词法分析Word格式.docx
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这是可能的。
我们写出这样的正规式,
(00|11|((01|10)(00|11)*(01|10)))*
它是基于这样的考虑,满足要求的最简单的串有三种形式(空串除外):
1.00
2.11
3.(01|10)(00|11)*(01|10)
它们任意多次的重复构成的串仍然满足要求。
1.2.写出语言“由偶数个0和奇数个1构成的所有0和1的串”的正规定义。
答案even_0_even_1→(00|11)*((01|10)(00|11)*(01|10)(00|11)*)*
even_0_odd_1→1even_0_even_1|0(00|11)*(01|10)even_0_even_1
分析有了上一题的结果,这个问题应该容易解决。
首先给上一题的正规式起个名字:
even_0_even_1→(00|11)*((01|10)(00|11)*(01|10)(00|11)*)*
对于偶数个0和奇数个1构成的串,其第一个字符可能是0或1。
1.如果是1,那么剩下的部分一定是偶数个0和偶数个1。
2.如果是0,那么经过若干个00或11,一定会出现一个01或10,才能保证0的个数是偶数,1的个数是奇数。
若串还没有结束,剩余部分一定是偶数个0和偶数个1。
这样,正确的正规定义是:
even_0_odd_1→1even_0_even_1|0(00|11)*(01|10)even_0_even_1
1.3.写出语言“所有相邻数字都不相同的非空数字串”的正规定义。
答案no_0-8→9
no_0-7→(8|no_0-88)(no_0-88)*(no_0-8|ε)|no_0-8
no_0-6→(7|no_0-77)(no_0-77)*(no_0-7|ε)|no_0-7
no_0-5→(6|no_0-66)(no_0-66)*(no_0-6|ε)|no_0-6
no_0-4→(5|no_0-55)(no_0-55)*(no_0-5|ε)|no_0-5
no_0-3→(4|no_0-44)(no_0-44)*(no_0-4|ε)|no_0-4
no_0-2→(3|no_0-33)(no_0-33)*(no_0-3|ε)|no_0-3
no_0-1→(2|no_0-22)(no_0-22)*(no_0-2|ε)|no_0-2
no_0→(1|no_0-11)(no_0-11)*(no_0-1|ε)|no_0-1
answer→(0|no_00)(no_00)*(no_0|ε)|no_0
分析刚拿到这个问题,一定不知从哪儿下手。
其实和上面一样,关键是找到一种合适的看待这种句子结构的观点。
我们的观点是这样,每个这样的句子由若干个0把它分成若干段,如
123031357106678035590123
可以看成
123,0,313571,0,6678,0,3559,0,123
由0隔开的每一段,如313571,它不含0,并且又可以看成是由若干个1把它分成若干段。
如此下去,就能找到该语言的正规定义。
按这个思路,上面的正规定义应该逆序看。
表示一个句子由若干个0分成若干段,特殊情况是整个句子不含0。
在这个正规定义中,所引用的no_0表示不含0的串,它的定义和这个定义的形式一样,因为串的形式是一样的,只不过没有数字0。
所以有
其中no_0-1表示不含0和1的串。
依此类推,最后no_0-8是表示不含0,…,8的没有重复数字的串,它只可能是单个9。
1.4.构造一个DFA,它接受∑={0,1}上0和1的个数都是偶数的字符串。
答案见图1.1。
分析对于这样的问题,不要急于去尝试画DFA,先把问题分析一下,这里要接受的是偶数个0和偶数个1的串,和偶数相对的是奇数,因此,对于任意一个0和1的串,不论其0和1的个数有多少,总归不是偶数个就是奇数个。
因此任意一个串属于下面四种情况之一。
0:
偶数个0和偶数个1;
1:
偶数个0和奇数个1;
2:
奇数个0和偶数个1;
3:
奇数个0和奇数个1。
并且不管一个串是处于上面哪一种情况,该串再添加一个0或1后,总是处于上面另一种情况。
由此分析可以知道,DFA只需四个状态就够了,并且状态转换也很容易画出来。
答案中的四个状态对应到这儿的四种情况。
空串是属于偶数个0和偶数个1的情况,因此0状态是开始状态。
因为我们接受偶数个0和偶数个1的串,因此它也是接受状态。
1.5.构造一个DFA,它接受∑={0,1}上能被5整除的二进制数。
1
2
3
4
start
图1.2接受能被5整除的二进制数的DFA
答案见图1.2。
分析由上题我们知道,构造DFA之前,首先搞请楚问题的状态空间。
即想明白应该有多少个状态,状态之间的转换条件,以及针对该问题的开始状态和接受状态。
对于本题目,任意一个二进制数除以5时,只有余数为0(即整除),1,2,3和4五种情况。
图中的五个状态也是这样起名字的。
一个二进制数的后面添上一个0意味着其值变成原来的两倍,而后面添上一个1意味着其值变成原来的两倍再加1。
不管是哪一种情况,都很容易从原来的余数决定值变化后的余数。
这样,我们很快可以得出所有的状态转换。
例如,我们考虑状态4。
任何一个余4的数,两倍后一定余3,两倍再加1后一定还是余4。
所以,状态4的0转换到状态3,而1转换到本身。
显然,状态0既是开始状态又是接受状态。
需要注意的是,考虑状态空间时,还要检查我们是否取的是最简情况(即状态数极小)。
例如,对于本题目,假如我们从这样的观点出发,每个二进制数都可以转换成一个十进制数。
十进制数的末位有0到9十种情况,其中末位为0和5是能被5整除的情况。
这样我们很可能会构造十个状态的DFA,接受状态有两个。
这也是一种解,但它不是最简的DFA。
1.6处于/*和*/之间的串构成注解,注解中间没有*/。
画出接受这种注解的DFA的状态转换图。
答案见图1.3。
标记为others的边是指字符集中未被别的边指定的任意其它字符。
分析这个DFA的状态数及含义并不难确定,见下面的五个状态说明。
状态1:
注释开始状态。
状态2:
进入注释体前的中间状态。
状态3:
表明目前正在注释体中的状态。
状态4:
离开注释前的中间状态。
状态5:
注释结束状态,即接受状态。
在这个DFA中,最容易忽略的是状态4到本身的’*’转换。
这个边的含义是:
在离开注释前的中间状态,若下一个字符是’*’,那么把刚才读过的’*’看成是注释中的一个字符,而把这下一个字符看成可能是结束注释的第一个字符。
若没有这个边,那么象
/****Thisisacomment****/
这样的注释就被拒绝。
另外,上面的状态转换图并不完整。
例如,对于状态1,没有指明遇到其它字符怎么办。
要把状态转换图画完整,还需引入一个死状态6,进入这个状态就再也出不去了。
因为它不是接受状态,因此进入这个状态的串肯定不被接受。
完整的状态转换图见下面图1.4,其中all表示任意字符。
在能够说清问题时,通常我们省略死状态和所有到它的边。
1.7某操作系统下合法的文件名为
device:
name.extension
其中第一部分(device:
)和第三部分(.extension)可缺省,若device,name和extension都是字母串,长度不限,但至少为1,画出识别这种文件名的DFA。
答案见图1.5,图中的标记d表示任意字母。
分析这个DFA和一些教材上接受无符号数的DFA有类似的地方。
我们首先考虑device:
和.extension全都出现的情况。
这时的DFA比较容易构造,见图1.6。
然后考虑缺省情况。
因为.extension可缺省,因此把状态4也作为接受状态。
因为name和device一样,都是字母序列,因此在device:
缺省时,把到状态2为止得到的字母序列看成是name,所以从状态2画一条转换边到状态5,标记为’.’。
(如果构成name和device的字符完全不一样,那么可以从状态1到状态4画一条边,其标记同状态3到状态4的标记一样。
)由于device:
和.extension都可缺省,因此把状态2也作为接受状态。
1.8为正规式(a|b)*a(a|b)(a|b)构造NFA。
答案该NFA的状态转换图见图1.7。
分析各种教材在介绍有限状态自动机和正规表达式的等价时,都给出了从正规表达式构造等价的NFA的算法。
不同书上的构造算法虽然不一样,但有一个共同的特点,或多或少引入了ε转换,使状态转换图变得复杂。
尤其是,如果题目还要求你画出DFA,那么状态数的增多,使得手工完成NFA确定化为DFA的过程变得更容易出错。
因此,我们既要会用书上的算法构造NFA,也要会手工构造更简一些的NFA,尽量避免在NFA中出现ε转换。
这在大多数情况下是可以做到的,本题就是一个例证。
1.9用状态转换图表示接收(a|b)*aa的确定的有限自动机。
答案状态转换图见图1.8。
分析和上一题不同的是,现在是直接构造DFA。
我们仍然坚持这一点,大家既要会按教材上的算法从NFA的确定化得到DFA,也要会手工直接构造DFA。
我们通过本题和下一题来说明,手工直接构造DFA也并不困难。
该正规式表示的语言是,字母表∑={a,b}上最后两个字符都是a的串的集合。
抓住这个特点,我们首先画出构造过程中的第一步,见图1.9。
它表明最简单的句子是aa。
然后,因为在第一个a前可以有若干个b,因此状态0有到自身的b转换。
在最后两个字符都是a的串的末尾添加若干个a,能够保持串的这个性质,因此状态2有到自身的a转换。
这样我们有图1.10。
最后,在状态1和状态2碰到b时,前面刚读过的a,不管连续有多少个,都不可能作为句子结尾的那两个字符a,因此状态1和状态2的b转换回到状态0。
所有状态的a转换和b转换都已给出,这就得到最后结果。
1.10用状态转换图表示接收(a|b)*a(a|b)(a|b)的确定的有限自动机。
答案状态转换图见图1.11。
5
6
7
a
b
图1.11接收(a|b)*a(a|b)(a|b)的DFA
分析该正规式表示的语言是,字母表∑={a,b}上倒数第三个字符是a的串的集合。
根据上题的经验,我们首先画出图1.12。
因为最后两个字符任意,因此有这样的分杈,并有四个接受状态。
现在考虑这四个接受状态上的转换。
1.状态4该状态表示最后三个字符是aaa,若再添加一个a,最后三个字符仍是aaa,因此状态4的a转换到本身。
若添加的是b,那么最后三个字符是aab,而状态5表示最后三个字符是aab,因此状态4的b转换到状态5。
2.状态5该状态表示最后三个字符是aab,若再添加一个a,最后三个字符成了aba,而状态6表示最后三个字符是aba,因此状态5的a转换到状态6。
若添加的是b,那么最后三个字符是abb,而状态7表示最后三个字符是abb,因此状态5的b转换到状态7。
3.状态6该状态表示最后三个字符是aba,若再添加一个a,最后三个字符成了baa,其由a开始的后缀是aa,因此状态6的a转换到状态2(因为从状态0出发经aa是到状态2)。
若添加的是b,那么最后三个字符是bab,其由a开始的后缀是ab,因此状态6的b转换到状态3。
4.状态7该状态表示最后三个字符是abb,若再添加一个a,最后三个字符成了bba,其由a开始的后缀是a,因此状态7的a转换到状态1。
若添加的是b,那么最后三个字符是bbb,不存在由a开始的后缀,因此状态7的b转换到状态0。
这样,所有状态的a转换和b转换都已给出,也就得到了最后结果。
1.11将1.8得到的NFA变换成DFA。
答案所求的DFA就是1.10题的结果。
分析我们之所以选这个题目,是为了比较一下,从正规式到NFA,再把NFA确定化,这样得的结果同1.10题直接构造DFA的结果是否一样。
按照教材上的子集构造法,作为结果的DFA并不难得到。
另外由于没有ε转换,构造过程相对简单了很多。
NFA的开始状态是0,因此首先从NFA的状态集合{0}开始,它是DFA的开始状态,起名叫状态0'
。
它的a转换和b转换所得到的NFA的状态集合见下面第一行。
根据子集构造法所得的DFA的所有状态和它们的转换函数都列在下面。
状态0'
:
{0}move({0},a)={0,1}move({0},b)={0}
状态1'
{0,1}move({0,1},a)={0,1,2}move({0,1},b)={0,2}
状态2'
{0,1,2}move({0,1,2},a)={0,1,2,3}move({0,1,2},b)={0,2,3}
状态3'
{0,2}move({0,2},a)={0,1,3}move({0,2},b)={0,3}
状态4'
{0,1,2,3}move({0,1,2,3},a)={0,1,2,3}move({0,1,2,3},b)={0,2,3}
状态5'
{0,2,3}move({0,2,3},a)={0,1,3}move({0,2,3},b)={0,3}
状态6'
{0,1,3}move({0,1,3},a)={0,1,2}move({0,1,3},b)={0,2}
状态7'
{0,3}move({0,3},a)={0,1}move({0,3},b)={0}
状态4'
5'
6'
和7'
中都含原NFA的接受状态3,因此它们都是DFA的接受状态。
不难看出所得的DFA和1.10题的结果是同构的,仅状态名不一样。
1.12将图1.13的DFA极小化。
答案最简DFA见图1.14。
图1.14最简DFA
a,b
图1.15加入死状态后的DFA
分析本题要注意的是,在使用极小化算法前,一定要检查一下,看状态转换函数是否为全函数,即每个状态对每个输入符号都有转换。
若不是全函数,需加入死状态,然后再用极小化算法。
有些教材上没有强调这一点,有的习题解上的示例甚至忽略了这一点,本题将告诉你,这一点是重要的。
本题加入死状态5后的状态转换图见图1.15。
使用极小化算法,先把状态集分成非接受状态集{0,1,2,3,5}和接受状态集{4}这两个子集。
1.集合{4}不能再分解,我们看集合{0,1,2,3,5}。
move({0,1,2,3,5},a)={1,2,5}move({0,1,2,3,5},b)={3,4,5}
由于b转换的结果{3,4,5}不是最初划分的某个集合的子集,因此{0,1,2,3,5}需要再分,由于状态1和状态2的b转换都到状态4。
因此状态集合的进一步划分是:
{1,2},{0,3,5}和{4}
2.由于
move({1,2},a)={2,5}move({1,2},b)={4}
move({0,3,5},a)={1,5}move({0,3,5},b)={3,5}
显然{1,2}和{0,3,5}需要再分,分别分成:
{1}和{2}以及{0,3}和{5}
3.由于
move({0,3},a)={1}move({0,3},b)={3}
因此不需要再分。
这样状态0和状态3合并成一个状态,我们取0为代表,再删去死状态5,就得到该题的结果。
如果不加死状态,我们来看一下极小化算法的结果。
最初的划分是{0,1,2,3}和{4}。
1.状态集合的进一步划分是:
{1,2},{0,3}和{4}
2.忽略了死状态的影响,会认为它们都不需要再分,此时得到的DFA如图1.16。
显然,它和原来的DFA不等价。
1.13将习题1.10结果的DFA极小化。
答案化简的结果仍是习题1.10结果的DFA,即该DFA已是最简DFA。
这说明手工构造最简DFA是完全可能的。
分析我们简要说明执行过程。
初始时将状态集分成两组:
{0,1,2,3}和{4,5,6,7}。
1.由于
move({0,1,2,3},a)={1,2,4,6}move({0,1,2,3},b)={0,3,5,7}
move({4,5,6,7},a)={1,2,4,6}move({4,5,6,7},b)={0,3,5,7}
因此进一步分成{0,1}、{2,3}、{4,5}和{6,7}四组。
move({0,1},a)={1,2}move({0,1},b)={0,3}
因此{0,1}还要进一步分,其它几组也是这样。
因此最终分成了每个集合中都只有一个状态。
3.所以原来的DFA已经是最简形式了。
1.14若L是正规语言,证明下面L'
语言也是正规语言。
L'
语言的定义是
L'
={x|xR∈L}
xR表示x的逆。
答案若我们能定义出接受语言L'
的一个NFA,那么L'
是正规语言。
因为L是正规语言,那么一定存在接受L的DFAM,我们就基于M来构造接受L'
的NFAM'
,并且我们基于M的状态转换图来叙述。
1.将状态转换图上的所有边改变方向,边上的标记不变。
2.将原来的开始状态改成接受状态。
3.增添一个状态作为开始状态,从它有ε转换到原来的每一个接受状态,并把原来的这些接受状态都改成普通的状态。
所得到的新状态转换图就是M'
的状态转换图。
分析简单说,判断一个串是否为L'
的句子,只要在原来的状态转换图上逆行就可以了。
由于M可能有多个接受状态,而不管是DFA还是NFA都只有唯一的开始状态,因此有上面的第3步。
注意经过上面的改造后,得到的可能不是一个DFA的状态转换图。
除了上面第3步有可能引入不确定性外,第1步也可能引入不确定性。
本题介绍的证明语言的正规性的方法在下一题表现得更加充分,叙述也比本题严格。
1.15.若L是正规语言,证明下面
L语言也是正规语言。
L语言的定义是
L={x|∃y.xy∈L&
|x|=|y|}
答案因为L是正规语言,那么存在一个DFAM=(S,∑,δ,s,F),它接受语言L。
接受语言
L的DFAM'
=(S'
∑,δ'
s'
F'
)可如下构造。
1.S'
的每个状态是一个二元组〈s1,S1〉,其中s1∈S,S1⊆S。
2.δ'
(〈s1,
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