高中数学用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2用二分法求方程的近似解
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解.本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系;它既是本册书中的重点内容,又是对函数知识的拓展,既体现了函数在解方程中的重要应用,同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础,因此决定了它的重要地位.
二、学生学习情况分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系,初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题.
三、设计思想
倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式;注重提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识;与时俱进地认识“双基”,强调数学的内在本质,注意适度形式化;在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值;注重信息技术与数学课程的合理整合.
四、教学目标
1.理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的一种方法;利用信息技术辅助教学,让学生用计算器验证求方程近似值的过程;
2.体会二分法的思想与方法,使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法;让学生了解近似逼近思想,培养学生探究问题的能力、创新的能力;
3.体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法;感受通过迂回的方法使问题得到解决。
五、教学重点:
二分法的原理及其探究过程;用二分法求方程的近似解。
六、教学难点:
对二分法原理的探究,对精确度、近似值的理解。
七、教学方法:
探究式教学法
八、教学过程
(一)复习回顾,提出问题
已知方程
(1)判断方程实数根的个数
(2)方程根的范围是
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D(2,3)
学生回答做题方法,考察的什么知识点?
进一步提问:
此方程的根到底是多少?
快乐猜猜猜:
游戏规则:
某掌上电脑的价格在600—3000元之间,猜测它的价格,每次猜后老师会给出“高了”还是“低了”的提示,在10秒内且误差不超过5元时算猜对。
并思考:
如何猜才能最快猜出商品价格?
[学情预设]学生独立思考,可能出现的以下解决方法:
思路1:
直接乱猜一个可能在超市或者商场见过的价格.
思路2:
通过先找中点,缩小范围,再找剩下来一半的中点.
老师从思路2引导入手用动态演示给出解决问题方法
思考1:
老师给高了还是低了的提示有什么作用?
1800是不是基本上位于这个价格区间中间的位置?
这个时候我说低了,那么原来这个区间600-3000这个区间长度是不是由原来的2400天缩短为1200?
区间猜测的范围是不是缩小了?
再猜测2400,我说高了,那是不是区间又由原来的1800-3000缩短为1800-2400?
在猜2100,我说低了,那是不是区间就变为了2100-2400?
所以我们接下来就可以猜测2250
思考2:
误差不超过5元,怎么理解?
误差不超过5元时算猜对,实际上作用是什么?
控制误差,这个误差在我们数学上叫做精确度,我们把整个的区间长度规定为精确度,这个度精确度越来越小,我们猜测的过程体现了两种思想,第一种思想是越来越逼近于价格的真实值,另一种是精确度可以控制我的猜测次数。
这个问题能不能抽离它的实际背景,把它放到数学问题中来?
思考3:
如何猜才能更快猜出商品价格?
最大限度地缩小价格区间范围,快速猜出商品价格。
由此引出二分法中将区间一分为二的思想。
问题1:
如何求方程的解?
求方程的解也就是求它对应的函数的零点。
现在我想让大家求出这个函数的精确零点,或者这个函数对应的方程的精确的根,但是很可惜大家用现有的方法无法解出它的精确的零点。
因此类比刚刚猜价格这个想法,让它逼近精确的零点。
我们就会想到求这个函数所对应方程的近似解。
问题2:
你能进一步缩小函数零点范围吗?
要把一开始所确定的(0,1)这个区间逐步逐步的缩小,让这个区间缩小后是的这个近似解越来越靠近精确解。
那么,如何来缩小这个区间呢?
回想刚刚猜价格的过程。
我们要不断缩小(0,1)这个区间使它逐步逼近方程精确的解。
取区间的中点。
猜价格时我说高了、低了,在区间端点处都标记了大小,这个大小,实际上对应了我价格的正负,请大家计算区间中点处的函数值,并函数值的正负。
也就是每次取中点以后我们是不是都要计算中点的函数值。
通过看中点处函数值的符号判断零点在中点左侧区间还是右侧区间。
我们知道,函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解,利用上节课学过的函数零点存在的条件,我们用逐步逼近的方法,来求方程的近似值。
零点所在的区间不断缩小,那么这个缩小的过程是不是要永无止境的进行下去?
我们要如何终止这个区间的缩小过程?
思考:
给定精确度=0.1,区间缩小到什么时候为止?
零点所在的区间不断缩小,那么这个缩小的过程是不是要永无止境的进行下去?
我们要如何终止这个区间的缩小过程?
重复上面的过程,在有限次重复相同步骤后,零点所在区间长度在一定精度控制范围内,零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值.
(二)师生探究,构建新知
二分法定义:
对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
例题:
给定精确度0.1,求零点在近似值?
利用上节课学过的函数零点存在的条件,我们用逐步逼近的方法,来求方程的近似解.(因为计算难度大,老师只让学生掌握思路,计算可以直接给出)
(1)在区间(2,3)内,方程有解,取区间(2,3)中点2.5;
(2)用计算器计算,因为,所以零点在区间内;
(3)再取区间中点2.75,用计算器计算,因为,所以零点在区间内.
(4)再取区间中点2.625,用计算器计算,因为<0,所以零点在区间内.
(5)再取区间中点2.5625,用计算器计算,因为,所以零点在区间内.
本例中,把取中点和判断零点的过程,用表格列出
当精确度为0.1时,由于,所以,我们可将作为函数零点的近似值,也即方程根的近似值.
能否根据刚刚求方程近似解的步骤总结用二分法求函数零点近似值的步骤?
给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤:
1)确定区间,验证,给定精确度;
2)求区间的中点;
3)计算;
(1)若,则就是函数的零点;
(2)若,则令(此时零点);
(3)若,则令(此时零点).
4)判断:
区间长度是否达到精确度?
即若,则得到零点近似值;否则重复2——5.
口诀:
定区间,找中点,中值计算两边看;
零点落在异号间,区间长度缩一半;
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
(三)例题剖析,巩固新知
练1.不用计算器,求的近似值(精确度0.1)
练2、用二分法求函数y=f(x)在内零点近似值的过程中得到f
(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则函数的零点落在区间()
A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)D.不能确定
练3、下列函数的图像中,其中不能用二分法求解其零点的是()
ABCD
(2)课堂小结
1.知识上
(1)什么是二分法?
具有什么特点的函数适合用二分法求其零点的近似解?
(2)给定精确度,利用二分法求方程近似解的步骤
2.数学思想上
本节课运用了哪些数学思想方法?
(五)课后作业
P119练习4-1A组1,2
学情分析
高一学生对函数知识的主要印象是抽象的,他们最想问的问题可能就是“函数知识有什么用?
”所以尽管他们经历了初中和高一前期对函数的学习后,具备了一定的抽象理解能力,但在数学应用意识和应用能力方面仍然有待提高;同时,计算能力和准确表述解答过程的能力也需要进一步加强。
这些都是进行本课教学必须考虑到的学生因素。
所以,在教法上,本堂课安排了温故知新——创设情境——尝试探究——合作交流——解决问题——揭示新知——归纳总结——现学现用等环节.整堂课围绕数形结合,逼近,划归的数学思想方法这一主题来展开.在学法上,本设计主要应用构建主义的数学教学理念,引导认知主体积极参与到探究、发现、讨论、交流的学习活动中去,使课堂教学成为学生亲自参与的数学教学场所,注重教师的指导性和学生的探究性.
效果分析
本节课从学生已知的知识入手,让学生在游戏中检验数学的应用价值,体味数学的兴趣性,激发学生学习数学的兴趣,从中发现二分法的实质与过程,加深了学生对二分法思想的理解并掌握了用二分法求方程近似解的步骤,学生在课上能积极的思考并回答问题,学会了用二分法处理问题的思路和过程,让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化处理问题的思想;掌握了二分法作为求方程近似解的方法及其表示。
突破了用二分法求方程的近似解的一般步骤的归纳和概括及精确度概念的理解这个难点。
教材分析
《用二分法求方程的近似解》是必修一第三章《函数与方程》第一节的内容,体现了本套教材的数学应用意识。
所以,数学应用意识的培养与数学思想的渗透是本章教学的重要任务。
本课“承前”是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸,“启后”是渗透近似思想、逼近思想和程序化算法思想的重要内容,同时,本课为高二所要学习的必修二《程序框图和算法思想》奠定了必要的基础。
通过用二分法求方程的近似解,体现函数的零点-----与方程的根之间的关系,让学生学会用二分法求方程的近似解.
通过建立函数模型--------以及运用模型解决问题,体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性.
要求学生根据具体函数的图像,借助计算器用-----二分法求相应方程的近似解,沟通了函数、方程、不等式等高中知识,体现了二分法的工具性和实用性,同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想.
二分法是一个重要的数学思想方法,至少蕴涵着三个思想:
1、数学结合思想,2、逼近的思想,3函数与方程的思想。
近似思想是数学应用的一个重要的指导思想,在很多时候,我们只需要给定精度的近似值,而且利用二分法,在理论上我们可以无限“逼近”任意精度下的解,从而使得误差任意小,-----另外,二分法具有明显的程序化特征,可以让学生提前感受程序化处理问题的过程,这是算法的重要思想。
从上述意义上说,本课是一节重要的课,在本章教学中具有不可替代的地位。
评测练习
一、选择题
1下列函数中能用二分法求零点的是( )
2.设函数y=与y=的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
3.方程2x-1+x=5的解所在的区间是( )
A(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
4.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.( )
A.(0,0.5) f(0.25)B.(0,1) f(0.25)
C.(0.5,1) f(0.25)D.(0,0.5) f(0.125)
二、填空题
6.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为________________(精确度为0.1).
7.用二分法求方程-5=0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.
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