]上的最大值为1,则实数a等于( )
A.-1B.1
C.-2D.2
答案 B
解析 解法一:
(分类讨论)当对称轴x=≤1,即a≤2时,f(x)max=f
(2)=4-3a=1,解得a=1符合题意;当a>2时,f(x)max=f(0)=-a=1,解得a=-1(舍去).综上所述,实数a=1.故选B.
解法二:
(代入法)当a=-1时,f(x)=x2+x+1在[0,2]上的最大值为f
(2)=7≠1,排除A;当a=1时,f(x)=x2-x-1在[0,2]上的最大值为f
(2)=1,B正确;当a=-2时,f(x)=x2+2x+2在[0,2]上的最大值为f
(2)=10≠1,排除C;当a=2时,f(x)=x2-2x-2在[0,2]上的最大值为f(0)=f
(2)=-2≠1,排除D.故选B.
题型1 幂函数的图象与性质
(2017·长沙模拟)已知函数f(x)=x,则( )
A.∃x0∈R,使得f(x)<0
B.∀x∈[0,+∞),f(x)≥0
C.∃x1,x2∈[0,+∞),使得<0
D.∀x1∈[0,+∞),∃x2∈[0,+∞)使得f(x1)>f(x2)
根据幂函数的性质逐项验证.
答案 B
解析 由函数f(x)=x,知:
在A中,f(x)≥0恒成立,故A错误;
在B中,∀x∈[0,+∞),f(x)≥0,故B正确;
在C中,∀x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>0,故C错误;
在D中,当x1=0时,不存在x2∈[0,+∞)使得f(x1)>f(x2),故D不成立.故选B.
(2018·荣城检测)已知函数f(x)=
若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
用数形结合法.
答案 (0,1)
解析 作出函数y=f(x)的图象如图.则当0 方法技巧 在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数,对应方程根的个数及近似解等问题时,常用数形结合的思想方法,即在同一坐标系下画出两函数的图象,数形结合求解.见典例2. 冲关针对训练 1.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是( ) 答案 D 解析 因为a>0,所以f(x)=xa在(0,+∞)上为增函数,故A错误;在B中,由f(x)的图象知a>1,由g(x)的图象知01,矛盾,故C错误;在D中,由f(x)的图象知0 2.幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为( ) A.-1 C.1D.2 答案 C 解析 ∵函数在(0,+∞)上单调递减, ∴m2-2m-3<0,解得-1 ∵m∈Z,∴m=0,1,2. 而当m=0或2时,f(x)=x-3为奇函数,当m=1时,f(x)=x-4为偶函数,∴m=1.故选C. 题型2 求二次函数的解析式 已知二次函数f(x)满足f (2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式. 本题采用待定系数法求解. 解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. [条件探究] 若本例条件变为: 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. 解 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0). 又∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1. ∴所求f(x)的解析式为 f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 方法技巧 求二次函数解析式的方法 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式.一般选择规律如下: 冲关针对训练 1.(2018·辽宁期末)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为( ) A.2B.-1或-3 C.2或-3D.-1或2 答案 D 解析 函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a,图象开口向下, ①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数, ∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;
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