高中数学新人教A版选修11几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式Word文档格式.docx
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f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax(a>
0且a≠1)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax(a>
f(x)=lnx
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若y=,则y′=×
2=1( )
(2)若f′(x)=sinx,则f(x)=cosx( )
(3)f(x)=,则f′(x)=-( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√
2.下列结论不正确的是( )
A.若y=0,则y′=0 B.若y=5x,则y′=5
C.若y=x-1,则y′=-x-2D.若y=x,则y′=x
D
3.若y=cos,则y′=( )
A.- B.- C.0 D.
C
4.曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程为________.
y=x+1
利用导数公式求函数导数
[典例] 求下列函数的导数.
(1)y=x12;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=3x;
(5)y=log5x.
[解]
(1)y′=(x12)′=12x11.
(2)y′=′=(x-4)′=-4x-5=-.
(3)y′=()′=(x)′=x-.
(4)y′=(3x)′=3xln3.
(5)y′=(log5x)′=.
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调整,再选择合适的求导公式.
[活学活用]
求下列函数的导数:
(1)y=lgx;
(2)y=x;
(3)y=x;
(4)y=logx.
解:
(1)y′=(lgx)′=′=.
(2)y′=′=xln=-xln2.
(3)y′=(x)′=(x)′=x=.
(4)y′=′==-.
导数公式的综合应用
[典例]
(1)曲线y=cosx在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.- B.+
C.+D.-
(2)设曲线y=在点(2,)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( )
A.B.
C.-2D.2
[解析]
(1)因为y′=-sinx,切点为P,
所以切线的斜率k=y′|x==-sin=-,
所以切线方程为y-=-,
令x=0,得y=+,故选C.
(2)因为y==x,所以y′=x-=,
所以切线的斜率k=y′|x=2=,
由已知,得-a=-2,即a=2,故选D.
[答案]
(1)C
(2)D
1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
1.曲线y=x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为( )
C.D.
解析:
选C 可求得y′=x-,
即y′|x=1=,切线方程为2x-3y+1=0,
与x轴的交点坐标为,
与x=2的交点坐标为,
围成三角形面积为×
×
=.
2.当常数k为何值时,直线y=x与曲线y=x2+k相切?
请求出切点.
设切点为A(x0,x+k).∵y′=2x,
∴∴故当k=时,直线y=x与曲线y=x2+k相切,且切点坐标为.
层级一 学业水平达标
1.若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f′
(1)=ln27,则f′(-1)=( )
A.2 B.ln3 C. D.-ln3
选C f′(x)=axlna,由f′
(1)=alna=ln27,解得a=3,则f′(x)=3xln3,故f′(-1)=.
2.已知f(x)=x2·
,则f′
(2)=( )
A.4B.0C.D.5
选D 原函数化简得f(x)=x,
所以f′(x)=·
x,
所以f′
(2)=×
2=5.故选D.
3.已知f(x)=xα,若f′(-1)=-2,则α的值等于( )
A.2B.-2C.3D.-3
选A 若α=2,则f(x)=x2,∴f′(x)=2x,
∴f′(-1)=2×
(-1)=-2适合条件.故应选A.
4.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是( )
A.4B.2C.16D.8
选A ∵y′=,
∴切线方程为y-=(x-a).
令x=0,得y=,令y=0,得x=-a,
由题意知·
·
a=2,∴a=4.
5.曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为( )
A.1B.-C.D.
选C ∵y′=x2,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角α满足tanα=1,∵0≤α<
π,∴α=.
6.已知f(x)=,g(x)=mx,且g′
(2)=,则m=________.
∵f′(x)=-,∴f′
(2)=-.
又∵g′(x)=m,∴g′
(2)=m.由g′
(2)=,得m=-4.
-4
7.曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是________,切线方程为____________.
∵y′=(lnx)′=,∴y′|x=e=.
∴切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.
x-ey=0
8.设坐标平面上的抛物线C:
y=x2,过第一象限的点(a,a2)作抛物线C的切线l,则直线l与y轴的交点Q的坐标为________.
显然点(a,a2)为抛物线C:
y=x2上的点,
∵y′=2x,∴直线l的方程为y-a2=2a(x-a).
令x=0,得y=-a2,
∴直线l与y轴的交点的坐标为(0,-a2).
(0,-a2)
9.求下列函数的导数:
(1)y=x8;
(2)y=4x;
(3)y=log3x;
(4)y=sin;
(5)y=e2.
(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(4x)′=4xln4.
(3)y′=(log3x)′=.
(4)y′=(cosx)′=-sinx.
(5)y′=(e2)′=0.
10.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,
(1)求过点P,Q的曲线y=x2的切线方程;
(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.
(1)因为y′=2x,P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=x2上的点.
过P点的切线的斜率k1=y′|x=-1=-2,
过Q点的切线的斜率k2=y′|x=2=4,
过P点的切线方程:
y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.
过Q点的切线方程:
y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
(2)因为y′=2x,直线PQ的斜率k==1,
切线的斜率k=y′|x=x0=2x0=1,
所以x0=,所以切点M,
与PQ平行的切线方程为:
y-=x-,即4x-4y-1=0.
层级二 应试能力达标
1.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为( )
A. B.
选B ∵s′=t-.∴当t=4时,
s′=·
=.
2.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )
A.2B.ln2+1
C.ln2-1D.ln2
选C ∵y=lnx的导数y′=,
∴令=,得x=2,∴切点为(2,ln2).
代入直线y=x+b,得b=ln2-1.
3.在曲线f(x)=上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A.(1,1)B.(-1,-1)
C.(-1,1)D.(1,1)或(-1,-1)
选D 因为f(x)=,所以f′(x)=-,因为切线的倾斜角为π,所以切线斜率为-1,
即f′(x)=-=-1,所以x=±
1,
则当x=1时,f
(1)=1;
当x=-1时,f
(1)=-1,则点坐标为(1,1)或(-1,-1).
4.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·
x2·
…·
xn的值为( )
A.B.
C.D.1
选B 对y=xn+1(n∈N*)求导得y′=(n+1)xn.令x=1,得在点(1,1)处的切线的斜率k=n+1,
∴在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(xn-1).
令y=0,得xn=,
∴x1·
xn=×
…×
=,故选B.
5.已知f(x)=a2(a为常数),g(x)=lnx,若2x[f′(x)+1]-g′(x)=1,则x=________.
因为f′(x)=0,g′(x)=,
所以2x[f′(x)+1]-g′(x)=2x-=1.
解得x=1或x=-,因为x>0,所以x=1.
1
6.与直线2x-y-4=0平行且与曲线y=lnx相切的直线方程是________.
∵直线2x-y-4=0的斜率为k=2,
又∵y′=(lnx)′=,∴=2,解得x=.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y+ln2=2.
即2x-y-1-ln2=0.
2x-y-1-ln2=0
7.已知曲线方程为y=f(x)=x2,求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程.
设切点P的坐标为(x0,x).
∵y=x2,∴y′=2x,∴k=f′(x0)=2x0,
∴切线方程为y-x=2x0(x-x0).
将点B(3,5)代入上式,得5-x=2x0(3-x0),
即x-6x0+5=0,
∴(x0-1)(x0-5)=0,∴x0=1或x0=5,
∴切点坐标为(1,1)或(5,25),
故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),
即2x-y-1=0或10x-y-25=0.
8.求证:
双曲线xy=a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数.
证明:
设P(x0,y0)为双曲线xy=a2上任一点.
∵y′=′=-.
∴过点P的切线方程为y-y0=-(x-x0).
令x=0,得y=;
令y=0,得x=2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S=·
|2x0|=2a2.
即双曲线xy=a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
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