名师一号B版数学理全解全析文档格式.docx
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答案
(1)D
(2)(,+∞)
【例2】 解析
(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,
所以m=3或m=.
若m=3,则A={1,3,},B={1,3},满足A∪B=A.
若m=,则m=0或m=1.当m=0时,A={1,3,0},B={1,0},满足A∪B=A;
当m=1时,A={1,3,1},B={1,1},不满足集合中元素的互异性,舍去.
综上,m=0或m=3.应选B.
(2)当B=∅时,只需2a>
a+3,即a>
3;
当B≠∅时,根据题意作出如右图所示的数轴,可得
或解得a<
-4或2<
a≤3.
综上可得,实数a的取值范围为a<
-4或a>
2.
答案
(1)B
(2){a|a<
2}
变式思考2 解析
(1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,
∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},
∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)由log2x≤2,得0<
x≤4,
即A={x|0<
x≤4},而B=(-∞,a),
由于A⊆B,如右图所示,则a>
4,则c=4.
答案
(1)D
(2)4
【例3】 解析
(1)∵A=,
当a=-4时,B={x|-2<
x<
2},
∴A∩B=,A∪B={x|-2<
x≤3}.
(2)∁RA=,当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA.
①当B=∅,即a≥0时,满足B⊆∁RA;
②当B≠∅,即a<
0时,B={x|-<
},要使B⊆∁RA,需≤,解得-≤a<
0.
综上可得,实数a的取值范围是a≥-.
变式思考3 解析
(1)集合A={x|x>
2或x<
0},所以A∪B={x|x>
0}∪{x|-<
}=R,选择B.
(2)由题意可知,集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以∁RB={x|x<
2或x>
4},此时A∩∁RB={x|0≤x<
4},故选C.
答案
(1)B
(2)C
自主体验
1.解析 本题在给出新的运算法则的前提下,考查学生的运算求解能力.在B选项中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故B项正确;
在C选项中,将a*(b*a)=b中的a换成b,即得b*(b*b)=b成立,故C项正确;
在D选项中,令a*b=c,则c*(b*c)=b成立,故D项正确;
只有A选项不能恒成立.
答案 A
2.解析 本题考查归纳推理,集合的性质,
若(x,y,z)∈S,则令M:
x,y,z,x,y,z,…,则M中任意三个连续的数组成的元素均在集合S中;
同理,由(z,w,x)∈S,知令N:
z,w,x,z,w,x,z,w,x,…,则N中任意三个连续的数组成的元素均在集合S中;
则令Q:
x,y,z,w,x,y,z,w,…,则Q中任意四个连续的数中的任意三个数(顺序不变)组成的元素在集合S内,由此分析,知选B.
第二节 命题与量词、基本逻辑联结词
1.判断真假
2.所有 全称量词 ∀x∈M,p(x) 有一个 有些 至少有一个 存在量词 ∃x∈M,q(x)
3.∃x∈A,綈p(x) ∀x∈A,綈q(x)
4.真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真
1.解析 由真值表知,綈q是真命题,故选D.
答案 D
2.解析 全称命题的否定是存在性命题,“sinx≤1”的否定是“sinx>
1”,故选C.
3.解析 “p∨q”为真,则命题p、q中至少有一个为真,“p∧q”为假,则命题p、q中至少有一个为假,则“p∨q为真,p∧q为假”的充要条件是“p、q中有且只有一个为真”.
4.答案 所有的三角形都不是等边三角形
5.解析 ∃x0∈R,2x-3ax0+9<
0为假命题,则∀x∈R,2x2-3ax+9≥0恒成立,有Δ=9a2-72≤0,解得-2≤a≤2.
答案 [-2,2]
【例1】 解析 由f′(x)=(2x-2-x)′=ln2[2x+()x]>
0知,命题p1是真命题,綈p1是假命题;
g′(x)=(2x+2-x)′=ln2[2x-()x],当x∈(0,+∞)时,g′(x)>
0,故命题p2是假命题,綈p2是真命题,从而命题q1、q4是真命题,故选C.
变式思考1 解析 因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;
因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题,綈q为真命题,故选D.
【例2】 解析 对于A,an+1-an=a(n+1)+b-(an+b)=a,a是常数.A项正确;
对于B,∀x∈(-∞,0),2x>
3x,B不正确;
对于C,易知3x≠0,因此C项正确;
对于D,注意到lg1=0,因此D项正确.
变式思考2 解析
(1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>
0,即x2+2>
0.所以命题“∀x∈R,x2+2>
0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立,所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<
1,所以命题“∃x∈Z,x3<
1”是真命题.
(4)由于使x2=3成立的数只有±
,而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.
(5)假命题,因为只有x>
1时满足.
(6)假命题,因为不存在一个实数x使x2+1=0成立.
答案
(1)真
(2)假 (3)真 (4)假 (5)假 (6)假
【例3】 解
(1)綈p:
∃x∈R,x2-x+<
0,假命题.
(2)綈q:
至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3)綈r:
∀x∈R,x2+2x+2>
0,真命题.
(4)綈s:
∀x∈R,x3+1≠0,假命题.
变式思考3 解析
(1)全称命题的否定为存在性命题,故选D.
(2)已知此命题是一个存在性命题,根据存在性命题的否定形式,可知其否定是一个全称命题,然后把“ex>
x”改为“ex≤x”即得答案.
答案
(1)D
(2)C
1.解析 由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图象知Δ=a2-4>
0,解得a>
2或a<
-2.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
2.解 若p是真命题,则0<
1,
若q是真命题,则ymin>
1,又ymin=2a,∴2a>
∴q为真命题时a>
;
又∵p∨q为真,p∧q为假,∴p与q一真一假.
若p真q假,则0<
a≤;
若p假q真,则a≥1.
故a的取值范围为0<
a≤或a≥1.
第二节 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.
(1)充分条件 必要条件
(2)充要条件
2.
(1)若q,则p 若綈p,则綈q 若綈q,则綈p
(2)①相同 ②无关
1.解析 逆命题只需将原命题的条件与结论交换即可.
2.解析 “x+y是偶数”的否定为“x+y不是偶数”,“x,y都是偶数”的否定为“x,y不都是偶数”.因此其逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”,故选C.
3.解析 由A⊆B,得A∩B=A;
反过来,由A∩B=A,且A∩B⊆B,得A⊆B.因此,A⊆B是A∩B=A成立的充要条件.
4.解析 原命题的条件:
在△ABC中,∠C=90°
,
结论:
∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.
即“在△ABC中,若∠C≠90°
,则∠A、∠B不都是锐角”.
答案 “在△ABC中,若∠C≠90°
,则∠A、∠B不都是锐角”
5.解析 ①由2>
-3/⇒22>
(-3)2知,该命题为假;
②由a2>
b2⇒|a|2>
|b|2⇒|a|>
|b|知,该命题为真;
③a>
b⇒a+c>
b+c,又a+c>
b+c⇒a>
b,∴“a>
b”是“a+c>
b+c”的充要条件为真命题.
答案 ②③
【例1】 解析 ①中否命题为“若a=0,则ab=0”,正确;
②中逆命题不正确;
③中,Δ=1+4m,当m>
0时,Δ>
0,原命题正确,故其逆否命题正确;
④中原命题正确故逆否命题正确.
变式思考1 解析
(1)原命题与逆否命题等价,而原命题为真,所以逆否命题为真命题.原命题的逆命题为:
若y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数.显然此命题为假.
又∵逆命题与否命题同真假,∴否命题为假.
(2)①的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题;
②的否命题为“不全等的三角形面积不相等”,为假命题;
在③中,逆否命题与原命题同真假,易知原命题为真,则其逆否命题也为真命题,故③为真命题;
④的逆命题为“三个内角相等的三角形不是等边三角形”,为假命题.故填①③.
答案
(1)C
(2)①③
【例2】 解析 当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,则曲线y=-sin2x过坐标原点,所以“φ=π”⇒“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”;
当φ=2π时,y=sin(2x+2π)=sin2x,则曲线y=sin2x过坐标原点,所以曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点⇒/φ=π,所以“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件,故选A.
变式思考2 解析
(1)由题可知q⇒綈p,而綈p/⇒q等价于p⇒綈q,但綈q/⇒p.故p是綈q的充分不必要条件.选A.
(2)由题意得A∪B={x∈R|x<
0或x>
2},C={x∈R|x<
2},故A∪B=C,则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.
答案
(1)A
(2)C
【例3】 解 由题意p:
-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5.
∴綈p:
1或x>
5.又∵q:
m-1≤x≤m+1,
∴綈q:
m-1或x>
m+1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件,
∴∴2≤m≤4.
变式思考3 解析
(1)设q,p表示的范围为集合A,B
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
因为q是p的充分条件,则有A⊆B,
则所以-1≤a≤6.
(2)∵4x+m<
0,∴x<
-,∴p:
-.
∵x2-x-2>
-1或x>
2.∴q:
∵p⇒q,∴-≤-1,∴m≥4.
即m的取值范围是[4,+∞).
答案
(1)-1≤a≤6
(2)[4,+∞)
1.解析 本题考查原命题的否命题的写法.“a+b+c=3”的否定是“a+b+c≠3”,“a2+b2+c2≥3”的否定是“a2+b2+c2<
3”.原命题是“若p,则q”,则其否命题是“若綈p,则綈q”,故命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
3”.
2.解析 “x,y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是x+y>
2,因为若x,y都不大于1,则x+y>
2不成立.但是x,y中至少有一个数大于1,不一定有x+y>
2,如x=4,y=-8,则x+y=-4,故选B.
第二章 函数、导数及其应用
第一节 函数及其表示
1.
(1)非空 唯一 x
(2)自变量 函数值 {y|y=f(x),x∈A} (3)定义域 对应法则 值域
2.任意 有一个且仅有一个元素 A→B 定义域 值域
3.不同的对应法则
1.解析 f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7.
2.解析 f(3)=,f(f(3))=2+1=.
3.解析 B中一个x对应两个函数值,不符合函数定义.
4.解析 对于函数①②,M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应,对于函数③,M中的-1,2,4在N中没有象与之对应,故选D.
5.解析 f[g
(1)]=f(3)=1.
x
1
2
3
f[g(x)]
g[f(x)]
故f[g(x)]>g[f(x)]的解为x=2.
答案 1 2
【例1】 解析
(1)由函数的定义知①正确.②中满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.③中y=2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点,所以③不正确.④中f(x)与g(x)的定义域不同,∴④也不正确.故选A.
(2)对于①,当0∈A时,y=0∉B,故①所给的对应法则不是A到B的映射,当然它不是A上的函数关系;
对于②,当2∈A时,y=∉B,故②所给的对应法则不是A到B的映射,当然它不是A上的函数关系;
对于③,对于A中的任一个数,按照对应法则,在B中都有唯一元素0和它对应,故③所给的对应法则是A到B的映射,这两个数集之间的关系是集合A上的函数关系.
答案
(1)A
(2)B
变式思考1 解析
(1)选项A,B中,定义域不同,选项C中,对应法则不同,只有选项D中的两个函数的三要素相同.故选D.
(2)由函数定义可知,自变量x对应唯一的y值,所以③④错误,①②正确.
答案
(1)D
(2)①②
【例2】 解析
(1)令t=+1,则x=,
∴f(t)=lg,即f(x)=lg.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,
f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
即2ax+a+b=x-1,
∴即
∴f(x)=x2-x+2.
(3)∵f(x)+2f()=x,∴f()+2f(x)=.
解方程组得f(x)=-(x≠0).
变式思考2 解
(1)令t=+1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴f(x)=x2-1(x≥1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又f(0)=c=3.
∴f(x)=ax2+bx+3,
∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴∴
∴f(x)=x2-x+3.
【例3】 解析
(1)由于f
(1)=12,所以3·
(t-1)1=12,解得t=5.
于是f(-)=log2[(-)2+1]=2,因此f(f(-))=f
(2)=3×
42=48,故选B.
(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象如右图,令f(x1)=f(x2)=f(x3)=a,则由题意知f(x)=a有三个不相等的实根x1,x2,x3,即函数f(x)的图象与直线y=a的图象有三个交点,由图象可以看出,只有当2<
4时,两个图象才有三个交点.这时不妨设x1<
x2<
x3,则一定有x2+x3=4,且-1<
x1<
0,于是3<
x1+x2+x3<
4,即x1+x2+x3的取值范围是(3,4).
答案
(1)B
(2)(3,4)
变式思考3 解析
(1)由题意得f()=log3=-2,
f(f())=f(-2)=2-2=.
(2)当x≤1时,令3x=2,解得x=log32;
当x>
1时,令-x=2,解得x=-2,与x>
1矛盾,舍去.
故x的值为log32.
答案
(1)B
(2)log32
1.解析 依题意有f=f+1=f+2
=cos+2=,
f=cos=cos=-,
所以f+f=1,故选D.
2.解析 当x∈(-∞,1]时,函数值域为;
当x∈(1,+∞)时,值域为(0,+∞).因为f(x)=∈(0,+∞),所以x∈(1,+∞),所以log81x=,x=81=3.故选B.
第二节 函数的定义域与值域
1.
(1)不等于零
(2)大于或等于0 (3)R (4)R (5)(0,+∞) (6){x|x≠0}
2.
(1)R
(2){y|y≥} {y|y≤} (3){y|y≠0} (4){y|y>0} (5)R
1.解析 f(x)=的定义域M即1-x2≥0的解集,故M={x|-1≤x≤1}.由补集的运算知∁RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).
2.解析 画出图象可求值域.
3.解析 ∵x2+2≥2,∴0<
≤.∴0<
y≤.
4.解析 由得x≥4且x≠5.
答案 {x|x≥4且x≠5}
5.解析 ∵有意义,∴x≥0.
又y=x2+3x-5=2--5,
∴当x=0时,ymin=-5.
答案 [-5,+∞)
【例1】 解析
(1)由已知得
∴∴x≥,∴f(x)的定义域为.
(2)A={x|x≠1},y=f[f(x)],∴x≠1,且f(x)≠1,故B={x|x≠1且x≠0}.∴BA,故A∩B=B,选D.
答案
(1)
(2)D
变式思考1 解
(1)要使该函数有意义,需要
则有解得-3<
0或2<
3,
所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).
(2)∵函数f(x)的定义域是[-1,1],
∴-1≤x≤1,∴-1≤log2x≤1,∴≤x≤2.
故f(log2x)的定义域为.
【例2】 解析
(1)由3+2x-x2≥0得函数定义域为[-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.
∴t∈[0,4],∈[0,2],从而ymin=2(当x=1时);
ymax=4(当x=-1或x=3时).故值域为[2,4].
(2)方法1:
令=t(t≥0),则x=.
∴y=1-t2-t=-2+.
∵二次函数对称轴为t=-,
∴在[0,+∞)上,y=-2+是减函数.
故ymax=-2+=1,
故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].
方法2:
∵y=2x与y=-均为定义域上的增函数,故y=2x-是定义域为{x|x≤}上的增函数,故ymax=2×
-=1,无最小值.
故函数的值域为(-∞,1].
(3)方法1:
∵函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x<0时的最值.
∴当x>0时,y=x+≥2=4,
等号当且仅当x=2时取得;
当x<0时,y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值.
任取x1,x2,且x1<x2,Δx=x2-x1>0,
因为Δy=f(x2)-f(x1)
=x2+-
=.
所以当x≤-2或x≥2时,f(x)递增;
当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.
故x=-2时,f(x)极大值=f(-2)=-4,
x=2时,f(x)极小值=f
(2)=4,
所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值.
(4)由y=,得3x=.
∵3x>0,∴>0,∴0<y<1.
∴原函数的值域为(0,1),无最值.
变式思考2 解
(1)方法1:
(分离常数法)
y==-1+,
∵x2≥0,∴x2+1≥1,∴0<
≤2.
∴-1<
-1+≤1.
即函数值域为(-1,1].
(反解法)
由y=,得x2=.
∵x2≥0,∴≥0.
y≤1,即函数值域为(-1,1].
(2)(配方法)y=,
∴0≤y≤,∴值域为[0,].
(3)由y=x++1(x≠0),得y-1=x+.
∵=|x|+≥2=2,
∴|y-1|≥2,即y≤-1或y≥3.
故函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)
(4)考虑函数单调性,由解得0≤x≤6,
即函数的定义域为[0,6].
因为函数y=-在[0,6]上单调递增,
所以ymin=-,在x=0处取得;
ymax=2,在x=6处取得,
故函数的值域为[-,2].
【例3】 解
(1)方程f(x)=x,即ax2+bx=x,
亦即ax2+(b-1)x=0,
由方程有两个相等的实根,得Δ=(b-1)2-4a×
0=0,
∴b=1.
由f
(2)=0,得4a+2b=0.
由①、②得,a=-,b=1,
故f(x)=-x2+x.
(2)假设存在实数m、n满足条件,由
(1)知,
f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤,
则2n≤,即n≤.
∵f(x)=-(x-1)2+的对称轴为x=1,
∴当n≤时,f(x)在[m,n]上为增函数.
于是有即
∴又m<
n≤,∴
故存在实数m=-2,n=0,使f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n].
变式思考3 解 f(x)=x2-4ax+2a+6=(x-2a)2+2a+6-4a2.
(1)∵函数值域为[0,+∞),∴2a+6-4a2=0.
解得a=-1或a=.
(2)∵函数值域为非负数集,∴2a+6-4a2≥0.
即2a2-a-3≤0,解得-1≤a≤.
∴f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+)2+.
∴f(a)在[-1,]上单调递减.∴-≤f(a)≤4.
即f(a)值域为[-,4].
1.解析 f(x)=
由图象知函数的值域为.
2.解析 根据绝对值的意义,
y==
在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,
当0<
k<
1或1<
4时有两个交点.
答案 (0,1)∪(1,4)
第三节 函数的单调性
1.
(1)f(x1)<
f(x2) f(x1)>
f(x2) 逐渐上升 逐渐下降
(2)增函数 减函数 区间D
1.解析 结合函数的图象易知选D.
2.解析 由2k+1<
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- 名师 一号 学理 全解全析
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