专题13 平面几何之线段数量关系问题解析卷.docx
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专题13平面几何之线段数量关系问题解析卷
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十三平面几何之线段数量关系问题
考点扫描☆聚焦中考
线段数量关系问题是平面几何中的基础性问题,是每年中考的单独考查的情况不是很多,往往融入到平面几何的综合性问题中,考查的知识点包括线段概念性问题、线段相等问题和线段和差计算问题三个方面,总体来看,难度系数低,以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以三角形及其四边形问题综合考查为主。
结合近几年来全国各地中考的实例,我们从三方面进行实数的概念和计算问题的探讨:
(1)线段概念性问题;
(2)线段和差问题;
(3)线段与几何图形综合性问题.
考点剖析☆典型例题
例1(已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点,BC=4cm,若M是AC的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度是( )
A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm
【解答】解:
(1)当点C在线段AB上时,则MN=AC+BC=AB=5cm;
(2)当点C在线段AB的延长线上时,则MN=AC﹣BC=7﹣2=5cm.
综合上述情况,线段MN的长度是5cm.
故选:
D.
例2如图,把弯曲的河道改直,能够缩短航程.这样做根据的道理是( )
A.两点之间,直线最短B.两点确定一条直线
C.两点之间,线段最短D.两点确定一条线段
【解答】解:
因为两点之间线段最短,把弯曲的河道改直,能够缩短航程.
故选:
C.
例3如图,平面上有四个点A、B、C、D,请用直尺按下列要求作图:
(1)作直线AB;
(2)作射线BC;
(3)连接AD,并将其反向延长至E,使DE=2AD;
(4)找到一点F,使点F到A、B、C、D四点的距离之和最短.
【解答】解:
(1)如图,直线AB即为所求;
(2)如图,射线BC即为所求;
(3)如图,点E即为所求;
(4)如图,点F即为所求.
例4已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(A在B的左侧,C在D的左侧).
(1)当D点与B点重合时,AC= 6 ;
(2)点P是线段AB延长线上任意一点,在
(1)的条件下,求PA+PB﹣2PC的值;
(3)M、N分别是AC、BD的中点,当BC=4时,求MN的长.
【考点】线段的和差.
【分析】
(1)根据题意即可得到结论;
(2)由
(1)得AC=AB,CD=AB,根据线段的和差即可得到结论;
(3)需要分类讨论:
①如图1,当点C在点B的右侧时,根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”,先计算出AM、DN的长度,然后计算MN=AD﹣AM﹣DN;②如图2,当点C位于点B的左侧时,利用线段间的和差关系求得MN的长度.
【解答】解:
(1)当D点与B点重合时,AC=AB﹣CD=6;
故答案为:
6;
(2)由
(1)得AC=AB,
∴CD=AB,
∵点P是线段AB延长线上任意一点,
∴PA+PB=AB+PB+PB,PC=CD+PB=AB+PB,
∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2(AB+PB)=0;
(3)如图1,∵M、N分别为线段AC、BD的中点,
∴AM=AC=(AB+BC)=8,
DN=BD=(CD+BC)=5,
∴MN=AD﹣AM﹣DN=9;
如图2,∵M、N分别为线段AC、BD的中点,
∴AM=AC=(AB﹣BC)=4,
DN=BD=(CD﹣BC)=1,
∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9.
例5已知,A,B在数轴上对应的数分别用a,b表示,且(ab+100)2+|a﹣20|=0,P是数轴上的一个动点.
(1)在数轴上标出A、B的位置,并求出A、B之间的距离.
(2)已知线段OB上有点C且|BC|=6,当数轴上有点P满足PB=2PC时,求P点对应的数.
(3)动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度,第二次向右移动3个单位长度,第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度,….点P能移动到与A或B重合的位置吗?
若都不能,请直接回答.若能,请直接指出,第几次移动与哪一点重合.
【解答】解:
(1)∵(ab+100)2+|a﹣20|=0,
∴ab+100=0,a﹣20=0,
∴a=20,b=﹣10,
∴AB=20﹣(﹣10)=30,
数轴上标出AB得:
(2)∵|BC|=6且C在线段OB上,
∴xC﹣(﹣10)=6,
∴xC=﹣4,
∵PB=2PC,
当P在点B左侧时PB<PC,此种情况不成立,
当P在线段BC上时,
xP﹣xB=2(xc﹣xp),
∴xp+10=2(﹣4﹣xp),
解得:
xp=﹣6,
当P在点C右侧时,
xp﹣xB=2(xp﹣xc),
xp+10=2xp+8,
xp=2,
综上所述P点对应的数为﹣6或2.
(3)第一次点P表示﹣1,第二次点P表示2,依次﹣3,4,﹣5,6…
则第n次为(﹣1)n•n,
点A表示20,则第20次P与A重合;
点B表示﹣10,点P与点B不重合.
考点过关☆专项突破
类型一线段概念性问题
1.下列说法中不正确的是( )
①过两点有且只有一条直线
②连接两点的线段叫两点的距离
③两点之间线段最短
④点B在线段AC上,如果AB=BC,则点B是线段AC的中点
A.①B.②C.③D.④
【解答】解:
①过两点有且只有一条直线,正确;
②连接两点的线段的长度叫两点间的距离,错误
③两点之间线段最短,正确;
④点B在线段AC上,如果AB=BC,则点B是线段AC的中点,正确;
故选:
B.
2.如图,已知点C在线段AB上,点M、N分别是AC、BC的中点,且AB=8cm,则MN的长度为( )cm.
A.2B.3C.4D.6
【考点】两点间的距离.
【分析】根据MN=CM+CN=AC+CB=(AC+BC)=AB即可求解.
【解答】解:
∵M、N分别是AC、BC的中点,
∴CM=AC,CN=BC,
∴MN=CM+CN=AC+BC=(AC+BC)=AB=4.
故选C.
3.把弯曲的道路改直,就能缩短路程,其中蕴含的数学原理是( )
A.过一点有无数条直线B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短D.线段是直线的一部分
【考点】线段的性质:
两点之间线段最短.
【分析】根据线段的性质,可得答案.
【解答】解:
把弯曲的道路改直,就能缩短路程,其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短,
故选:
C.
4.如图,已知线段AB=6延长线段AB到C,使BC=2AB,点D是AC的中点,则BD= 3 .
【解答】解:
如图:
,
由BC=2AB,AB=6,得
BC=12,
由线段的和差,得
AC=AB+BC=6+12=18,
由点D是线段AC的中点,得
AD=AC=×18=9cm.
由线段的和差,得
BD=AD﹣AB=9﹣6=3,
故答案为:
3.
5.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是线段BC的中点,则AM的长是 8或12 cm.
【考点】两点间的距离.
【分析】应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,即点C在点B的右侧或点C在点B的左侧两种情况进行分类讨论.
【解答】解:
①如图1所示,当点C在点A与B之间时,
∵线段AB=10cm,BC=4cm,
∴AC=10﹣4=6cm.
∵M是线段BC的中点,
∴CM=BC=2cm,
∴AM=AC+CM=6+2=8cm;
②当点C在点B的右侧时,
∵BC=4cm,M是线段BC的中点,
∴BM=BC=2cm,
∴AM=AB+BM=10+2=12cm.
综上所述,线段AM的长为8cm或12cm.
故答案为:
8或12.
6.已知A,B,C三点在同一条直线上,M,N分别为线段AB,BC的中点,且AB=60,BC=40,则MN的长为( )
A.10B.50C.10或50D.无法确定
【考点】两点间的距离.
【分析】根据题意画出图形,再根据图形求解即可.
【解答】解:
(1)当C在线段AB延长线上时,如图1,
∵M、N分别为AB、BC的中点,
∴BM=AB=30,BN=BC=20;
∴MN=50.
(2)当C在AB上时,如图2,
同理可知BM=30,BN=20,
∴MN=10;
所以MN=50或10,
故选C.
7.如图,C为线段AB上的一点,AC:
CB=3:
2,D、E两点分别为AC、AB的中点,若线段DE为2cm,则AB的长为多少?
【解答】解:
设AB=x,由已知得:
AC=x,BC=,
∵D、E两点分别为AC、AB的中点,
∴DC=x,BE=x,
DE=DC﹣EC=DC﹣(BE﹣BC),
即:
x﹣(x﹣x)=2,
解得:
x=10,
则AB的长为10cm.
8.已知线段AB=10cm,在直线AB上有一点C,且BC=4cm,点D是线段AC的中点,试求线段AD的长.
【解答】解:
分两种情况:
①如图1,当点C在线段AB上时,
AC=AB﹣BC=10﹣4=6cm.
∵点D是AC的中点,
∴AD=AC=3cm.
②如图2,当点C在线段AB的延长线上时,
AC=AB+BC=10+4=14cm.
∵点D是AC的中点,
∴AD=AC=7cm.
9.如图,平面上有射线AP和点B、点C,按下列语句要求画图:
(1)连接AB;
(2)用尺规在射线AP上截取AD=AB;
(3)连接BC,并延长BC到E,使CE=BC;
(4)连接DE.
【解答】解:
如图所示:
(1)连接AB;
(2)用尺规在射线AP上截取AD=AB;
(3)连接BC,并延长BC到E,使CE=BC;(4)连接DE.
10.如图,已知点A、点B是直线上的两点,AB=12厘米,点C在线段AB上,且BC=4厘米.点P、点Q是直线上的两个动点,点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒.点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动,则经过多少秒时线段PQ的长为5厘米?
【解答】解:
设运动时间为t秒.
①如果点P向左、点Q向右运动,
由题意,得:
t+2t=5﹣4,
解得t=;
②点P、Q都向右运动,
由题意,得:
2t﹣t=5﹣4,
解得t=1;
③点P、Q都向左运动,
由题意,得:
2t﹣t=5+4,
解得t=9.
④点P向右、点Q向左运动,
由题意,得:
2t﹣4+t=5,
解得t=3.
综上所述,经过或1或3秒时线段PQ的长为5厘米.
故答案为或1或3或9.
类型二线段和差问题
1.如图,点E是AB的中点,点F是BC的中点,AB=4,BC=6,则E、F两点间的距离是( )
A.10B.5C.4D.2
【解答】解:
∵点E是AB的中点,点F是BC的中点,AB=4,BC=6,
∴EB=AB=×4=2,BF=BC=×6=3,
∴EF=EB+BF=2+3=5.
故选:
B.
2.如图所示,A、B两点所对的数分别为a、b,则AB的距离为( )
A.a﹣bB.a+bC.b﹣aD.﹣a﹣b
【考点】两点间的距离.
【分析】根据AB两点之间的距离即为0到B的距离与0到A的距离之和,由数轴可知a<0,b>0,得出AB的距离为b﹣a.
【解答】解:
∵A、B两点所对的数分别为a、b,
∵a<0,b>0,
∴AB之间的距离为b﹣a,
故选C.
3.如图所示,某同学的家在A处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店B,请你帮助他选择一条最近的路线( )
A.A→C→D→BB.A→C→F→BC.A→C→E→F→BD.A→C→M→B
【考点】线段的性质:
两点之间线段最短.
【分析】根据线段的性质,可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度,所以想尽快赶到书店,一条最近的路线是:
A→C→F→
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