分步步长法和多重网格法实验Word文档下载推荐.docx
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实验用的二维热传导是方程是:
它满足书中
的要求,这里
。
以
为初始时刻,分别用ADI,LOD,对称LOD(记为symLOD)进行算法设计,求在时刻
的数值解,并与精确解做比较。
实验过程:
1.t=1时刻原始图像
当x,y方向上的网格数是160,时间t方向上的网格数是40时,t=1时刻的原始图像为
2.ADI法恢复的图像
当x,y方向上的网格数是160,时间t方向上的网格数是40时,ADI法所绘t=1时刻图像为
3.LOD法恢复图像
当x,y方向上的网格数是160,时间t方向上的网格数是40时,LOD法所绘t=1时刻图像为
4.对称LOD法(记为symLOD)恢复图像
当x,y方向上的网格数是160,时间t方向上的网格数是40时,symLOD法所绘t=1时刻图像为
5.x,y方向上的网格数和误差关系
t=40固定,x,y方向的的网格数分别取[10,50,100,250,500]
三者的误差的二范数分别为(见error2.m)
ADI=[8.730504221745552e-010,6.029451734592973e-009,1.265923756496139e-008,3.206705449439820e-008,6.425372124435197e-008];
LOD=[8.730504221745788e-010,6.029451734600921e-009,1.265923756507861e-008,3.206705449886893e-008,6.425372131563230e-008];
SymLOD=[8.730502288715592e-010,6.029452708815150e-009,1.265923951388676e-008,3.206705936704847e-008,6.425373098974900e-008];
所绘图像为:
分析:
可见随着x,y方向网格的增加,误差的二范数也会增加
6.三者的所有误差的绝对值的最大值为(error2.m)
可见随着x,y方向网格的增加,误差的最大值也会增加,但增速会逐渐下降
7.t方向上的网格数和误差关系
假设xy方向的网格数等于50固定,t方向的的网格数分别取[10,20,40,80,120]
三者的误差的最大值为分别为(error2.m)
ADI_t=[2.266341936922816e-009,8.979947492920082e-010,2.411780846299275e-010,4.923637720641268e-011,1.236968076769294e-011];
LOD_t=[2.266341949441886e-009,8.979947802649479e-010,2.411780814669497e-010,4.923637876052127e-011,1.236968177113209e-011];
SymLOD_t=[2.266341965755063e-009,8.979947934123040e-010,2.411781118470867e-010,4.923640158922677e-011,1.236970518228895e-011];
其关系所绘图像为:
在x,y网格数固定下,可见随着t在[0,1]的网格数的增加,误差呈下降趋势
8.整体误差图为:
二,多重网格法
目标函数
本实验选用函数
,则
并假定网格N=4为网格的第0层。
1.二重网格法
当层数l=1,r=1.时,最大迭代次数imax与对应的误差分析(见error3.m)
imax=[5,10,25,30,50,75,100,150];
我们有
error=[1.212709055795178e+002,89.861968418392394,52.308084876858402,43.566264972466115,21.618767396679686,12.936352097394433,12.946216021345549,12.950271747085367];
通过绘图可得
可见随着次数的增加,误差逐渐减小
次数imax等于5时的数值解和真实解
次数imax等于150时的数值解和真实解
可见二重网格迭代次数的增加误差是减小的
2.多重网格法
按照书中所讲思想进行编程
运行mainf1.m(文件夹多重网格中),在命令窗口输入所需的层数l和迭代次数r
则输出相应的层数和运行次数所产生的数值解和误差
误差分析;
(1)当层数l=3,分别计算次数r=[1,2,3,4,5]时的误差
通过运行程序可得误差error1=[4.973352997159594,3.628090719786655,2.992889831421621,2.242454602717402,2.296513825441679];
l固定时,总体来看随计算次数r的增加,误差呈现下降趋势
(2)当r=3,l=[1,2,3,4,5]时的误差
误差error2=[12.948084836066528,3.212816682734797,3.840329776138503,3.730187955061581,6.145520477956396];
分析,当r固定,l增加时,误差变化的规律不太明显
(3)几种情况下的图像与原图
网格l=3,次数r=3,数值解和真实解
网格l=3,次数r=5,数值解和真实解
网格l=5,次数r=3,数值解和真实解
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