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y1(i+1)=y1(i)+h*(2*h+y1(i));
t1=[t1,t1(i)+h];
end
k1=y2(i)+t2(i);
k2=y2(i)+h*k1/2+t2(i)+h/2;
k3=y2(i)+h*k2/2+t2(i)+h/2;
k4=y2(i)+h*k3+t2(i)+h;
y2(i+1)=y2(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
t2=[t2,t2(i)+h];
y3(i+1)=2*exp(t3(i))-t3(i)-1;
t3=[t3,t3(i)+h];
plot(t1,y1,'
r'
t2,y2,'
g'
t3,y3,'
b'
系统响应曲线如下:
图1h=0.1时系统响应结果
图2h=0.01时系统响应结果
分析:
红线-欧拉法,绿线-RK4法,蓝线-解析解。
通过图中的结果我们可以看出RK4法的解与解析解更接近,其原因是欧拉法是用一阶微分方程计算得到的。
再通过两个图1和图2的比较可以知道步长越短结果越靠近。
2、
a=[010;
001;
-22.06-27-10];
b=[0;
0;
1];
c=[40.600];
X1=[0;
0];
Y1=0;
u=1;
Y2=0;
Y3=0;
X2=[0;
t0=0;
t3=0;
N=round(tf-t0)/h;
N
k1=a*X1+b;
k2=b+a*(h*k1/2+X1);
k3=b+a*(h*k2/2+X1);
k4=b+a*(h*k3+X1);
X1=X1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
Y1=[Y1,c*X1];
x=X2(:
i)+h*(a*X2(:
i)+b*u);
y=c*x;
X2=[X2,x];
Y2=[Y2,y];
Y3(i+1)=1.84-4.95*t3(i)*exp(-1.88*t3(i))-1.5*exp(-1.88*t3(i))-0.34*exp(-6.24*t3(i))
plot(t1,Y1,'
t2,Y2,'
t3,Y3,'
)
图3h=0.1时系统的响应曲线
由图可得出用RK4法得到的结果与解析方程得到的结果更接近。
图4h=0.05时系统的响应曲线
步长越小,结果越精确。
图6h=0.25时系统的响应曲线:
大步长越小,RK4法得到的结果与解析解更接近,但是使用欧拉法得到的结果与解析方程得到的结果仍然差距很大;
加大步长时,得到的结果不稳定,不能够很好的对系统进行仿真,另外,由于系统步长选择偏大,根据解析解得到的结果也与实际值有了一定的差距。
3、
k=1;
a=conv([100],conv([0.251],[0.251]))
b=[2*kk]
X0=[0000]
v=1;
n0=4;
tf=10;
h0=0.25;
r=1;
V=v;
n=n0;
T0=0;
Tf=tf;
h=h0;
R=r;
b=b/a
(1);
a=a/a
(1);
A=a(2:
n+1);
A=[rot90(rot90(eye(n-1,n)));
-fliplr(A)];
B=[zeros(1,n-1),1]'
;
m1=length(b);
C=[fliplr(b),zeros(1,n-m1)];
Ab=A-B*C*V;
X=X0'
y=0;
t=T0;
N=round(Tf-T0)/h;
k1=Ab*X+B*R;
k2=Ab*(X+h*k1/2)+B*R;
k3=Ab*(X+h*k2/2)+B*R;
k4=Ab*(X+h*k3)+B*R;
X=X+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
y=[y,C*X];
t=[t,t(i)+h];
[t'
y'
]
plot(t,y)
当K=1,V=1时,系统响应曲线如下:
当K=2,V=1时,系统响应曲线如下:
当K=1,V=2时,系统响应曲线如下:
当k取值增大,v值不变时,或者当v值增大,k值不变时,系统输出的波头增多,而且也变陡,稳态精度降低,当k(v)增加到一定程度时系统便发散了(即不稳定了)。
4、
A=[-2119-20;
19-2120;
40-40-40];
x=[1;
-1];
X=x;
t=0;
h=0.01;
k1=A*x;
k2=A*(x+h*k1/2);
k3=A*(x+h*k2/2);
k4=A*(x+h*k3);
x=x+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
X=[X,x];
y1=X(1,:
);
y2=X(2,:
y3=X(3,:
plot(t,y1,'
t,y2,'
t,y3,'
当h=0.01时,系统响应曲线如下:
当h=0.04时,系统响应曲线如下:
当h=0.06时,系统响应曲线如下:
如图,当h=0.01、0.04时,在t=0.2s以后系统输出便趋于平稳,当取h=0.06时,系统输出呈发散振荡形式,原先稳定的系统变得不稳定了,这便是病态系统。
四.思考题:
1.不对,阶次越高计算机计算速度越慢,而且每个阶次都会有一个误差,那么系统的稳定性将受到影响。
2.
(1)精度
1)截断误差:
由算法本身的精度阶次所决定
2)舍入误差:
由步长决定
3)累计误差:
由以上两项误差随时间积累决定
(2)计算速度
(3)稳定性
实验二
第一部分
面向结构图的数值积分法仿真
1、用面向方框图的数字仿真方法对下列系统进行仿真。
2、求解下图所示系统在f=-1(t)阶跃扰动作用下第④、第⑤环节的动态过程。
分别用面向框图的数值积分法(RK4法)、MATLAB中有关系统建模的命令和Simulink三种方法求解。
三.实验程序及结果
1.
P=[0,0.07,1,0.14;
1,0.012,1,0;
0,0.05,1,0.15;
10,1,1,0;
1,0.01,0,0.0008];
WIJ=[1,0,1;
1,4,-1;
2,1,1;
3,2,1;
3,5,-1;
4,3,1;
5,4,1]
n=5;
Y0=1;
Yt0=[00000];
L1=5;
T0=0;
Tf=2;
nout=4;
A=diag(P(:
1));
B=diag(P(:
2));
C=diag(P(:
3));
D=diag(P(:
4));
m=length(WIJ(:
W0=zeros(n,1);
W=zeros(n,n);
fork=1:
m
if(WIJ(k,2)==0)
W0(WIJ(k,1))=WIJ(k,3);
elseW(WIJ(k,1),WIJ(k,2))=WIJ(k,3);
end;
end;
Q=B-D*W;
Qn=inv(Q);
R=C*W-A;
V1=C*W0;
Ab=Qn*R;
b1=Qn*V1;
Y=Yt0'
y=Y(nout);
N=round((Tf-T0)/(h*L1));
N;
forj=1:
L1;
k1=Ab*Y+b1*1;
k2=Ab*(Y+h*k1/2)+b1*1;
k3=Ab*(Y+h*k2/2)+b1*1;
k4=Ab*(Y+h*k3)+b1*1;
Y=Y+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
y=[y,Y(nout)];
t=[t,t(i)+L1*h];
plot(t,y)
2.
P=[10.014910;
10.0025426.66670;
10.39100.4199;
00.24810;
12.8810];
WIJ=[151;
211;
341;
421;
43-1;
501;
54-1;
];
Y0=-1;
h=0.005;
L1=10;
Tf=10;
nout=5;
if(WIJ(k,2)==0);
W0(WIJ(k,1))=WIJ(k,3);
K1=Ab*Y+b1*Y0;
K2=Ab*(Y+h*K1/2)+b1*Y0;
K3=Ab*(Y+h*K2/2)+b1*Y0;
K4=Ab*(Y+h*K3)+b1*Y0;
Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
y=[y,Y(nout)];
t=[t,t(i)+h*L1];
gridon;
xlabel('
t/s'
ylabel('
Amplitude'
axis([010-0.080.02]);
结果:
第二部分
面向结构图的离散相似法仿真
1、已知控制系统结构图如图所示,设输入阶跃函数幅值Y0=10,滞环非线性参数s=1(滞环宽度),请用离散相似法编程和Simulink法对系统进行如下分析:
1)不考虑非线性环节影响时,求解y(t)的阶跃响应;
2)考虑非线性环节影响,其余参数不变,求解y(t)并与线性情况所得结果进行比较;
3)改变的滞环非线性参数s,分析该非线性对系统的影响。
2、系统结构图如图所示,先理论分析该系统是否会产生自激振荡,若会求出振荡的振幅和频率,并用离散相似法编程和Simulink法验证分析的结果。
(1)Simulink法
(2)MATLAB法
P=[110510;
10.510;
10.110;
0110];
WIJ=[101;
211;
321;
431;
14-1];
X0=[0000];
Z=[0006];
S=[0001];
h=0.01;
L1=25;
n=4;
Y0=10;
A=(P(:
B=(P(:
C=(P(:
D=(P(:
end
if(A(i)==0);
FI(i)=1;
FIM(i)=h*C(i)/B(i);
FIJ(i)=h*h*C(i)/B(i)/2;
FIC(i)=1;
FID(i)=0;
if(D(i)~=0);
FID(i)=D(i)/B(i);
else
FI(i)=exp(-h*A(i)/B(i));
FIM(i)=(1-FI(i))*C(i)/A(i);
FIJ(i)=h*C(i)/A(i)-FIM(i)*B(i)/A(i);
FIM=(1-FI(i))*D(i)/A(i);
FIJ(i)=h*D(i)/A(i)-FIM(i)*B(i)/A(i);
FIC(i)=C(i)/D(i)-A(i)/B(i);
Y=zeros(n,1);
X=Y;
Uk=zeros(n,1);
Ubb=Uk;
t=T0:
h*L1:
Tf;
N=length(t);
N-1
forl=1:
L1
Ub=Uk;
Uk=W*Y+W0*Y0;
fori=1:
if(Z(i)~=0)
if(Z(i)==1)
Uk(i)=satu(Uk(i),S(i));
if(Z(i)==2)
Uk(i)=dead(Uk(i),S(i));
if(Z(i)==3)
[Uk(i),Ubb(i)]=backlash(Ubb(i),Uk(i),Ub(i),S(i));
end
Udot=(Uk-Ub)/h;
Uf=2*Uk-Ub;
X=FI'
.*X+FIM'
.*Uk+FIJ'
.*Udot;
Yb=Y;
Y=FIC'
.*X+FID'
.*Uf;
if(Z(i)==4)
Y(i)=satu(Y(i),S(i));
if(Z(i)==5)
Y(i)=dead(Y(i),S(i));
if(Z(i)==6)
[Y(i),Ubb(i)]=backlash(Ubb(i),Y(i),Yb(i),S(i));
S4=1
S4=5
(1)Simulink法:
(2)Matlab法
P=[0,1,1,0;
1,1,1,0;
2,1,1,0];
13-1;
321];
n=3;
Yt0=[0000];
nout=3;
Z=[006];
S=[001];
sp3_3
sp3_4
实验三采样控制系统的数字仿真
1、已知采样系统结构如图所示,分别用程序设计方法和Simulink法求系统的输出响应。
(取仿真时间:
Tf=10;
采样周期:
T=0.2;
计算步长:
h=0.01)(注:
第一个框图中,分子分母中z的指数均为-1;
第二个框图中e的指数为-Ts)
2、设某数字控制系统如图所示,采样周期为T=0.1s,初始状态
。
(注:
第二个框图中e的指数为-Ts)
(1)数字控制器为PI调节器
,其中
(2)数字控制器为PID调节器
要求:
1)用程序设计法、MATLAB控制工具箱时域响应分析函数、Simulink法求系统在单位阶跃输入信号
作用下的输出响应;
2)比较两种控制器作用下系统的响应,由此得出微分调节的作用。
三,程序及结果
(2)matlab法:
clc;
clear;
G=[2.72-1];
F=[0.717];
P=[0110;
1110];
211];
n=2;
X0=[00];
Ts=0.2;
nout=2;
A=P(:
1);
B=P(:
2);
C=P(:
3);
D=P(:
4);
if(WIJ(k,2)==0);
end
if(A(i)==0)
FIM(i)=h*(C(i)/B(i));
if(D(i)~=0)
FI(i)=exp((-h)*A(i)/B(i));
FIM(i)=(1-FI(i))*(C(i)/A(i));
FIM(i)=(1-FI(i))*(D(i)/A(i));
FIJ(i)=h*D(i)/A(i)-FIM(i)*B(i)*A(i);
Ub=Uk;
U=0;
uk=0;
ek=0;
E=zeros(n,1);
x2=0;
h:
t0=T0:
Ts;
N=length(t0);
t1=T0:
Ts:
M=length(t1);
M-1;
U=uk;
ek=Y0-x2;
E=[ek;
E
(1)];
uk=-F*U+G*E;
Uk=W*Y+W0*uk;
y(((N-1)*(k-1)+l),1)=Y(nout);
x2=Y(nout);
plot(1:
1000,y);
(1)
G=[15.2-15];
F=[-1];
P=[1110;
1410];
Ts=0.1;
E=zeros(2,1);
t=0:
0.01:
9.99;
plo
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