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三、性质类
1、等式的基本性质是解方程的基石,凡产生增根或失根,都因与等式基本性质不符造成.
2、一元二次方程根的判别式,以及根与系数的关系.使用根与系数的关系定理,一定要保证根的判别式△≥0;
而使用根的判别式,首先要保证原方程为一元二次方程(二次项系数a≠0).
例5(2000年河北)若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根,则k的取值范围是_______.
因为原方程有两个实数根,所以△=[2(k+1)]2-4k(k-1)=12k+4≥0,解得k≥-1/3;
又因为原方程为关于x的一元二次方程,所以k≠0.
∴k的取值范围是k≥-1/3且k≠0.
例6(2001年河北)若x1,x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则1/x1+1/x2的值是()
(A)-1;
(B)0;
(C)1;
(D)2.
由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=-1/3,x1x2=-1/3.
∴1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=(-1/3)/(-1/3)=1.故选(C).
四、应用类
应该承认,方程应用题的地位受到函数应用题的严峻挑战,其出路只有一条:
改革创新.就其发展趋势而言,突出了具有时代气息的实际背景,关注社会热点,贴近现实生活;
出现了开放性较强的试题,甚至让学生编拟应用题,培养和考查创新能力;
加入了图表等多种信息,锻炼学生对各种信息的综合和分析处理能力.
例7(2001年河北)某所中学现有学生4200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校在校生将增加10%.这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是()
(A)1400和2800;
(B)1900和2300;
(C)2800和1400;
(D)2300和1900.
当前,由于种种原因,中学阶段的入学人数猛增,这一社会问题又贴近学生生活实际,让学生感到亲切自然.如果设这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数依次是x,y,那么,根据题意可以列方程组
解得x=1400,y=2800.故选(A).
例8(2001年黑龙江哈尔滨)“丽园”开发公司生产的960件新产品,需要精加工后,才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天,而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品,公司需付给甲工厂加工费用每天80元,乙工厂加工费用每天120元.
(1)求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品.
(2)公司制定产品加工方案如下:
可以由每个厂家单独完成;
也可以由两个厂家同时合作完成.在加工过程中,公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导,并负担每天5元的误餐补助费.
请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案,并说明理由.
命题瞄准了市场经济的大背景,显示数学知识的巨大作用.
(1)设甲工厂每天能加工x件新产品,则乙工厂每天能加工(x+8)件新产品,根据题意,得960/x=960/(x+8)+20,解得x1=16,x2=-24.
经检验,x1=16,x2=-24都是原方程的根,但x2=-24不合题意,舍去.
∴x+8=24.
即甲、乙两个工厂每天各能加工16件、24件新产品.
(2)根据公司制定的方案,有三种选择,应从中找出最优者.
易得,甲工厂单独加工完这批产品所需时间为960/16=60(天),
所需费用为80×
60+5×
60=5100(元);
乙工厂单独加工完这批产品所需时间为960/24=40(天),
所需费用为120×
40+5×
40=5000(元);
设两个厂家同时合作加工完这批产品所需时间为y天,则有
y/60+y/40=1,解得y=24(天),
所需费用为(80+120)×
24+5×
24=4920(元).
∴两个厂家同时合作完成比较合适.
例9(2001年宁夏)编一道关于增长率的一元二次方程应用题,并解答.
编题要求:
(1)题目完整,题意清楚。
(2)题意与方程的解都要符合实际。
本题旨在训练逆向思维能力和语言表达能力,具有较强的开放性。
一般可以先确定一个方程,比如100(1+x)2=144,再据此编题。
例10(2001年湖南邵阳)如图1-1,在宽为20米,长为32米的矩形耕地上,修筑三条同样宽的耕作道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,要使耕地面积为504平方米,道路宽应为多少?
对图形的信息处理,可以从数学化的角度,把一横两纵三条道路都移至靠近矩形的边上,如图1-2所示,剩余的耕地面积不变。
于是,设道路宽应为x米,则有(20-x)(32-2x)=504,解得x1=2,x2=34(不合题意,舍去).
五、综合类
1、方程中各知识点的综合.
2、与其它代数知识的综合.
3、与几何知识的综合.
例11(2001年江苏盐城)已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0①与x2-(2k-1)x+k2-k-2=0②.
(1)当k为何值时,方程①有实数根;
(2)若方程①的两个实数根α、β的倒数和等于方程②的一个实数根,求k的值。
(1)对照例5,可知,当方程①是一元二次方程时,k≥-1/3且k≠0;
但是,题干中并未明确方程①是一元二次方程,它还有可能是一元一次方程,此时,k=0,方程①变为-2x-1=0,解得=-1/2.
∴当k≥-1/3时,方程①有实数根。
(2)在此小题中,方程①、②都是一元二次方程。
对于方程①,由根与系数关系,得α+β=2(k+1)/k,αβ=(k-1)/k,
∴1/α+1/β=(α+β)/αβ=2(k+1)/(k-1);
对于方程②,用因式分解法变形为
(x-k+2)(x-k-1)=0,解得x1=k-2,x2=k+1。
由题意得2(k+1)/(k-1)=k-2,解得k=0或k=5;
或者由2(k+1)/(k-1)=k+1,解得k=3.
由
(1)可知,方程①是一元二次方程,并且有实数根时,k≥-1/3且k≠0,故舍去k=0.
∴k的值为3或5.
解答此题,用到了定义、解法与性质三类知识,具有一定的综合性。
例12(2001年甘肃)某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。
这些地可种蔬菜、烟叶或小麦,种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下:
请你设计一个种植方案,使每亩地都种上农作物,20位职工都有工作,且使农作物预计产值最多。
设种植蔬菜x亩,烟叶y亩,则种植小麦(50-x-y)亩,根据题意列方程,得
整理,得y=90-3x.
则种植小麦50-x-y=50-x-(90-3x)=(2x-40)(亩).
由不等式组,
解得20≤x≤30.
若设预计总产值为w(元),则
w=1100x+750y+600(50-x-y)=1100x+750(90-3x)+600(2x-40)=50x+43500.
∵50〉0,由一次函数性质可知,w随x的增大而增大,
∴当x=30时,y=0,50-x-y=20,w最大值=50×
30+43500=45000(元)。
此时,种植蔬菜、小麦的人数分别为15人、5人,不种烟叶。
这道题综合了方程、不等式、函数等诸多的代数知识,属于代数综合题。
例13(2001年河北)已知等腰三角形三边的长为a、b、c,且a=c.若关于x的一元二次方程ax2-
bx+c=0的两根之差为
,则等腰三角形的一个底角是()
(A)15°
;
(B)30°
(C)45°
(D)60°
.
设原方程的两根为x1,x2,则由题意,得
x1+x2=
b/a,x1·
x2=c/a=1,a>
0,b>
0.
则2b2/a2-4=2,b2/a2=3.由a>
0,可知b=
a.
根据题意作△ABC及其底边AC上的高BD,如图2,则AD=CD=b/2.
在Rt△BCD中,cos∠C=CD/BC=(b/2)/a=(
a/2)/a=
/2.
∴∠C=30°
故选(B).
此题将方程与三角形、解直角三角形等几何知识作了综合,是2001年河北省中考选择题部分的的“压轴题”.
例14(2001年山东济南)如图3,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成。
设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为_____________.
欲求矩形的各边长,用几何方法很难奏效,如果用方程思想解决则轻而易举。
若设两个相同的小正方形边长为x,则其余的三个较大的正方形的边长分别为x+1,x+2,x+3。
由于矩形的对边相等,所以可以列出方程(x+1)+2x=(x+2)+(x+3),解得x=4,则x+1=5,x+2=6,x+3=7,矩形的两条邻边分别为13,11,矩形面积为13×
11=143.
例15(2001年北京石景山)已知:
如图4,BC是⊙O的直径,点A为CB延长线上一点,且AB=(1/2)BC=2.作割线APM交⊙O于点P、M,使AP:
PM=3:
2.连结MO并延长交⊙O于点N,连结PN并BC于点E.PF切⊙O于点P,交AB于点F.
(1)求证:
MO⊥AC;
(2)求证:
AF·
PN=OM·
AP;
(3)求线段BF的长。
(1)由AP:
2,可设AP=3x,则PM=2x,AM=5x.
根据切割线定理,得AP·
AM=AB·
AC,2x·
5x=2×
6,x=2√5/5.
∴AP=6√5/5,PM=4√5/5,AM=2√5.
∵△AOM中,AM2=20,AO2=16,OM2=4,AO2+OM2=AM2
∴∠AOM=90°
MO⊥AC.
(2)连结OP.
易证∠A=90°
-∠M=∠N,∠APF=90°
-∠FPE=∠NPO.
∴△APF∽△NPO,从而AF/AP=ON/PN,AF·
PN=ON·
AP.
∵OM=ON,∴AF·
(3)由切割线定理,得FP2=FB·
FC.
设AF=y,则PF=AF=y,BF=2-y,CF=6-y,
∴y2=(2-y)(6-y).解得y=3/2.
∴BF=2-y=1/2.
通过这道例题,可以进一步发现方程思想在解答数学问题中的重要作用。
附:
2002年方程(组)中考题集萃
一、选择题:
1、(内江)(02内江市)关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2-2m-3=0有一根是0,则m的值是().
A.m=3或m=-1B.m=-3或m=1C.m=-1D.m=3
2、(包头)(02包头市)关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k=0的根的情况是().
A.有两个不相等的实数根B.总有实数根
C.有两个相等的实数根D.没有实数根
3、(益阳)已知
是方程组
的解,则(a+b)(a-b)的值是()
(A)7(B)-7(C)49(D)-49
4、(包头市)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁1850吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少。
若设二、三月份平均每月的增长为x,则可得方程().
A.560(1+x)2=1850
B.560+560(1+x)2=1850
C.560(1+x)+560(1+x)2=1850
D.560+560(1+x)+560(1+x)2=1850
5、(宁夏)某化肥厂原计划在x天内生产化肥120吨,由于采用了新技术,每天多生产化肥3吨,实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等.那么适合x的方程是().
A.
B.
C.
D.
6、(聊城)“五·
一”江北水城(聊城)文化旅游期间,几名同学包租一辆面包车前去游览,面包车的租价为180元.出发时,又增加了两名同学,结果每个同学比原来少分摊3元车费.若设参加游览的学生共有x人,则所列方程为()
(A)
=3(B)
=3(C)
=3(D)
=3
二、填空题:
1、(漳州)用换元法解分式方程x2-x-
-4=0时,若设x2-x=y,则原方程可变形为关于y的方程是.
2、(内江)(02内江市)若关于x的方程
无解,则k的取值范围是_________.
3、(汕头)方程组
解是 ______
4、(内江)如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-2m=1,n2-2n=l,那么代数式2m2+4n2-4n+1999=______
三、解答题:
1、(内江)(02内江市)解方程:
3x-
+
=5.
2、(达州).(02达州市)已知一元二次方程2x2+3x-5=0,不解方程,求以该方程的两根的倒数为根的一元二次方程
3、(漳州)已知关于x的一元二次方程x2+2x+2-m=0.①
(1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(2)请你利用
(1)所得的结论,任取m的一个数值代入方程①,并用配方法求出此方程的两个实数根.
4、(汕头)(02汕头市)如果关于x的方程x2+(2k-3)x+k2-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和。
求;
(1)K的值;
(2)方程的两个实数根的平方和
5、(黑龙江)是否存在这样的非负整数m。
使关于x的一元二次方程
有两个实数根,若存在。
请求出m的值;
若不存在,请说明理由。
6、(十堰)已知方程组
⑴当m取何值时,方程组有两个不相同的实数解;
⑵若x1、y1;
x2、y2是方程组的两个不同的实数解,且︱x1-x2︱=
︱y1y2︱,求m的值。
7、(宁夏)先从括号内①②③④备选项中选出合适的一项,填在横线上,将题目补充完整后再解答(第1小题3分,第2小题5分).
(1)如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根,并且a≠0,求的值.
(①ab②
③a+b④a-b
(2)已知7x2+5y2=12xy,并且xy≠0,求的值.
(①xy②
③x+y④x-y)
8、(包头)(02包头市)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)的两个实数根,且
(m≠0,n≠0).
(1)试求用m和n表示
的式子;
(2)是否存在实数m和n,满足
使
成立,若存在求出m和n的值;
若不存在说明理由。
9、(三明)(02三明市)这是一位学生编制的初中数学练习题:
“x1、x2是方程x2-2x+2=0的两个实数根,求
的值”。
另一位初三学生的解答是:
“∵x1+x2=x1x2=2,∴
=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×
2=0”
⑴针对练习题和解答的正误作出判决,再简要说明理由;
⑵只对原练习题的方程进行变式,其它条件不变,改求的值。
四、应用题:
1、(宁夏)(02宁夏)应用题(下列题目只要求设出未知数,列出方程或方程组,不要求解)
(1)为加快西部大开发,我区决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程.如果甲工程队单独施工,则刚好如期完成;
如果乙工程队单独施工,就要超过6个月才能完成.现在由甲、乙两队先共同施工4个月,剩下的由乙队单独施工,则刚好如期完成.问原来规定修好这条公路需多长时间?
(2)甲、乙两车分别自A、B两地出发,相向而行。
相遇于C点时,甲车比乙车多走108千米;
相遇后,甲车再经过9小时到达B地,乙车再经过16小时到达A地.求甲、乙两车的速度.
2、(包头)列方程或方程组解应用题
(02包头市)某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元.在进行市场调查后,为了促销降低了定价,使得每套运动衣少获利润10元,结果销售比计划增加了400套,总利润比计划多得了4000元.问实际销售运动衣多少套?
每套运动衣实际利润多少元?
3、(漳州)为赴韩国观看中国足球队参加世界杯比赛,8名球迷分别乘坐两辆小汽车一起赶入飞机场.其中一辆小汽车在距机场15千米的地方出了故障,此时,距规定到达机场的时间仅剩42分钟,但唯一可以使用的交通工具只有一辆小汽车,连司机在内限乘坐5人.这辆汽车分两批送这8人去机场,平均速度60千米/时.现拟两种方案,问是否都能使8名球迷在规定的时间内赶到机场?
(1)小汽车送走第一批人后,第二批人在原地等待汽车返回接送;
(2)小汽车送走第一批人的同时,第二批人以5千米/时的平均速度往机场方向步行,等途中遇返回的汽车时上车前行.
4、(汕头)“水是生命之源”,我市自来水供水公司为鼓励企业节约用水,按以下规定收取水费:
如果用户每月用水不超过40吨,那么每吨水按1元收费;
如果用户每月用水超过40吨,那么超过部分按每吨1.5元收费.另外,每吨用水加收0.2元的城市污水处理费.市自来水供水公司收费处规定用户每两个月交一次用水费用(注:
用水费用:
水费+城市污水处理费).
某企业每月用水超过40吨,已知今
年三、四两个月一共缴交用水费用640元.问:
该企业三、四两个月共用水多少吨?
这两个月平均水费每吨多少元?
5、(泰州)请根据所给方程
,联系生活实际,编写一道应用题。
(要求题目完整,题意清楚,不要求解方程)________________________________________________________________________________________
五、综合题:
1、(济南)在等腰三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,已知a=3,b和c是关于x的方程x2十mx十2-
m=0的两个实数根,求△ABC的周长.
2、(盐城)由于乱砍伐等人为因素,1990~2000年的10年时间里,全世界森林面积呈直线下降趋势,其图象如下图所示,请根据图中所给的数据:
(1)算出这10年内全世界森林面积平均每年减少多少亿公顷;
(2)写出这10年内全世界每年的森林面积S(亿公顷)与年份X之间的函数关系式;
(3)若这10年内全世界每年砍伐的与每年增加的(指自然增加及植树)森林面积均不变,且每年砍伐面积是每年增加面积的3倍少0.01亿公顷,问这10年内世界每年砍伐的森林面积为多少亿公顷?
3、(河北)如图12,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P沿AB边从A开始向点B以2
的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1
的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QPAC的面积;
提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与⊿ABC相似?
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