广东省东莞市中堂星晨学校届九年级月考数学试题Word文件下载.docx
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A.x2+3x-2=0
B.x2-3x+2=0
C.x2-2x+3=0
D.x2+3x+2=0
4、给出一种运算:
对于函数y=xn,规定
=nxn-1.例如:
若函数y1=x4,则有
.函数y=x3,则方程
的解是( )
A.x1=4,x2=-4
B.x1=2
,x2=-2
C.x1=x2=0
D.x1=2,x2=-2
5、已知2是关于
的方程
的根,则
的值为( )
A.-4
B.4
C.2
D.
6、某超市一月份的营业额为30万元,三月份的营业额为56万元.设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.56(1+x)2=30
B.56(1﹣x)2=30
C.30(1+x)2=56
D.30(1+x)3=56
7、将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1,则平移方式为( )
A.向左平移1个单位
B.向右平移1个单位
C.向上平移1个单位
D.向下平移1个单位
8、已知函数:
①y=3x﹣1;
②y=3x2﹣1;
③y=﹣20x2;
④y=x2﹣6x+5,其中是二次函数的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是(
)
A.函数有最小值
B.对称轴是直线x=
C.当x<
,y随x的增大而减小
D.当﹣1<x<2时,y>0
10、某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产品增加x倍,两年后产品年产量y与x的函数关系是(
A.y=20(1﹣x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
第II卷(非选择题)
三、填空题(题型注释)
11、已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,则k=______。
12、已知一元二次方程x2-5x-1=0的两根为x1,x2,则x1+x2=
.
13、请写出一个对称轴为x=3的抛物线的解析式_________.
14、如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(﹣1,0),B(3,0),那么一元二次方程ax2+bx=0的根是
15、某药品原价每盒25元,经过两次连续降价后,售价每盒16元.则该药品平均每次降价的百分数是_
_.
16、二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为__.
四、解答题(题型注释)
17、解方程:
x²
-2x-1=0(用配方法)
18、解方程:
x2+4x﹣2=0.
19、已知:
m2+2m-3=0.
求证:
关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根.
20、求抛物线y=x2-2x的对称轴和顶点坐标,并画出图象.
21、如图,已知二次函数y=a(x﹣h)2+
的图象经过原点O(0,0),A(2,0).
写出该函数图象的对称轴;
22、东台市为打造“绿色城市”,积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程,已知2013年投资1000万元,预计2015年投资1210万元.若这两年内平均每年投资增长的百分率相同.
(1)求平均每年投资增长的百分率;
(2)按此增长率,计算2016年投资额能否达到1360万
23、(本题满分10分)有一种可食用的野生菌,刚上市时,外商李经理以每千克30元的市场价格收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将每天每千克上涨1元;
但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这种野生菌在冷库中最多保存140天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏导致不能出售.
(1)若存放
天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为
元,试求出
与
之间的函数关系式;
(2)李经理将这批野生菌存放多少天后一次性全部出售可以获得22500元的利润?
24、已知抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,A(1,0),B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)结合函数图象,写出当y<
3时x的取值范围.
25、已知在平面直角坐标系中,抛物线
与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,直线y=x+4经过A,C两点,
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P,Q在抛物线上(P点在对称轴左边),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上,且△ABC与△COM相似,求点M的坐标.
参考答案
1、A
2、C.
3、C.
4、D
5、B
6、C
7、C
8、C
9、D.
10、C
11、±
2
12、
13、y=(x-3)2
14、x1=0,x2=2
15、20%.
16、(﹣3,﹣4)
17、x=1±
18、x1=-2+
,x2=-2-
19、原方程有两个不相等的实数根.
20、见解析
21、对称轴为直线x=1
22、
(1)平均每年投资增长的百分率为10%;
(2)不能达到.
23、
(1)P=
;
(2)50.
24、
(1)
(2)x<
-2或x>
0.
25、
(1)
(2)P点坐标(﹣5,﹣
),Q点坐标(3,﹣
)(3)M点的坐标为(﹣
,
),(﹣3,1)
【解析】
1、试题分析:
因为方程有两个相等的实数根,所以根的判别式△=b2﹣4ac=0,又a+b+c=0,即b=﹣a﹣c,代入b2﹣4ac=0得(﹣a﹣c)2﹣4ac=0,化简即可得到a与c的关系.
解:
∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=0,
又a+b+c=0,即b=﹣a﹣c,
代入b2﹣4ac=0得(﹣a﹣c)2﹣4ac=0,
即(a+c)2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=(a﹣c)2=0,
∴a=c.
故选A
考点:
根的判别式.
2、试题分析:
观察数字因数,给出的方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3,-2,-1.所以正确的是C.
一元二次方程的各部分名称.
3、试题分析:
解决此题可用验算法,因为两实数根的和是1+2=3,两实数根的积是1×
2=2.解题时检验两根之和
是否为3及两根之积
是否为2即可.两个根为x1=1,x2=2则两根的和是3,积是2.
A、两根之和等于﹣3,两根之积等于﹣2,所以此选项不正确;
B、两根之和等于3,两根之积等于2,所以此选项正确;
C、两根之和等于2,两根之积等于3,所以此选项不正确;
D、两根之和等于﹣3,两根之积等于2,所以此选项不正确,
根与系数的关系.
4、由题意可知:
若函数y=x3,则y'
=3x2,
故方程y'
=12可以改写为3x2=12,
解这个一元二次方程,得x1=2,x2=-2,即原方程y'
=12的解为x1=2,x2=-2.
故本题应选D.
5、∵2是关于x的方程x2+ax-3a=0的根,
∴将x=2代入该方程,得
22+2a-3a=0,即-a+4=0,
解这个关于a的一元一次方程,得
a=4.
故本题应选B.
6、已知一月份的营业额为30万元.二月份的营业额应为一月份的营业额加二月份营业额的增长量,而每月营业额的增长量应该是上一个月的营业额乘以每月的平均增长率x,故二月份的营业额可表示为:
30+30x=30(1+x),
同理,三月份的营业额应为二月份的营业额加三月份营业额的增长量,故可以表示为:
[30(1+x)]+[30(1+x)]x=[30(1+x)](1+x)=30(1+x)2,
由题意知,三月份的营业额为56万元.结合上述三月份营业额的表达式可列方程:
30(1+x)2=56.
故本题应选C.
点睛:
本题考查了“平均增长率”型一元二次方程应用题的相关知识.对于这类问题应该在题目条件中准确地获取相关量在增长之前是什么值,最终增长到什么值,增长了几次.难点在于理解方程中“1+x”(其中x为平均增长率)这一形式的来历和意义.
7、根据二次函数图象的平移规律“上加下减,左加右减”,将原抛物线以各个选项描述的平移方式进行平移可以获得不同的解析式,与题目中给出的解析式一致的选项即为正确选项.
A选项:
将原抛物线向左平移1个单位,平移后的抛物线应为y=2(x+1)2,故A选项错误;
B选项:
将原抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线应为y=2(x-1)2,故B选项错误;
C选项:
将原抛物线向上平移1个单位,平移后的抛物线应为y=2x2+1,故C选项正确;
D选项:
将原抛物线向下平移1个单位,平移后的抛物线应为y=2x2-1,故D选项错误.
因此,本题应选C.
本题考查了二次函数图象平移的相关知识.二次函数图象向上或向下平移时,应将平移量以“上加下减”的方式作为常数项添加到原解析式中;
二次函数图象向左或向右平移时,应先以“左加右减”的方式将自变量x和平移量组成一个代数式,再用该代数式替换原解析式中的自变量x.要特别注意理解和记忆二次函数图象左右平移时其解析式的相关变化.
8、根据二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)可以判断各备选函数是否为二次函数.
函数①:
在该解析式的等号右侧不存在含自变量x的二次项,故①不是二次函数;
函数②:
该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=3,b=0,c=-1),故②是二次函数;
函数③:
该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=-20,b=0,c=0),故③是二次函数;
函数④:
该解析式符合二次函数的一般形式(其中a=1,b=-6,c=5),故④是二次函数;
综上所述,本题中一共有②③④三个函数是二次函数.
9、
试题分析:
根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;
根据图形直接判断B;
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;
根据图象,当-1<x<2时,抛物线落在x轴的下方,则y<0,从而判断D.
试题解析:
A、由抛物线的开口向上,可知a>0,函数有最小值,正确,故A选项不符合题意;
B、由图象可知,对称轴为x=
,正确,故B选项不符合题意;
C、因为a>0,所以,当x<
时,y随x的增大而减小,正确,故C选项不符合题意;
D、由图象可知,当-1<x<2时,y<0,错误,故D选项符合题意.
故选D.
二次函数的性质.
10、由题意,得
一年后该产品的年产量应为:
20+20x=20(1+x);
两年后该产品的年产量应为:
[20(1+x)]+[20(1+x)]x=20(1+x)2,
故两年后该产品年产量应为:
y=20(1+x)2或y=20x2+40x+20(一般形式).
11、试题分析:
由一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,且△=b2﹣4ac=k2﹣4×
1×
1=k2﹣4=0,即k=±
2.
根的判别式
12、试题分析:
本题要求算出x1+x2的结果,x1+x2正好与两根之和公式一致,根据两根之和公式可以求出x1+x2的值.
由两根之和公式可得,x1+x2=
考点:
根与系数的关系.
13、分析题意可知,本题可以根据二次函数解析式的顶点形式y=a(x-h)2+k(其中a,h,k为常数,a≠0)来构造合适的抛物线解析式.
由上述顶点形式易知,常数h为二次函数顶点的横坐标,常数k为二次函数顶点的纵坐标.
由二次函数的图象与性质可知,二次函数的顶点必在其对称轴上.对称轴为x=3,其顶点的横坐标必然为3,即上述顶点形式中的常数h=3.
由于题目中没有规定顶点的纵坐标k以及常数a的取值,所以在利用顶点形式构造函数解析式时在满足a≠0的前提下可以对这两个常数任意取值.
作为示例,利用当a=1,h=3,k=0时的二次函数顶点形式构造解析式,即y=(x-3)2.
14、试题分析:
把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3
得
解得
代入ax2+bx=0
得,﹣x2+2x=0,
解得x1=0,x2=2.
抛物线与x轴的交点.
15、试题分析:
设该药品平均每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1-降价的百分率),则第一次降价后的价格是25(1-x),第二次后的价格是25(1-x)2,据此即可列方程求解.
设该药品平均每次降价的百分率为x,
由题意可知经过连续两次降价,现在售价每盒16元,
故25(1-x)2=16,
解得x=0.2或1.8(不合题意,舍去),
故该药品平均每次降价的百分率为20%.
故答案为:
20%.
一元二次方程的应用.
16、对照题目中给出的二次函数解析式y=x2+6x+5与二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)可得一般形式中各常数的值:
a=1,b=6,c=5,
将相应常数的值代入二次函数一般形式的顶点坐标公式,得
该二次函数顶点的横坐标为:
该二次函数顶点的纵坐标为:
即该二次函数图象的顶点坐标为(-3,-4).
在一般形式下,二次函数的顶点坐标一般有两种求法.一种是利用二次函数一般形式的顶点坐标公式求解;
另一种是利用配方法将该二次函数的一般形式转化成二次函数的顶点形式从而求得顶点.两种方法原理上是一致的.求解二次函数的顶点是解决二次函数问题的一项基本技能,要熟练掌握.
17、试题分析:
观察题目可知,该一元二次方程符合一元二次方程的一般形式且二次项系数为1.据此,用配方法解该方程可以按以下步骤:
先将常数项移至等号右侧,再将方程两侧同时加上一次项系数一半的平方并将方程整理为(x+m)2=n(m,n均为常数)的形式,最后利用直接开平方法解上述变形后的方程.
x²
-2x-1=0
移项,得x2-2x=1,
方程两侧同时加上一次项系数一半的平方,得x2-2x+(-1)2=1+(-1)2,
整理,得(x-1)2=2,
直接开平方,得
即
.
故原方程的解为
配方法是解一元二次方程的一种基本方法.在对一元二次方程进行配方处理时,一定要首先将二次项的系数化为1,再在方程两侧同时加上一次项系数一半的平方,否则将会出现错误.关于这一点,由于本题方程原始形式的二次项系数已经为1,故没有在解析过程中体现出来,应特别注意.
18、试题分析:
先移项,再配方,最后开方,即可求出答案.
x2+4x-2=0,
x2+4x=2,
配方得:
x2+4x+4=2+4,
(x+2)2=6,
开方得:
x+2=
x1=-2+
解一元二次方程-配方法.
19、试题分析:
要证明该方程有两个不相等的实数根,需要证明该一元二次方程根的判别式的值大于零.因此,应先求得该方程的根的判别式,再利用已知条件求其值,最后通过该判别式的值大于零证得该方程有两个不相等的实数根.
证明:
根据关于x的方程x2-2mx-2m=0的形式可知该方程为关于x的一元二次方程.
对照此方程与一元二次方程的一般形式ax2+bx+c="
0"
(a,b,c为常数,a≠0)可得一般形式中各常数的值:
a=1,b=-2m,c=-2m,
因此,该方程的根的判别式
∵m2+2m-3=0,
∴m2+2m=3,
∴
∵当一元二次方程根的判别式
时,方程有两个不相等的实数根,
∴关于x的方程x2-2mx-2m=0有两个不相等的实数根.
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.关键点在于如何简便地利用已知条件求得判别式的值.一般思路是将已知条件当作关于m的一元二次方程解出m的值,然后将所得的m的值分别代入判别式进行求值与判断.然而,利用整体代换的思想对判别式进行求值更加简便,应予以重视.
20、试题分析:
要求二次函数的对称轴和顶点坐标,可以将题目中给出的二次函数解析式利用配方法转化为二次函数解析式的顶点形式,进而得出二次函数的顶点和对称轴.在画二次函数的图象时,以对称轴与x轴的交点为中心在x轴上左右对称地取得7个点,通过解析式分别计算出相应的函数值并列出表格;
在平面直角坐标系中,将表中数据所表示的点描出来;
利用平滑的曲线连接各点即得二次函数的图象.
利用配方法将该二次函数的解析式y=x2-2x转化为相应的顶点形式,得
根据二次函数解析式的顶点形式与图象的关系可知:
该二次函数的对称轴为直线x=1,
该二次函数的顶点坐标为(1,-1).
下面画二次函数y=x2-2x的图象.
以二次函数y=x2-2x的对称轴直线x=1为中心在x轴上对称地选取7个点并计算相应的函数值,列于下表:
x
-2
-1
1
3
4
y
8
根据上表中的数据,在平面直角坐标系中描出上述数据所表示的点,再用平滑的曲线连接各点则得到该二次函数的图象.函数图象如图所示:
本题中利用二次函数解析式的顶点形式来确定二次函数顶点和对称轴是一项需要熟练掌握的技能.在利用配方法时,要注意转换二次函数解析式时用的配方法与解一元二次方程时用的配方法有一定的区别.在利用配方法转换二次函数解析式的形式时,要特别注意增加的项一定要在解析式中适当的位置予以消除,保持解析式恒等.
21、试题分析:
本题要求二次函数的对称轴.分析题目条件可知本题可以用两种方法解决.其一,因为已知的两个点均为二次函数与x轴的交点,所以点O与点A必定关于二次函数的对称轴对称.根据对称性可知,该二次函数的对称轴与x轴的交点必定是线段OA的中点.利用该几何性质容易得到该二次函数的对称轴.其二,由于点O与点A均在二次函数的图象上,所以点O与点A的坐标一定满足该二次函数的解析式.将这两点的坐标代入解析式并联立,即可得到一个方程组,解之可得a与h的值.这样就确定了该二次函数的解析式,进而可以获得二次函数的对称轴.
(解法一)
如图,设该二次函数的对称轴与x轴的交点为M.
∵点O与点A均为该二次函数与x轴的交点,
∴点O与点A关于该二次函数的对称轴对称,
∴在x轴上,线段OA的中点为点M,即
∵点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点M的坐标为(1,0),
∵点M为该二次函数的对称轴与x轴的交点,
∴该二次函数的对称轴为直线x=1.
(解法二)
∵二次函数
的图象经过点O(0,0)与点A(2,0),
∴将点O与点A的坐标代入二次函数解析式,得
解这个方程组:
∵
,即
①
∵在二次函数
中,a≠0,
∴①式两侧同时除以a,得h=1.
∴该二次函数的解析式为
求解二次函数的对称轴是二次函数相关问题中的常考知识点.对称轴的求解可以利用二次函数图象的对称性,通过几何方式求解;
也可以利用已知条件先确定二次函数解析式,再利用相关性质获得对称轴.另外,在求解较复杂的方程组时,要灵活运用整体代换的思想简化运算.
22、试题分析:
(1)利用2013年投资1000万元,预计2015年投资1210万元,进而得出等式求出即可;
(2)利用
(1)中所求,得出2016年投资额即可.
(1)设平均每年投资增长的百分率是x.
由题意得1000(1+x)2=1210,
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意舍去).
答:
平均每年投资增长的百分率为10%;
(2)∵1210×
(1+10)=1331<1360,
∴不能达到.
23、试题分析:
(1)存放
天,每天损坏3千克,则剩下
,P与x之间的函数关系式为P=
(2)依题意
(1)由题意得P与X之间的函数关系式:
P=
(2)由题意得:
解得:
(舍去)
∴存放50天后出售这批野生菌可获得最大利润22500元.
二次函数的应用.
24、试题分析:
(1)从题目中所给出的图象可知,点A和点B这两个已知点均在该二次函数图象上.因此,可以将点A与点B的坐标代入二次函数解析式并组成方程组,求得待定系数b与c的值,进而获得该二次函数的解析式.
(2)在题目所给出的图象上作直线y=3,该直线交二次函数图象于两点.观察图象易知,满足y<
3的二次函数图象应该在直线y=3的下方.根据这部分图象横坐标的特点可知满足条件的横坐标分布范围.由于该取值范围由直线y=3与二次函数交点的横坐标确定,故可以联立两个解析式解得交点坐标,进而求得x的取值范围.
(1)由题目中的图象可知:
该二次函数的图象过点A(1,0),点B(0,3),
将点A与点B的坐标代入二次函数的解析式,得
解之,得
故该二次函数的解析式为
(2)将题目中给出的二次函数图象适当延长,作直线y=3交二次函数图象于点B,C.(如图)
分析图象可知,满足y<
3的二次函数图象应该是位于直线y=3下方的部分.
观察这部分
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