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概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
第一部分概率论基本公式
1、
例:
证明:
2、对偶率:
3、概率性率:
(1)
(2)
(3)
4、古典概型
5、条件概率
例:
有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,
(1)求取得红球的概率;
(2)如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少?
6、独立事件
(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。
(2)伯努利概型
如果随机试验只有两种可能结果:
事件A发生或事件A不发生,则称为伯努利试验,即:
P(A)=p,(0
相同条件独立重复n次,称之为n重伯努利试验,简称伯努利概型。
伯努利定理:
(k=0,1,2……)
事件A首次发生概率为:
例:
设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,
(1)进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;
(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。
第二章
7、常用离散型分布
(1)两点分布:
若一个随机变量X只有两个可能的取值,且其分布为:
(0
特别地,若X服从参数为p的两点分布,即:
X
01
qp
则称X服从参数为0—1分布。
其中期望E(X)=p,D(X)=p(1-p)
(2)二项分布:
若一个随机变量X的概率分布由(k=0,1,2……)给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,记为:
X~b(n,p)(或B(n,p)
其中,当n=1时变为:
(k=0,1),此时为0—1分布。
其期望E(X)=np,方差D(X)=n(1-p)
(3)泊松分布:
若一个随机变量X概率分布为:
则称X服从参数为的泊松分布,记为:
其中,称为泊松流强度。
泊松定理:
在n重伯努利试验中,事件A在每次试验中发生的概率为,如果时,,则对任意给定的k,
有,这表明,当n很大时,p接近0或1时,有()。
其期望方差相等,即:
E(X)=D(X)=。
8、常用连续型分布
(1)均匀分布:
若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
其中,分布函数为:
其期望E(X)=,方差D(X)=。
(2)指数分布:
若随机变量的概率为,则称X服从参数为
的指数分布,简记为X~e().其分布函数:
其期望E(X)=,方差D(X)=.
(3)正态分布:
若随机变量X的概率密度为,则称X服从参数为μ和的正态分布,记为X~N(μ,),其中μ和(>0)都是常数。
分布函数为:
。
当称为标准正态分布,概率密度函数为:
分布函数为:
定理:
设
其期望E(X)=μ,D(X)=。
9、随机变量函数的分布
(1)离散型随机变量函数分布一般方法:
先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值,然后通过Y的每一个可能的取值(i=1,2,……)来确定Y的概率分布。
(2)连续型随机变量函数分布方法:
设已知X的分布函数或者概率密度,则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中,,进而可通过Y的分布函数,求出Y的密度函数。
例:
设随机变量X的密度函数为,求随机变量
10、设随机变量X~N(,Y=也服从正态分布.即。
11、联合概率分布
(1)离散型联合分布:
XY
……
P{X=}
p
P{Y=
1
(2)连续型随机变量函数的分布:
例:
设随机变量(X,Y)的密度函数
求,,D(X+Y).
解:
①当0≤x≤2时由,得:
,当x<0或x>2时,由,所以,
同理可求得:
;
②E(X)=,由对称性同理可求得,E(Y)=7/6。
③因为E(XY)=
所以,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。
④
同理得D(Y)=,所以,=
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=
12、条件分布:
若
13、随机变量的独立性:
由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则:
,设随机变量(X,Y)的联合分布概率为F(x,y),边缘分布概率为,若对于任意x、y有:
,即:
,则称X和Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数:
设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,边缘概率密度函数为,则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为:
,同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为:
,若=几乎处处成立,则称X,Y相互独立。
例:
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为:
,求
(1)确定常数c;
(2)X,Y的边缘概率密度函数;(3)联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};
(5)条件概率密度函数;(6)P{X<2|Y<1}
15、数学期望:
(1)离散型:
(2)连续型:
,因为并不是每一个函数都能积分,所以并非所有随机变量都有数学期望。
数学期望的性质:
①E(CX)=CE(X)①③设X,Y独立,则E(XY)=E(X)E(Y).
例:
10个人随机进入15个房间,每个房间容纳的人数不限,设X表示有人的房间数,求E(X)(设每个人进入房间是等可能的,且各人是否进入房间相互独立)
附:
二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果:
且P(A)=p,现在将试验独立进行n次,记为n次试验中结果A出现的次数,则,若记
其中:
16、方差:
(1)
(2)方差性质:
①D(CX)=CD(X);②若X.Y相互独立,则:
17、协方差:
(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别,X,Y独立时,有:
cov(X,Y)=0.
(2)协方差性质:
①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=abcov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(,Y)=⑤随机变量和的方差与协方差的关系.
(3)相关系数,性质:
①;②若X和Y相互独立,则=0,即X和Y不相关。
③若D(X)>0,D(Y)>0,则当且仅当存在常数a,b(),使:
附注:
④设e=E[Y-(,称为用来近似Y的均方差,则:
设D(X)>0,D(Y)>0,有:
使均方误差达到最小。
18、切比雪夫不等式:
设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=,则对于给定任意正数
,有:
19、大数定理:
设随机变量X,X,……X……相互独立,且具有相同的期望和方差:
,i=1,2,3……,,则对于任意>0,有:
20、中心极限定理;
(1)设随机变量X,X,……X……相互独立,服从同一分布,且,i=1,2,3……,则:
一个结论:
(2)棣莫佛—拉普拉斯定理:
设随机变量X,X,……X……相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,有:
第二部分数理统计
21、由于样本方差(或样本标准差)很好的反应总体方差(或标准差)的信息,因此,当方差未知时,常用去估计,而总体标准差则常用样本标准差S去估计。
22、常用统计分布
(1)分位数:
设随机变量X的分布函数F(x),对给定的实数
22、抽样分布A、单正态总体抽样分布
(1)设总体
则有:
B、双正态总体抽样分布:
23、参数估计——点估计:
,,需要构造一个适当的:
,然后观察值:
来估计,称为的估计量,称为的估计值,估计量和估计值统称为点估计。
设是未知参数的估计量,若,则称为的无偏估计量,
24、点估计常用方法
(1)矩估计法:
先求E(X),得到一个E(X)与未知参数的式子,用E(X)表示未知参数,再把E(X)用
代替即可。
例:
已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。
(2)最大似然估计:
一般方法:
a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点,在最大值点得表达式中,用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。
25、假设检验的一般步骤:
(1)根据实际问题的要求,充分考虑和利用已知的背景知识,提出原假设及备择假设;
(2)给定显著水平α以及样本容量n;(3)确定检验统计量U,并在原假设成立的前提下导出U的概率分布,要求U的分布不依赖于任何未知参数;
(4)确定拒绝域,即依据直观分析先确定拒绝域形式,然后根据给定的显著性水平α和U的分布,由P{拒绝|为真}=α,确定拒绝域的临界值,从而确定拒绝域W;(5)做一次具体抽样,根据得到的样本观察值和所得的拒绝域,对假设做出拒绝或接受的判断。
例:
水泥厂用包装机包装水泥,每袋额定重量50千克,某日开工后随机抽查了9袋,得其样本均值为49.9,样本方差为0.29.假设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常()?
(已知
解:
(1)建立假设:
μ=50,:
μ≠50;
(2)选择统计量:
;
(3)对于给定的显著性水平α,确定k,使
P{|T|>k}=α,查t分布表得:
,从而得拒绝域为:
|t|>2.306.
(注:
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