B样条曲线与曲面Word文档格式.docx
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R(0)=R4,R
(1)=R,且一次均匀b样条曲线就是控制多边
形。
2二次均匀B样条曲线的
3
空间n+1个顶点的位置矢量P(i=0,1,…,n)定义n—1段二次(k=0,1,2,n=2)均匀
端点位置矢量:
p(0)=0.5(Pi」+R),p
(1)=0.5(R+Pf),即曲线的起点和终点分别位于控制多边形PmPi和PiPi+1的中点。
若Rj、P、P卅三个顶点位于同一条直线上,P(u)蜕
化成p4Pp41直线边上的一段直线。
端点一阶导数矢量:
P(0)=Pi一PiA,P
(1)=Pe—R,P"
(°
)=Pv—Pi,
P
(1)=Pit-Pi十,即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合,且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。
二阶导数矢量:
Pi(0)=PiJ_2PiPiT=Pi⑴=Pi⑴,即曲线段内任何点
处二阶导数相等,且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。
4三次均匀B样条曲线
空间n+1个顶点的位置矢量P(i=0,1,ooo,n)构造n—2段三次(k=0,1,2,3,四阶n=3)
均匀B样条曲线段,每相邻四个点可定义一曲线段
Pi(u)(i=1,。
。
,n—2),其定义表达为:
-
■-1
-3
1_
Pi(u)」U3
u2U1]
—6
Pi
6
Pi-44
1
4
0_
Rd
=3!
(1—u)3Pi—1+3!
(4—6u2+3u3)Pi+3!
i=1,…,n-2;
0_u_1
(1+3u+3u—3u)R+1+3-u
Pi+2
=No,3(u)Pi—1+N1,3(u)R+N2,3(u)Pi+1+N3,3(u)Pi+2
Pi(0)T6(p「4R+盼),旳咦(叮4沿+p®
,即起点位于三角形•■Pi-1PiPi+1中线PiM1的1/3处,终点位于三角形LPiPi+1Pi+2中线Pi+1M2的1/3处。
可见B样条曲线的端点并不通过控制点。
Pi(°
)=(pi+_Pi4)/2,P
(1)=(Pi七—Pi)/2=Pi^1(0),即曲线起
点的切矢平行于.Pi-1PiPi+1的底边Pi-1Pi+1,其模长为底边Pi-1Pi+1长的1/2,同样曲线终点的切矢平行于.-PiPi+1Pi+2的底边PiPi+2,其模长也为底边PiPi+2长的1/2。
且相邻两曲线段具有一阶导数连续
個P⑴汕"
0))。
P「(0)=Pi4—2Pi+Pi十,P「
(1)=Pi—2Pr+Pi42=Pi:
(0),即曲线
段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线,且两曲线段在节
点处具有二阶导数连续(因R"
⑴=R"
(0))。
点。
(d)三顶点共线
(7二重节点和三重节点
图.1.26三咬B样条曲线的一些特例
Bezier曲线段与段之间
思考:
用作图法绘制下图均匀三次B样条曲线。
B样条曲线段与段之间具有天然的连续性,具有整体的光滑特性,而
必须光滑拼接。
因此在商用系统中B样条方法应用更为广泛。
2.B样条曲线的性质
局部性
空间n+1个控制顶点
(i=0,1,…,n)构造(n—k+1)段k次(k+1阶)B样条曲线段,
且每一曲线段Pi(u)(i=1,…,n—k+1)由Rd、R、…、Pi哉」等k+1个控制顶点确定,与其它控制点无关。
2整体性和连续性
一般情况下(即无重节点、重顶点),n+1个控制顶点所构造的(n—k+1)段k次(k+1阶)
k—1k—1
B样条曲线段组成一完整的B样条曲线,曲线段与段之间具有Ck'
阶函数连续性(或Gk1阶
几何连续性),当有K重顶点时,将可能产生尖点(前面已介绍),虽然仍满足函数连续,但不
满足几何连续。
5几何不变性
改变坐标系不改变曲线形状。
6变差缩减性
与Bezier曲线性质相同。
(5)造型的灵活性
由于其良好的局部特性,可以方便构造低次的复杂曲线,且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的;
由于其整体性和连续性,曲线具有整体的光滑性。
正因如此,B样条曲线比Bezier应用更为广泛,为商用系统普遍采用。
缺点:
首末两端点不通过控制顶点,与其优点比较微不足道。
3.均匀双二次B样条曲面
已知曲面的控制点Pij(i,"
0,1,2),参数u,w,且u,w0,11,k=l=2,构造步骤是:
经转置后:
同上可得:
b、再沿u向构造均匀二次B样条曲线,即可得到均匀二次
B样条曲面:
4.均匀双三次B样条曲面
已知曲面的控制点Rij(i,j=o,1,2,3),参数u,W,且u,wo,ll,k=l=3,构造双三次
B样条曲面的步骤同上述。
a沿w向构造均匀三次B样条曲线,有:
Ro(W)=RooRoiPo2Po3MTWTPi(w)=bioR11R12Pi3】M;
WT
R2(w)=^2oR21R22R23MBwTR3(w)=lF3oR31R32R33MBwT
b、再沿u向构造均匀三次B样条曲线,此时可认为顶点沿滑动,每组顶点对应相同的,当值由0到1连续变化,即形成均匀双三次B样条曲面。
此时表达式为:
R(w)1
BRMBWT
R1(w)
S(u,w)=UMB=UM
R2(w)
f3(w)_
上式也可表达为:
S(U,W)=[No,3(U)Ni,3(U)No,3(U)No,3(U)][Pij]4x4[N0,3(W)Nl,3(W)N2,3(W)
N3,3(W)]T
对于由控制点Pij(i=0,1,…,m,j=0,1n)组成的均匀双三次
制点定义而成。
次曲面为例的说明B样条曲面的性质。
界特征网格顶点确定,由B样条曲面得定义可得:
1)、Sj(0,w)、Sij(1,w)。
推广之:
沿B样条曲面任何等参数的截线
均为一B样条曲线(读者证明)。
(3)均匀双三次B羊条曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻二排顶点
(共三排顶点)有关,
Su
i,jl(U,1)=No,3(U)Ni,3(U)N2,3(U)N3,3(U)1
「R,j」
Pi*jd
R半,j」'
pS/
R,j
Ri,j
R2,j
R3,j
R,j4l
R-1,j1
R42,jH1
RH3,jH4
P,j2
R1,j-2
R-2,j;
;
2
R3,j2
1/6
2/3
W6一
=No,3(U)Ni,3(U)N2,3(u)N3,3(u)l
Sui,j(U,O)=No,3(U)Ni,3(U)N2,3(u)N3,3(U)1
二No,3(U)Ni,3(U)N2,3(U)
N3,3(U)
1/6R,j+2/3R
1/6R*j
1/6R]1/6R和
_R,j
IRH1,j
RN2,j
|_RH3,j
1/6R,j
|1/6R*j
1/6R乜j
1/6R
■2,j
j^+1/6R,j羊1
2/3R1,j11/6R1,j2
2/3R2,j11/6R2,j-2
2/3R3,j11/6R3,j2
R,j2
R-1,j-2
R2,j2
1/6R,j2
1/6R1,j2
1/6R.2,j-2
1/6R.3,j2
1,j-1
2,j1
p,j1
p-1,j1
p2,j1
P^3,j■+
2/3R,j1
+2/3Rrfr,jH1
+2/3R萄十
3,j'
2/3R3,j1
Rx「1/6]
R*j书
R也j43
R粘j43
」0一
=Sui4,j(U,1)
依次可得Sui,j(U,1),Swi,j(0,w),
Swi,j(1,W)。
可见均匀三次B样条曲面具有一阶函数连
续性。
同理可得Sui,j(u,0),Sui,j(u,1),
该边界的及相邻两排顶点(共三排顶点)有关,且均匀三次
Swij(0,w),Swi,j(1,w),其跨界二阶导矢只与定义
B样条曲面具有二阶函数连续性。
泛。
(4)几何不变性。
(5)对称性。
(6)凸包性。
B样条曲面的线框图绘制方法:
先沿等参数方向离散成网格点,然后依次连线绘制。
由此可见,B样条方法能够很方便绘制复杂曲面,显然比Bezier方法更灵活,因此应用更广
5.B样条曲线与曲面的递推表达
1)B样条曲线的定义
定义:
由前面的内容得知,三次均匀B样条曲线的基函数为:
11
No,3(u)=3!
(1-u)3N1,3(u)=3!
(4—6u2+3u3)
N2,3(u)=3!
(1+3u+3u2—3u3)N3,3(u)=3!
u3
上述基函数图形如下图所示:
K次(k+1阶)B样条
已知n+1个控制点P(i=0,1,ooo,n),也称为特征多边形的顶点,
曲线的表达式是:
C(u)八RNi,k(u)
k<
=n
i=0
其中Ni,k(u)是调和函数,也称为基函数,按照递归公式可定义为:
“、(u-ti)Ni,k」(U)丄(ti**—u)N
idtk/(u)‘c
Nik(u)=+ka0
—tj—ti+|
0/0=0
式中ti是节点值,且为非减序列,T=koh.rtnk」构成了K次(k+1阶)B样条基函数
的节点矢量,每一基函数由对应的K+2个节点决定;
上式也表明,高次B样条函数可用低次的B样条函数来表示,由此式可得其递推计算方法。
由基函数的示意图可知B样条基函数具有局部支撑特性,即
节点矢量所含节点数目由控制顶点Pi(i=0,1,。
,n)和曲线次数k所确定(节点数=n
当节点沿参数轴是均匀等距分布的,则表示均匀B样条函数,其节点值ti-t-1=常数;
例如:
当k=3,ti-ti-1=1,U0,1,则上述基函数可表示为均匀三次B样条函数,
并通过变换可得如下表达:
Nj,3(u)=3!
(1—U)3
Ni+1,3(u)
3!
Nj+2,3(u)
(1+3u+3u?
—3u‘)
当节点沿参数轴的分布是不等距的,则表示非均匀B样条函数,即节点值ti—ti—1工常数。
均匀B样条和非均匀B样条曲线一般不通过控制多边形首末两点。
若需B样条曲线具有较好
的端点性质(即通过端点),实际应用中常引入准均匀B样条,即在节点矢量中两端节点具有k
+1个重复度:
to=t1==tk,tn+1=tn+2==tn+k+10
这样构造的准均匀B样条曲线将通过控制多边形首末两点。
下图为例:
构造n=5,k=2
图3.1.21推均匀三次B样条曲线
当门=7,k=3的准均匀三次B样条曲线的节点矢量可定义为u=[0,0,0,0,1,2,
3,4,5,5,5,5]o
若门=3,k=3的节点矢量u=[0,0,0,0,1,1,1,1],此时三次B样条曲线转化为三
u=[O,.;
..,。
,1,...:
•••,1]
次Bezier曲线。
推而广之,若n=k,节点矢量为k1k1,此时K次B样条曲线
为K次Bezier曲线。
性质:
局部性:
K次B样条曲线仅在K+1个区间内非0。
换句话说,每段k次B样条曲线只涉及k+1个基函数,并由k+1个顶点所定义。
第i段K次B样条曲线仅由Pi,Pi+i,ooo,Pi+k共k+1个顶点所控制,与其它点无关;
反之,修改一个控制顶点,其影响范围为与该顶点有关的k+1段。
凸组合性质(凸包性)
连续性:
在无重节点的情况下,K次B样条在节点处具有k-1次连续性,如三次B样条具有二阶连续;
若在某节点处具有m重节点,则K次B样条在该节点处连续性K-1阶。
利用重节点技巧,可获得一些特殊的几何特性。
递推特性
2)B样条曲面的定义
基于B样条曲线的定义和性质,可以得到B样条曲面的定义。
给定(m1)(n1)个空间点
列R,j,\=0,1,…,m;
j=0,1,…,n,则
mn
S(u,w)「'
Pi,jNi,k(u)Nj」(w)
i=0j=0
定义了kl次((k+1)x(l+1)阶)B样条曲面,Ni,k(u)和Njw)是k次(k+1阶)和l次(l+1阶)的B样条基函数,u和w为B样条基函数Ni,k(U)和Nj■1(w)的节点参数,由%组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。
上式也可以写成如下的矩阵形式:
Sr,s(u,w)二UkMkPklMTW1T
r0,m-k,s三0,n-k】
上式中(r+1),(s+1)分别表示在u,w参数方向上曲面片的个数。
Uk=Uk,uk4,...,u,1,W|二w1,w14,...,w,11
Pkl=[Pi,j]i•卜,rk,jS,sl1
式中Pkl是某一个B样条曲面片的控制点编号。
性质
个特征网格顶点有关,如均匀双三次B样条曲面与对应的9个顶点有关。
(2)B样条曲面的边界曲线仍为B样条曲线,该边界B样条曲线由对应的K条(或L条)边界特征网格顶点确定。
如均匀双三次B样条曲面边界曲线仅与三排顶点有关。
推广:
沿B样条曲面任何等参数的截线均为一B样条曲线。
(3)E样条曲面边界的跨界导数只与定义该边界的顶点及相邻K-1排(或L-1排)顶点有关,具有(K-1)x(L—1)阶函数连续性。
(4)几何不变性。
(5)对称性。
(6)凸包性。
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