度北师大版八年级数学下册《11等腰三角形》同步提升训练附答案Word文档格式.docx

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，点D为斜边AB上的一点，∠ACD＝35°

，若△ACD为等腰三角形，那么∠B的度数为　　．

20．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为　　．

21．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．

（1）求证：

∠D＝∠E；

（2）若∠BAC＝108°

，∠D＝36o，则图中共有　　个等腰三角形．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°

，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．

（1）求∠ADB的度数；

（2）求证：

△ADE是等腰三角形．

23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°

，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．

（1）证明：

△ADF是等腰三角形；

（2）若AB＝6，求DE的长．

24．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°

，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．

（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；

（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请直接写出∠BQP的度数；

若不可以，请说明理由．

25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

CE＝CF；

（2）若CD＝2，求DF的长．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．

∠AEC＝∠ACE；

（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．

27．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°

，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

②若BN＝DN，求证：

MB＝MN．

参考答案

1．解：

当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：

5+5+2＝12．

故选：

D．

2．解：

设∠EBD＝x，

∵DE＝BE，

∴∠AED＝2x，

又∵AD＝DE，

∴∠A＝2x，

∴∠BDC＝x+2x＝3x，

而BC＝BD，则∠C＝3x，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝3x，

∴3x+3x+2x＝180°

，

∴∠A＝2x＝45°

C．

3．解：

∵DE＝EF，∠DEF＝60°

∴△DEF为等边三角形，

∴∠EDF＝60°

∵AB＝BC＝CD．

∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，

∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，

∴∠CDB＝2∠A，

∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，

∴△CDE为等腰三角形，

∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，

∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°

∴∠A＝15°

B．

4．解：

∵∠DAC＝131°

，∠DAC+∠CAB＝180°

∴∠CAB＝49°

∵AC＝BC，

∴∠CBA＝49°

，∠ACB＝180°

﹣49°

＝82°

∴∠ECF＝180°

﹣82°

＝98°

5．解：

若6cm为底时，腰长＝

（24﹣6）＝9cm，

三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，

能围成等腰三角形，

若6cm为腰时，底边＝24﹣6×

2＝12，

三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，

∵6+6＝12，

∴不能围成三角形，

综上所述，腰长是9cm，

6．解：

∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，

∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，

∵MN∥BC，

∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，

∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，

∴MO＝MB，NO＝NC，

∵AB＝5，△AMN的周长等于12，

∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，

∴AC＝7，

A．

7．解：

如下图，分三种情况：

①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，

由题意知，AD＝

BC＝

AB，

∵sin∠B＝

＝

∴∠B＝30°

，∠C＝

（180°

﹣∠B）＝75°

∴∠BAC＝∠C＝75°

；

②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，

AC，

∵sin∠ACD＝

∴∠ACD＝30°

＝∠B+∠CAB，

∵∠B＝∠CAB，

∴∠BAC＝

∠ACD＝15°

③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，

由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，

BC＝CD＝BD，

∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°

∴∠BAC＝90°

∴∠BAC的度数为90°

8．解：

如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与x轴的交点有4个．

9．解：

如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G

∵AB＝AC，∠A＝60°

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°

∵EC＝CD，

∴∠CED＝∠CDE＝

∠ACB＝30°

∴∠AEF＝30°

∴∠AFE＝90°

，即EF⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴EG＝EF＝2，

在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，

∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；

方法二、

∴∠ABE＝∠CBE＝30°

＝∠CDE，

∴BE＝DE，∠BFD＝90°

∴BE＝2EF＝4＝DE，

∴DF＝DE+EF＝6；

10．解：

∵AB＝AC，∠A＝40°

∴∠ABC＝∠C＝70°

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝40°

∴∠CBD＝70°

﹣40°

＝30°

11．解：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，

∵BD垂直平分AG，

∴BA＝BG＝8，

∠BAG＝∠G

∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，

∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，

∴∠G＝∠CAE，

∴AC∥GB，

∴∠ACE＝∠GBE，

∵AE＝AC＝2，

∴∠ACE＝∠E，

∴∠GBE＝∠E，

∴GB＝GE＝8，

∵DG+d＝G﹣AE，

∴2AD＝6，

∴AD＝3．

故答案为3．

12．解：

设∠CBD＝x，

由题意得：

∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB＝

﹣4x）＝90°

﹣2x，

∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°

∴3x+90°

﹣2x+70°

＝180°

∴x＝20°

∴∠BDC＝20°

∴∠ACD＝180°

﹣∠DEC﹣∠BDC＝90°

故答案为：

90．

13．解：

∵AB＝AC，∠A＝100°

∴∠B＝

﹣∠A）＝40°

∵∠BDE＝15°

∴∠AED＝55°

∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，

①当点P在AB上，

∵DE＝DP1，

∴∠DP1E＝∠AED＝55°

∴∠EDP1＝180°

﹣55°

＝70°

②当点P在AC上，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD，

过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴DG＝DH，

在Rt△DEG与Rt△DP2H中，

∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），

∴∠AP2D＝∠AED＝55°

∵∠BAC＝100°

∴∠EDP2＝150°

③当点P在AC上，

同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），

∴∠EDG＝∠P3DH，

∴∠EDP3＝∠GDH＝180°

﹣100°

＝80°

④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝

）＝62.5°

62.5°

或70°

或80°

或150°

14．解：

∵AD为BC边上的高，

∴∠ADB＝90°

∴∠ABD＝∠BAD＝

﹣∠ADB）＝45°

∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2＝

∠ABD＝22.5°

，BE⊥AC，

∴∠BEA＝90°

＝∠ADB，

∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°

，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°

，∠AHE＝∠BHD，

∴∠3＝∠2＝22.5°

22.5°

15．解：

如图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．

8．

16．解：

延长AP交BC于点E，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠EBP，

∵AP⊥BP，

∴∠APB＝∠EPB＝90°

在△ABP和△EBP中，

∴△ABP≌△EBP（ASA），

∴AP＝PE，

∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，

∴S△PBC＝

S△ABC＝

×

16cm2＝8cm2，

17．解：

在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°

当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，

∴∠BAD＝90°

＝50°

∴∠ABC＝∠ACB＝

﹣50°

）＝65°

当BD在△ABC外部时，如图2，

∴∠ABC＝∠ACB，

而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，

∴∠ACB＝

∠BAD＝25°

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°

或25°

65°

18．解：

设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，

∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，

∴有两种情况：

1、当3x＝18且x+y＝15时，

解得x＝6，y＝9，

即AC的长为9；

2、当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，

此时腰为10，

即AC的长为13．

综上所述，AC的长为9或13．

9或13．

19．解：

如图1，当DA＝DC时，

∵∠ACD＝35°

∴∠A＝35°

∵∠ACB＝90°

∴∠B＝55°

如图2，当CA＝CD时，

∴∠A＝（180°

﹣35°

）÷

2＝72.5°

∴∠B＝17.5°

综上所述，∠B的度数为55°

或17.5°

55°

20．解：

过点E作EF⊥BC于F；

如图所示：

则∠BFE＝90°

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°

，BC＝AB＝8，

∴∠FEB＝90°

﹣60°

∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，

∴BF＝

BE＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝2，

∵ED＝EC，EF⊥BC，

∴DF＝CF＝2，

∴BD＝BF﹣DF＝4；

4．

21．

（1）证明：

在△EBC和△DCB中，

∴△EBC≌△DCB（SAS），

∴BE＝CD．

（2）图中共有5个等腰三角形．

∵∠BAC＝108°

AB＝AC,

∴∠ABC＝∠ACB＝36°

∵∠D＝∠E＝36°

∴∠D＝∠BCD,∠E＝∠CBE,

∴∠DAB＝∠EAC＝72°

∴∠DBA＝∠DAB＝72°

∠EAC＝∠ECA＝72°

∴DB＝DA,EA＝EC,

∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形．

5．

22．

（1）解：

∵AB＝AC，∠BAC＝36°

∴∠ABC＝∠C＝

﹣∠BAC）＝72°

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝

∠ABC＝36°

∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°

+36°

＝108°

（2）证明：

∵AE∥BC，

∴∠EAC＝∠C＝72°

∵∠C＝72°

，∠DBC＝36°

∴∠ADE＝∠CDB＝180°

﹣72°

﹣36°

＝72°

∴∠EAD＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴△ADE是等腰三角形．

23．证明：

（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，

∴AD⊥BC，

即∠ADB＝90°

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠DAE＝∠EAB＝30°

∵DF∥AB，

∴∠F＝∠BAE＝30°

∴∠DAF＝∠F＝30°

∴AD＝DF，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝120°

∴∠BAD＝60°

在Rt△ADB中，∠B＝30°

，AB＝6，

∴AD＝3，

在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°

∴DE＝

24．解：

（1）△APB是直角三角形，

理由如下：

∵AB＝AC，∠B＝30°

∴∠C＝30°

＝∠B＝∠APQ，

∵PQ∥AC，

∴∠BPQ＝∠C，

∴∠APB＝60°

∴∠BAP＝90°

∴△APB是直角三角形；

（2）当AQ＝QP时，

∴∠QAP＝∠APQ＝30°

∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°

当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°

∴∠BQP＝105°

当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°

∵P不与B、C重合，

∴不存在，

综上所述：

∠BQP＝105°

或60°

25．证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°

∵DE∥AB，

∴∠B＝EDC＝60°

，∠A＝∠CED＝60°

∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°

∵EF⊥ED，

∴∠DEF＝90°

∴∠F＝30°

∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°

∴∠F＝∠FEC＝30°

∴CE＝CF．

（2）由

（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°

∴CE＝DC＝2．

又∵CE＝CF，

∴CF＝2．

∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．

26．解：

（1）∵∠ACB＝90°

，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°

∴∠ACD＝∠B，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，

即∠AEC＝∠ACE；

（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，

∴∠B＝∠BCE，

又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，

又∵∠ACB＝90°

，∠B＝30°

∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，

∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，

∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．

27．

（1）解：

如图1中，

在等边三角形△ACD中，

∠CAD＝∠ADC＝60°

，AD＝AC．

∵E为AC的中点，

∴∠ADE＝

∠ADC＝30°

∴AD＝AB，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°

∴∠ADB＝∠ABD＝10°

∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°

（2）①补全图形，如图所示．

②证明：

连接AN．

∵CM平分∠ACB，

∴设∠ACM＝∠BCM＝α，

∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，

∴DN⊥AC，

∴NA＝NC，

∴∠NAC＝∠NCA＝α，

∴∠DAN＝60°

+α，

在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SSS），

∴∠ABN＝∠ADN＝30°

，∠BAN＝∠DAN＝60°

∴∠BAC＝60°

+2α，

在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°

∴60°

+2α+2α+2α＝180°

∴α＝20°

∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°

∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°

∴∠MNB＝∠MBN，

∴MB＝MN