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在恒等变形中,若是奇次幂,则底数互为相反数且两数符号相反。
若是偶次幂,则底数互为相反数,两式符号相同。
幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方
(1)幂的乘方法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(am)n=amn(m、n都是正整数),,它是以同底数幂的乘法法则为基础推导出的,但两者不能混淆。
(2)注意事项
1m、n都是正整数是表达式的一部分;
2积的乘方根据是乘方的意义和同底数幂相乘,它是把积中的每一个因式分别乘方,不能出现:
(xy)2=xy2的错误。
3可推广为:
(abc)n=anbncn
4应用积的乘方时,特别注意观察底数含有几个因式,每个因式都分别乘方,注意系数及系数的符号。
对于系数是-1的不可忽略。
同底数幂的除法
1、同底数幂的除法。
(1)同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
am÷
an=am-n(a≠0,m、n都是正整数,并且m>n)
注意:
1法则中括号里的条件是法则的一部分,其中a≠0是保证除法有意义。
2a表示单个数或其他的代数式,但他们都不为0.
3同底数幂相除,商的底数与被除式或除式的底数相同,商的指数是被除式的指数与除式的指数的差。
4同底数幂的除法是同底数幂的乘法的逆运算。
5可推广:
an÷
ap=am-n-p(a≠0,m、n、p都是正整数,并且m>n+p)
运用法则的主要条件:
底数相同,若底数不同先化成同底数再运用法则计算。
整式的乘法
1、单项式的乘法法则
一般的,单项式相乘,把他们的系数、相同的字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘,就是根据分配律去乘多项式的每一项,再把它们所得的积相加。
3、多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把它们所得的积相加。
思维能力拓展
4、运用单项式的乘法法则时应注意的事项
(1)因为单项式是数字与字母的积,所以幂的运算性质、乘法交换律、结合律、在单项式乘法里完全适用。
(2)单项式的乘法法则分乘式里的系数,相同字母,不相同字母三部分。
1积的系数等于各因式系数的积,这是有理数的乘法,应先确定符号,再计算绝对值。
2相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加。
3只在一个单项式含有的字母,要连同它的指数作为积的一个因式,要注意不要把这个因式丢掉。
4单项式乘法法则对于三个以上的单项式同样适用。
5单项式乘单项式的结果仍是一个单项式。
5、运用单项式乘以多项式的乘法法则应注意的事项
(1)运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号
(2)积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同,注意计算过程不要漏项
(3)在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项是要合并同类项,从而得到最简结果。
6、进行多项式乘法时应注意的事项
(1)运用多项式的乘法法则时,必须做到不重不漏,相乘时,要按一定的顺序进行,再未合并同类项之前,积的像数等于两个多项式的项数的积。
(2)多项式中每项都包括他前面的符号,同号得正,异号得负。
(3)运算结果中有同类项要合并同类项.
整式的除法
1、单项式与单项式相除
单项式与单项式相除的法则:
单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(1)两个单项式相除,只要将系数及同底数幂分别相除即可。
(2)只在被除式里含有的字母不要漏掉。
2、多项式与单项式相除
多项式与单项式相除的法则:
一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式,反之,单项式除以多项式是不能这样计算的。
平方差公式与完全平方公式
1、平方差公式:
(1)公式的结构特征:
左边是两个二项式的乘积,即两数和与两数差的积,右边是两数的平方差。
(2)对于一般两个二项式的积,看准有无相等的“项”和符号相反的“项”仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后,才能使用平方差公式。
(3)在解题过程中要准确确定
和
、对照公式原形的两边,做到不弄错符号。
2、完全平方公式:
(完全平方和公式)
(完全平方差公式)
(1)结构特征:
左边是二项式(两数和差)的平方;
右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。
(2)语言表述:
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍。
(3)
口诀:
首平方,尾平方,首尾二倍中间放。
因式分解
1、因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
即多项式化为几个整式的积。
(1)结果一定是积的形式,分解的对象是多项式;
(2)每个因式必须是整式
(3)各因式要分解到不能分解为止;
(4)因式分解与乘法的关系:
是两种不同的变形过程,即互逆关系。
2、因式分解的方法
(1)提公因式法:
各项都含有的因式叫做公因式,提出公因式的方法叫做提公因式法
(2)公式法:
利用公式分解因式。
主要公式有:
――――――平方差公式
――――――完全平方和公式
――――――完全平方差公式
―――立方和公式
―――立方差公式
(3)分组分解法:
把几个项分在一起,进行局部变形,在进行整体变形的方法叫分组分解法。
分组分解法一般应用于四项或四项以上的式子。
可以按相同字母分为一组,或按次数分为一组。
(4)十字交叉法:
分解的对象为形如
的二次三项式。
第八章整式的乘除与因式分解同步练习
一、选择(每小题3分,共30分)
1.下列关系式中,正确的是()
A.(a-b)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b2
2.x5m+3n+1÷
(xn)2·
(-xm)2等于()
A.-x7m+n+1B.x7m+n+1C.x7m-n+1D.x3m+n+1
3.若36x2-mxy+49y2是完全平方式,则m的值是()
A.1764B.42C.84D.±
84
4.在“2008北京奥运会”国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中,首次用了我国科研人员自主研制的强度为4.6×
108帕的钢材,那么4.6×
108的原数是()
A.4600000B.46000000C.460000000D.4600000000
5.代数式ax2-4ax+4a分解因式,结果正确的是()
A.a(x-2)2B.a(x+2)2C.a(x-4)2D.a(x+2)(x-2)
6.已知
,则
的值是()
A.9B.7C.11D.不能确定
7.下列多项式中,不能用公式法因式分解的是()
A.
B.
C.
D.
8.下列计算正确的是()
A.(ab2)3=ab6B.(3xy)3=9x3y3C.(-2a2)2=-4a4D.(x2y3)2=x4y6
9.若x+y=2,xy=-2,则(1-x)(1-y)的值是()
A.-1B.1C.5D.-3
10.(x2+px+q)(x2-5x+7)的展开式中,不含x3和x2项,则p+q的值是()
A.-23B.23C.15D.-15
二、填空(每小题3分,共30分)
11.计算:
(-2mn2)3=,若5x=3,5y=2,则5x-2y=.
12.分解因式:
x3-25x=.a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=.
13.(8x5y2-4x2y5)÷
(-2x2y)=.
14.分解因式x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了b,分解的结果是(x-2)(x+1),那么x2+ax+b分解因式正确的结果是.
15.若(x2+y2)(x2+y2-1)-12=0,那么x2+y2=.
16.一个长方形的长增加了4㎝,宽减少了1㎝,面积保持不变,长减少2㎝,宽增加1㎝,面积仍保持不变,则这个长方形的面积是.
17.(-3a2-4)2=,(xn-1)2(x2)n=
18.若m2+n2=5,m+n=3,则mn的值是.
19.已知x2+4x-1=0,那么2x4+8x3-4x2-8x+1的值是.
20.若2x=8y+1,81y=9x-5,则xy=.
三、解答题(60分)
21.计算(8分)
(-2y3)2+(-4y2)3-(-2y)2·
(-3y2)2
[(3x-2y)2-(3x+2y)2+3x2y2]÷
2xy
22.因式分解(12分)
8a-4a2-4
(x2-5)2+8(5-x)2+16
23.化简求值(8分)
(x2+3x)(x-3)-x(x-2)2+(-x-y)(y-x)其中x=3y=-2.
已知
,求代数式
的值.
24.已知(x+y)2=4,(x-y)2=3,试求:
x2+y2的值.
xy的值.
25.用m2-m+1去除某一整式,得商式m2+m+1,余式m+2,求这个整式.
26.将一条20m长的镀金彩边剪成两段,恰可以用来镶两张不同的正方形壁画的边(不计接头处),已知两张壁画面积相差10㎡,问这条彩边应剪成多长的两段?
27.根据图8-C-1示,回答下列问题
大正方形的面积S是多少?
梯形Ⅱ,Ⅲ的面积SⅡ,SⅢ,分别是多少?
试求SⅡ+SⅢ与S-SⅠ的值.
由
你发现了什么?
请用含a,b的式子表示你的结论.
第八章整式的乘除与因式分解同步练习参考答案
一、选择
1.B2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.D9.D10.B
二、填空
11.-8m3n6,
12.x(x-5)(x+5),(x-y)(a+b+c)13.-4x3y+2y414.(x+2)(x-3)15.416.24㎝2
17.9a4+24a2+16,x4n-2x3n+x2n18.219.-120.81
解答题
21.
解:
原式=4y6-64y6-(4y2·
9y4)
=4y6-64y6-36y6=-96y6.
解:
原式=[(3x-2y+3x+2y)(3x-2y-3x-2y)+3x2y2]÷
=[6x·
(-4y)+3x2y2]÷
2xy=(-24xy+3x2y2)÷
2xy=
22.解:
原式=-4(a2-2a+1)=-4(a-1)2
(2)原式=
(y2-2y+1)=
(y-1)2
(3)原式=(x2-5+1)2=(x2-1)2=(x+1)2(x-1)2
23.
解:
原式=x3-3x2+3x2-9x-x(x2-4x+4)+(x2-y2)
=x3-9x-x3+4x2+x2-y2=5x2-13x-y2,当x=3,y=-2时,原式=2.
原式=(2x+3y-2x+3y)(2x+3y+2x-3y)
=6y·
4x=24xy
所以当
,原式=
=
24.解:
由已知得x2+y2+2xy=4①:
x2+y2-2xy=3②
①+②得2x2+2y2=7,故x2+y2=3.5
①―②得,4xy=1,xy=0.25
25.m4+m2+m+3
解析:
由题意得(m2+m+1)(m2-m+1)+m+2
=m4-m3+m2+m3-m2+m+m2-m+1+m+2
=m4+m2+m+3
26.解:
设应剪成两端的长为xm,ym(x>
y)可列方程组为
,解之得
,故应剪成14m和6m的两段.
27.
S=a2
SⅡ=SⅢ=
SⅡ+SⅢ=2×
=(a+b)(a-b)
S-SⅠ=a2-b2
SⅡ+SⅢ=S-SⅠ,(a+b)(a-b)=a2-b2
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- 08 第八 整式 乘除 因式分解