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乘法分配律：

a×

（b＋c）＝a×

b＋a×

c

（b－c）＝a×

b－a×

逆运算为：

c＝a×

（b＋c）

（b－c）

36.8×

15.9＋247×

3.68－4.06×

68

＝36.8×

15.9＋36.8×

24.7－4.06×

＝（15.9＋24.7）×

36.8－4.06×

＝40.6×

36.8－40.6×

6.8

（36.8－6.8）

30

＝1218

张大爷果园里一共有桃树和梨树500棵，桃树的棵树是梨树的1/4，桃树和梨树各有多少棵？

分析题意：

方法一：

桃树的棵树是梨树的1/4，则

梨树为4，桃树为1，即

桃：

500÷

（4＋1）＝100（棵）

梨：

100×

4＝400（棵）

方法二：

桃树的棵树是梨树的，则

解：

设桃树为x，梨树为4x，即

4x＋x＝500

5x＝500

x＝100

4x＝4×

100＝400

答：

桃树为100棵，梨树为400棵。

有一瓶酒精，第一次倒出这瓶酒精的1/3，第二次倒出这瓶酒精的25%，正好倒出14千克。

这瓶酒精有多少千克？

第二次倒出这瓶酒精的25%，即倒出第一次剩的1－1/3＝2/3，

则：

第二次倒出全瓶的：

（1－1/3）×

25%＝1/6

又：

第一次倒出全瓶的：

1/3

得：

14÷

（1/3＋1/3）＝28（千克）

（1）统一单位“1”；

（2）单位“1”＝具体的数÷

对应的分数比率

小明在一排等候公交车的人中，排在他前面的人数是人数的2/3，排在他后面的人数是总人数的1/4，问：

总人数是多少？

小明排在第几个？

2/3和1/4对应的单位“1”都是总人数，

1÷

（1－2/3－1/4）＝12（人）

12×

2/3＝8（人）

小明排第9个。

单位“1”＝具体的数÷

一条公路，第一次修了全长的2/5，第二次修了剩下的1/3，此时修过的长度比未修的多30千米，这条公路长多少千米？

（统一单位“1”）以全长为单位“1”

第一次修了全长的：

2/5

第二次修了全长的：

（1－2/5）×

1/3＝1/5

未修占全长的：

1－2/5－1/5＝2/5

此时修过的长度比未修的多（2/5＋1/5）－2/5＝1/5

全长＝30÷

［（2/5＋1/5）－2/5］＝150（千米）

【数学乐园】

（五年级）每天进步一点点

一张长方形的纸，长75厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？

如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？

6分米＝60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1，3，5，15，所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长。

所以可以裁（75÷

15）×

（60÷

15）＝20（块）

最大公约数

画图解析年龄问题

今年姐姐和妹妹的年龄之和是32岁，若干年前，当姐姐年龄与今年妹妹年龄相同时，姐姐年龄正好是妹妹年龄的3倍。

妹妹今年多少岁？

数学典型题

小升初数学考试越来越注重对考生阅读能力和理解能力的考察，需要老师在日常的教学工作当中，培养孩子这方面的能力。

下面这两道智力题，请老师从学生的角度出发，写出思考的方法和过程。

1、A、B、C在玩猜牌游戏，A站在最前面，B站在中间，C站在最后。

一共有5张扑克，其中2张为红色，3张为黑色。

现在给每人发一张扑克，让A、B、C3人双手拿着扑克放在背后，这样C就能看见A和B的牌，但看不见自己的牌；

B能看见A的牌，也看不见自己的牌；

A则什么也看不见。

A先问C能否猜出他们自己手中的牌是什么颜色，C说不知道；

再问B，B也说不知道。

聪明的A猜出自己的牌的颜色是_______

【思路讲解】：

此类是属于逻辑推理问题，先找清楚题目给出的已知条件。

1、一共有5张扑克，其中2张为红色，3张为黑色。

2、C就能看见A和B的牌，但看不见自己的牌；

3、B能看见A的牌，也看不见自己的牌；

4、A则什么也看不见。

5、A先问C能否猜出他们自己手中的牌是什么颜色，C说不知道；

【推理过程】：

1、C就能看见A和B的牌，这些扑克中只有2张是红色的，如果A,B都是红色，那么C必然可以猜到自己的颜色。

所以A,B只能是1红1黑或者是2黑。

2、B能看见A的牌，也看不见自己的牌；

但是他可以根据C得出的结论得出：

A,B只能是1红1黑或者是2黑；

如果A的牌是红色的，B则可以推断出来自己牌的颜色是黑色；

如果A的颜色是黑色，B的颜色则可能是红色或者黑色，此时B并不能猜出自己牌的颜色；

3、A根据C说不知道；

再问B，B也说不知道得出：

A手中的牌是黑色的。

小学数学解题方法：

11种抽象思维法

（一）

在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。

抽象思维又分为：

形式思维和辩证思维。

客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式；

客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。

形式思维是辩证思维的基础。

形式思维能力：

分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。

辩证思维能力：

联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。

小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：

（1）思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。

（2）思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。

（3）思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。

（4）思维训练上，应该要求：

正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。

1、对照法

如何正确地理解和运用数学概念？

小学数学常用的方法就是对照法。

根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

例1：

三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少？

对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：

三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

例2：

判断题：

能被2除尽的数一定是偶数。

这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。

只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。

2、公式法

运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。

它体现的是由一般到特殊的演绎思维。

公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。

但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

例3：

计算59×

37+12×

59+59

　　59×

　　＝59×

（37+12+1）…………运用乘法分配律

50…………运用加法计算法则

　　＝（60-1）×

50…………运用数的组成规则

　　＝60×

50－1×

50…………运用乘法分配律

　　＝3000-50…………运用乘法计算法则

＝2950…………运用减法计算法则

3、比较法

通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：

（1）找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

（2）找联系与区别，这是比较的实质。

（3）必须在同一种关系下（同一种标准）进行比较，这是“比较”的基本条件。

（4）要抓住主要内容进行比较，尽量少用“穷举法”进行比较，那样会使重点不突出。

（5）因为数学的严密性，决定了比较必须要精细，往往一个字，一个符号就决定了比较结论的对或错。

例4：

填空：

0．75的最高位是（），这个数小数部分的最高位是（）；

十分位的数4与十位上的数4相比，它们的（）相同，（）不同，前者比后者小了（）。

这道题的意图就是要对“一个数的最高位和小数部分的最高位的区别”，还有“数位和数值”的区别等。

例5：

六年级同学种一批树，如果每人种5棵，则剩下75棵树没有种；

如果每人种7棵，则缺少15棵树苗。

六年级有多少学生？

这是两种方案的比较。

相同点是：

六年级人数不变；

相异点是：

两种方案中的条件不一样。

找联系：

每人种树棵数变化了，种树的总棵数也发生了变化。

找解决思路（方法）：

每人多种7-5=2（棵），那么，全班就多种了75+15=90（棵），全班人数为90÷

2=45（人）。

4、分类法

根据事物的共同点和差异点将事物区分为不同种类的方法，叫做分类法。

分类是以比较为基础的。

依据事物之间的共同点将它们合为较大的类，又依据差异点将较大的类再分为较小的类。

分类即要注意大类与小类之间的不同层次，又要做到大类之中的各小类不重复、不遗漏、不交叉。

例6：

自然数按约数的个数来分，可分成几类？

可分为三类。

（1）只有一个约数的数，它是一个单位数，只有一个数1；

（2）有两个约数的，也叫质数，有无数个；

（3）有三个约数的，也叫合数，也有无数个。

5、分析法

把整体分解为部分，把复杂的事物分解为各个部分或要素，并对这些部分或要素进行研究、推导的一种思维方法叫做分析法。

依据：

总体都是由部分构成的。

思路：

为了更好地研究和解决总体，先把整体的各部分或要素割裂开来，再分别对照要求，从而理顺解决问题的思路。

也就是从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决为止，这种解题模式是“由果溯因”。

分析法也叫逆推法。

常用“枝形图”进行图解思路。

例7：

玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。

问平均每天超过计划多少件？

要求平均每天超过计划多少件，必须知道：

计划每天生产多少件和实际每天生产多少件。

计划每天生产多少件已知，实际每天生产多少件，题中没有告诉，还得求出来。

要求实际每天生产多少件玩具，必须知道：

实际生产多少天，和实际生产多少件，这两个条件题中都已知。

6、综合法

把对象的各个部分或各个方面或各个要素联结起来，并组合成一个有机的整体来研究、推导和一种思维方法叫做综合法。

用综合法解数学题时，通常把各个题知看作是部分（或要素），经过对各部分（或要素）相互之间内在联系一层层分析，逐步推导到题目要求，所以，综合法的解题模式是执因导果，也叫顺推法。

这种方法适用于已知条件较少，数量关系比较简单的数学题。

例8：

两个质数，它们的差是小于30的合数，它们的和即是11的倍数又是小于50的偶数。

写出适合上面条件的各组数。

11的倍数同时小于50的偶数有22和44。

两个数都是质数，而和是偶数，显然这两个质数中没有2。

和是22的两个质数有：

3和19，5和17。

它们的差都是小于30的合数吗？

和是44的两个质数有：

3和41，7和37，13和31。

它们的差是小于30的合数吗？

这就是综合法的思路。

7、方程法

　用字母表示未知数，并根据等量关系列出含有字母的表达式（等式）。

列方程是一个抽象概括的过程，解方程是一个演绎推导的过程。

方程法最大的特点是把未知数等同于已知数看待，参与列式、运算，克服了算术法必须避开求知数来列式的不足。

有利于由已知向未知的转化，从而提高了解题的效率和正确率。

例9：

一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36，得50。

求这个数。

例10：

一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，还剩余6千克。

这桶油重多少千克？

这两题用方程解就比较容易。

8、参数法

用只参与列式、运算而不需要解出的字母或数表示有关数量，并根据题意列出算式的一种方法叫做参数法。

参数又叫辅助未知数，也称中间变量。

参数法是方程法延伸、拓展的产物。

例11：

汽车爬山，上山时平均每小时行15千米，下山时平均每小时行驶10千米，问汽车的平均速度是每小时多少千米？

上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。

而应该用上下山的路程÷

例12：

一项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要5天完成。

两人合做要多少天完成？

其实，把总工作量看作“1”，这个“1”就是参数，如果把总工作量看作“2、3、4……”都可以，只不过看作“1”运算最方便。

9、排除法

排除对立的结果叫做排除法。

排除法的逻辑原理是：

任何事物都有其对立面，在有正确与错误的多种结果中，一切错误的结果都排除了，剩余的只能是正确的结果。

这种方法也叫淘汰法、筛选法或反证法。

这是一种不可缺少的形式思维方法。

例13：

为什么说除2外，所有质数都是奇数？

这就要用反证法：

比2大的所有自然数不是质数就是合数。

假设：

比2大的质数有偶数，那么，这个偶数一定能被2整除，也就是说它一定有约数2。

一个数的约数除了1和它本身外，还有别的约数（约数2），这个数一定是合数而不是质数。

这和原来假定是质数对立（矛盾）。

所以，原来假设错误。

例14：

（1）同一平面上两条直线不平行，就一定相交。

（错）

（2）分数的分子和分母同乘以或同除以一个相同的数，分数大小不变。

10、特例法

对于涉及一般性结论的题目，通过取特殊值或画特殊图或定特殊位置等特例来解题的方法叫做特例法。

特例法的逻辑原理是：

事物的一般性存在于特殊性之中。

例15：

大圆半径是小圆半径的2倍，大圆周长是小圆周长的（）倍，大圆面积是小圆面积的（）倍。

可以取小圆半径为1，那么大圆半径就是2。

计算一下，就能得出正确结果。

例16：

正方形的面积和边长成正比例吗？

如果正方形的边长为a，面积为s。

那么，s：

a=a（比值不定）

所以，正方形的面积和边长不成正比例。

11、化归法

通过某种转化过程，把问题归结到一类典型问题来解题的方法叫做化归法。

化归是知识迁移的重要途径，也是扩展、深化认知的首要步骤。

化归法的逻辑原理是，事物之间是普遍联系的。

化归法是一种常用的辩证思维方法。

例17：

某制药厂生产一批防“非典”药，原计划25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？

这就需要在考虑问题时，把“总工作日”化归为“总工作量”。

例18：

超市运来马铃薯、西红柿、豇豆三种蔬菜，马铃薯占25%，西红柿和豇豆的重量比是4：

5，已知豇豆比马铃薯多36千克，超市运来西红柿多少千克？

需要把“西红柿和豇豆的重量比4：

5”化归为“各占总重量的百分之几”，也就是把比例应用题化归为分数应用题。

（内容来源网络）

数学类型题

小兔子采蘑菇，晴天每天能采40朵，雨天每天只能采24朵，它一连几天共采了224朵蘑菇，平均每天采28朵，求这些天中有几天是下雨天？

解析1

思考1：

同学们还记得我们讲过的鸡兔同笼问题吗？

思考2：

你知道小兔子一共采了几天吗？

怎么计算？

224朵蘑菇，平均每天28朵，那么采了224÷

28=8（天）

我们假设每天都下雨，那么24*8=192（朵）

实际上多采了224-192=32（朵）

思考3：

为什么会多采了32朵呢？

8天里每晴1天，多采40-24=16（朵）

32÷

16=2（天）→→晴天

思考4：

为什么求出来的是晴天呢？

雨天为8-2=6（天）

解析2

本题是属于假设法解题的一道题目，题目相对不是太难。

可以作为基础延伸题目进行讲解。

适当的引导学生自己思考解决问题。

1、小兔子采蘑菇共采了几天？

224÷

2、小兔子在这8天时间内，最多可以采多少朵？

最小可以采多少朵？

都是晴天时，采的最多：

40=320（朵）

都是雨天时，采的最少：

24=196（朵）

3、现在8天内采了224朵蘑菇，这几天中有几天是雨天？

都是晴天时，采的最多，每把其中的一个晴天换成雨天，总数就会减少40-24=16（朵）

雨天数=（320-224）÷

16=6（天）

解题步骤：

（8×

40-224）÷

（40-24）

=96÷

16

=6（天）

雨天有6天。

第十六章 

逻辑推理

3、古代一位国王和他的张、王、李、赵、钱五位将军一同外出打猎，个人的箭上都刻有自己的姓氏，打猎中，一只鹿中箭倒地身亡，但不知是何人所射杀。

张说：

“是我射中的，或者是李将军射中的。

”

王说：

“不是钱将军射中的。

李说：

“如果不是赵将军射中的，那么就一定是王将军射中的。

赵说：

“既不是我射中的，也不是王将军射中的。

钱说：

“既不是赵将军射中的，也不是张将军射中的。

国王让人把射中鹿的箭拿来，看过以后说：

“你们五位将军的猜测，只有两个人的判断是正确的。

”根据国王的话，判定是谁射中的？

思路解析：

本题线索较为复杂，使用我们常用的表格法；

解题过程：

1、横排表示及下方符号表示，当射箭人是竖排的人时，其说的话是正确还是错误。

通过图表显示，当假设是钱将军射中的时候，此时只有赵将军和钱将军猜对了正确的答案。

符合题意，所以本题答案是钱将军射中的那只鹿。

4、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。

甲是2号，乙是3号。

丙是4号，乙是2号。

孙说：

丁是2号，丙是3号。

丁是4号，甲是1号。

每人只说对了一半，那么丙的号码是几号？

可以使用表格列出来，然后根据矛盾去判断。

1、当甲是2号时，丁是4号，乙是2号，与条件不符合，所以甲不是2号。

2、当甲是1号时，乙是3号，丁是2号，丙是4号，符合题意。

所以本题答案是甲是1号时，乙是3号，丁是2号，丙是4号。

第十五章可能性问题

3、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，和棋的概率是50%，问乙不输的概率是（ 

）。

甲获胜的概率=乙输的概率=30%

乙输的概率+乙不输的概率=1

所以：

乙不输的概率=1-30%=70%

5、从1,2,3,4,5中任取两个数相加。

求：

（1）和为偶数的概率；

（2）和为奇数的概率。

列表如上图 

图中两数之和是奇数的共有12个

图中两数之和是偶数的共有13个

和为偶数的概率：

和为奇数的概率：