知识点230直线射线线段解答题文档格式.docx

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可以发现，三个点时比原来多了3条，四个点时原来多了4条，…，n个点时比原来多了n条．∴n个点时有（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=

条线段．

2个点时1条线段，

3个点时有2+1=3条线段；

4个点时有3+2+1=6条线段；

…

n个点时有（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=

本题是找规律题，找到n个点时有（n﹣1）+（n﹣2）+…+3+2+1=

条线段是解题的关键．

3．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：

如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…

（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有　15　条；

（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？

（1）根据给出的条件进行观察找出规律：

当有n个点时，线段总数为：

，求解即可．

（2）将发现的规律用含有n的代数式表示即可．

（1）∵当有3个点时，线段的总数为：

=3；

当有4个点时，线段的总数为：

=6；

当有5个点时，线段的总数为：

=10；

∴当有6个点时，线段的总数为：

=15．

（2）由

（1）可看出，当线段AB上有n个点时，线段总数为：

．

此题主要考查学生对比较线段长短及规律型题的掌握情况．

4．为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．

（1）一条直线把平面分成2部分；

（2）两条直线最多可把平面分成4部分；

（3）三条直线最多可把平面分成11部分…；

把上述探究的结果进行整理，列表分析：

直线条数

把平面分成部分数

写成和形式

1

2

1+1

4

1+1+2

3

7

1+1+2+3

11

1+1+2+3+4

（1）当直线条数为5时，把平面最多分成　16　部分，写成和的形式　1+1+2+3+4+5　；

（2）当直线为10条时，把平面最多分成　56　部分；

（3）当直线为n条时，把平面最多分成　

+1　部分．（不必说明理由）

图表型。

根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．

（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；

（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+﹣﹣﹣﹣+10=56；

（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．

有以下规律：

nm

21

31+1+2

41+1+2+3

：

nm=1+1+﹣﹣﹣+（n﹣1）=

+1．

5．我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；

这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；

依次类推，…

（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？

（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？

如果有，请你画出符合条件的所有图形；

如果没有，请说明理由；

（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．

作图题；

（1）一平面内的五条直线最多有10个交点．画图即可；

（2）平面内的五条直线可以有4个交点，有3种不同的情形；

（3）可使5条直线平行，另3条直线平行且都与这5条相交，再有2条直线平行且都与这5条相交，且3条和2条也有相交．

（1）如下图，最多有10个交点．

（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如下图示．

（3）如下图所示．

此题考查平面内不重合直线的位置关系，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．

6．根据题意填空：

（

（1）～

（2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）

（1）l1与l2是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线l3，那么这三条直线最多有　3　个交点．

（2）如果在

（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4，那么这四条直线最多可有　6　个交点．

（3）由

（1）

（2）我们可以猜想：

在同一平面内，6条直线最多可有　15　个交点，n（n＞1）条直线最多可有　

　条交点．（用含有n的代数式表示）

要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，画第三条直线时，应尽量和前面两条直线再产生2个，即有1+2=3个交点．依此类推即可找到规律．

（1）1+2=3；

（2）3+3=6；

（3）1+2+3+4+5=15；

1+2+3+…+n=

在画图的时候，尽量让每两条直线相交产生不同的交点．

7．

（1）图中共有几条线段？

说明你分析这个问题的具体思路；

（2）你能用上面的思路来解决“五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少次”这个问题吗？

请解决．

应用题。

（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE四条，以B为端点的且与前面不重复的线段有BC、BD、BE三条，以C为端点的且与前面不重复的线段有CD、CE两条，以D为端点的且与前面不重复的线段有DE一条；

（2）把人演化成点即可得到上面结论．

（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE四条，

以B为端点的且与前面不重复的线段有BC、BD、BE三条，

以C为端点的且与前面不重复的线段有CD、CE两条，

以D为端点的且与前面不重复的线段有DE一条．

从而得出4+3+2+1=10的结论；

（2）把人演化成点即可得到上面结论，

由上面结论可知，4+3+2+1=10．

在线段的计数是，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．

8．往返于A，B两地的客车，中途停靠三个站，

问：

（1）有多少种不同的票价？

（2）要准备多少种车票？

先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．

根据线段的定义：

可知图中共有线段有AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，

（1）有10种不同的票价；

（2）因车票需要考虑方向性，如，“A→C”与“C→A”票价相同，但车票不同，故需要准备20种车票．

本题考查线段的定义，要求学生准确应用；

学会查找线段的条数．

9．先阅读下面材料，然后解答问题：

材料一：

如图

（1），直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A1和A2之间的任何地方，此时距离之和为A1到A2的距离．

如图

（2），直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2、A3的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A2处，此时距离之和为A1到A3的距离．（想一想，这是为什么）

不难知道，如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点A2和A3之间的任何地方；

如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，则相应点P的位置应取在点A3的位置．

材料二：

数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为|a﹣b|．

问题一：

若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、…、A25共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在　点A13处　；

若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、…、A50共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在　点A25和A26之间的任何地方　．

问题二：

现要求|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣97|的最小值，

根据问题一的解答思路，可知当x值为　48　时，上式有最小值为　1225　．

阅读型。

由前面结论易得P的位置应取这些点正中间的点，25÷

2=12，那么中间的点是第13个点；

有50个点时，正中间有2个数，50÷

2=25，应是第25和第26个点之间的任意部分；

问题二，绝对值也可以表示两点间的距离，|x+1|意思是x到﹣1的距离，依次类推．从﹣1到97是99个数，99÷

2=48，那么正中间的数是48．

点A13处；

点A25和A26之间的任何地方；

∵|x+1|+|x|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣97|=|x﹣（﹣1）|+|x﹣0|+|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣97|，

此题相当于数轴上x到点﹣1，0，1，…，97的距离和，

∴当x=48时；

有最小值为2450．

故答案为：

48，2450．

当数轴上有奇数个点时，数轴上到到这些点的距离之和最小的点是正中间那个点；

当数轴上有偶数个点时，数轴上到到这些点的距离之和最小的点是正中间两个点之间的部分．

10．在平面内有若干条直线，在下列情形下，可将平面最多分成几部分？

（1）有一条直线时，最多分成　2　部分；

（2）有两条直线时，最多分成　2+2=4　部分；

（3）有三条直线时，最多分成　1+1+2+3=7　部分；

（n）有n条直线时，最多分成　

+1　部分．

画出图形，寻找规律，根据规律解答．

由图可知，

（1）有一条直线时，最多分成2部分；

（2）有两条直线时，最多分成2+2=4部分；

（3）有三条直线时，最多分成1+1+2+3=7部分；

（4）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：

11．如图，过两点可画出

条直线，过不共线的三点最多可以作出

条直线，过无三点共线的四个点最多可作出

条直线，…，依次类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？

试说明道理．

对于第n个点，可以与其它所有点作（n﹣1）条直线，所以共可以作出n（n﹣1）条直线，但每条直线都重复一次，所以共可以作

条直线．

理由：

对于n个点，因为任意三点不在一条直线上，

所以以一点来看，它与其它所有点存在（n﹣1）条直线，

由于这样的点有n个，所以共有n（n﹣1）条，

又这样每条直线重复一次，所以共有

每条直线都重复一次是本题容易出错的地方，需要同学们注意，另外这个公式在初中阶段经常使用，需要熟练掌握．

12．我们知道过两点有且只有一条直线．

阅读下面文字，分析其内在涵义，然后回答问题：

如图，同一平面中，任意三点不在同一直线上的四个点A、B、C、D，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？

我们可以这样来分析：

过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C点、D点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×

4=12条直线，但其中每条直线都重复过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，图中一共有

=6条直线．请你仿照上面分析方法，回答下面问题：

（1）若平面上有五个点A、B、C、D、E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出　10　条直线；

若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出　15　条直线；

若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出　

　条直线（用含n的式子表示）．

（2）若我校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？

（1）根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：

；

（2）由总结的公式求得第一阶段比赛的总场次．

（1）5个点，共画

=10条直线，

6个点，共画

=15条直线，

n个点，共画

条直线；

（2）每个队能进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2，

即第一阶段比赛的总场次是24×

23÷

2=276场．

本题是规律型的题目，学生要善于总结，难度较大．

13．问8条直线最多能把平面分成多少部分？

分别求出1条直线、2条直线、3条直线的情况下所分成平面的数量，然后依次可得出8条直线最多能把平面分成多少部分．

1条直线最多将平面分成2个部分；

2条直线最多将平面分成4个部分；

3条直线最多将平面分成7个部分；

现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，

如图，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．

完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；

6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；

7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；

8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．

所以，8条直线最多将平面分成37个部分．

本题考查直线射线及线段的知识，难度不大，基本规律的寻找是关键．

14．根据题意完成下列填空：

L1和L2是同一平面内的2条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有　3　个交点；

如果在这个平面内再画第四条直线L4，那么这4条直线最多可有　6　个交点，由此我们猜想，在同一平面内，6条直线最多可有　15　个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有　

　个交点（用含n的代数式表示）．

要探讨直线的交点的最多个数，尽量让每两条直线相交，产生不同的交点．

1+2=3；

1+2+3=6；

1+2+3+4+5=15；

根据两条直线相交，有一个交点．那么画第n条直线的时候，要产生最多的交点个数，则可以和前面的n﹣1条直线都产生不同的交点，即多（n﹣1）个交点．

15．直线上有n个点，可以得到多少条线段？

先计算出两个点、三个点、四个点时线段的数量，由此可得出规律，继而可得出答案．

当直线上有2个点时，组成1条线段；

当直线上有3个点时，组成2条线段；

当直线上有4个点时，组成6条线段；

当直线上有5个点时，组成10条线段，

∴当直线上有n个点时组成

（n﹣1）条线段．

题考查直线上点与线段数量的关系，有一定难度，关键是培养由特殊到一般规律总结的意识．

16．AB是一段火车行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制几种车票？

先求得单程的车票数，再求出往返的车票数即可．

5个点中取两个点的取法有：

4×

5÷

2=10种；

本题是要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制10×

2=20种．

故答案为20．

在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．

17．同一平面上有四条直线，a，b，c，d它们可能会有几个交点？

请画出所有情形，并说明交点的个数．

分类讨论。

本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论．

本题涉及直线的相关知识，难度中等．

18．如图所示，数一数图中有多少条不同的线段？

计算题。

分别以A、B、C、D、E为起点查找，注意不要漏查．

对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：

（1）以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；

（2）以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；

（3）以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；

（4）以D为左端点的线段有DE，DF共2条；

（5）以E为左端点的线段只有EF一条．

所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15（条）．

本题考查直线射线及线段的知识，属于基础题，注意从左至右依次查找避免漏解．

19．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票．

（1）共有多少种不同的车票？

（2）如果共有n（n≥3）个站点，则需要多少种不同的车票？

两站之间的往返车票各一种，即两种，n个车站每两站之间有两种，则n个车站的票的种类数=n（n﹣1）种，n=6时，即6个车站，代入上式即可求得票的种数．

（1）两站之间的往返车票各一种，即两种，则6个车站的票的种类数=6×

5=30种；

（2）n个车站的票的种类数=n（n﹣1）种．

20．平面内有三点A、B、C，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：

（1）若平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，有多少种情况？

请画图说明；

（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？

（3）若平面内有n个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？

（直接写出结果）

（1）四个点共线，其中三点共线，任意三点不共线3种情况讨论，作出图形可得答案；

（2）当平面内有6个点，当任意三点不共线时，可以作出最多的直线条数；

分析可得答案；

（3）由

（2）的结论可知，当平面的点数由n增加1变为（n+1）时，可作出的直线数增加n．故可得答案．

（1）

（2）最多可画：

1+2+3+4+5=15（条）；

（3）最多可画：

（条）．

此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．

21．平面上有A，B，C，D四个点，过其中两点画直线，一共可以画几条直线试着画一画．

先画出图形再进行统计．

（1）若四个点在同一直线上，则只能画出一条直线[如图

（1）]．

（2）若四个点不在同一条直线上，则能画出四条或六条直线[如图

（2），（3）]．

根据公理两点确定一条直线，将各图中的点两两相连，可直接求得结果．

22．已知如图

（1）如图

（1），两条直线相交，最多有　1　个交点．

如图

（2），三条直线相交，最多有　3　个交点．

如图（3），四条直线相交，最多有　6　个交点．

如图（4），五条直线相交，最多有　10　个交点；

（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有　435　个交点．

（1）根据图形即可求得直线相交点的个数；

（2）根据已知条件，求得n条直线相交，最多有

个交点的个数，再将n=30代入上式即可求得相交点的个数．

（1）如图

（1），两条直线相交，最多有1个交点．

如图

（2），三条直线相交，最多有3个交点．

如图（3），四条直线相交，最多有6个交点．

如图（4），五条直线相交，最多有10个交点．

n条直线相交，最多有

个交点；

（2）∴30条直线相交，∴最多有

=435个交点．

本题是找规律题，找到n条直线相交，最多有

个交点是解题的关键．

23．

（1）在线段AB上取一点C，共有几条线段？

（2）在线段AB上取两点C，D，共有几条线段？

（3）在线段AB上取三点C，D，E，共有几条线段？

（4）一条直线上有n个点时，共有多少条线段？

（1）在线段AB上取一点C，线段上有3个点；

（2）在线段AB上取两点C、D，线段上有4个点；

（3）在线段AB上取三点C、D、E，线段上有5个点；

（4）一条直线上有n个点时，线段总条数=

（1）线段上有3个点时，线段总条数是3条，即3=1+2；

（2）线段上有4个点时，线段总条数是6条，即6=3+2+1；

（3）线段上有5个点时，线段总条数是10条，即10=4+3+2+1；

（4）直线上有n个点时，线段总条数（n﹣1）+…+3+2+1=

此题在线段的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．

24．阅读下面文字，完成题目中的问题：

阅读材料：

①平面上没有直线时，整个平面是1部分；

②当平面上画出一条直线时，就把平面分成2部分；

③当平面上有两条直线时，最多把平面分成4部分；

④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成7部分；

完成下面问题：

（1）根据上述事实填写下列表格

平面上直线的条数n

平面最多被分成几部分y

（2）观察上表中平面被分成的部分，他们的差是否有规律？

如果有请你说出来．

（3）平面被分成的部分也有规律，请你根据

（2）中的结论说出“平面被分成几部分“的规律．

（4）一块蛋糕要分给10位小朋友，你至少要切几刀？

（1）原来平面是1部分，则画1条直线最多把平面分成1+1=2个部分，画2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分，画三条直线最多把平面分成