中考数学专题练习压轴题专项PDF 无答案Word文件下载.docx
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△BCD
3.如图,矩形OCDE的三个顶点的坐标分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在
DE上,以A为顶点的抛物线经过点C,且对称轴x=1交x轴于点B,连结EC、AC,点P、Q为动点,设运动时间为t秒.
(2)在图①中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个
点到达终点时,另一个点随之停止运动,当t为何值时,△PCQ为直角三角形;
(3)在图
②中,若点P在对称轴上从点A向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P作PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连结AQ、CQ,当t为
何值时,△ACQ的面积最大,并求这个最大值.
4.如图,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动时间为t秒,△PBQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并求S的最大值;
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在一点K,使得
S△CBK:
S△PBQ=5:
2,若存在,求点K的坐标,若不存在,请说明理由.
知识点2.割补法求多边形的面积问题:
例2.如图,抛物线y=1x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛
物线的对称轴交x轴于点D,A(-1,0),C(0,2).
(2)在抛物线上的对称轴上是否存在点P,使得△PCD
是以CD为腰的等腰三角形,若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大,并求这个最大面积及此时点
E的坐标.
5.如图,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从点O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动,过点P作
PQ垂直直线OA于Q,设点P移动的时间为t(0<
t<
2)秒,△OPQ的与四边形
OABC的重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式和顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;
(3)若将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°
,是
否存在这样的t,使得旋转之后的△OPQ的顶点O或顶点Q在
(1)中抛物线上,若存在,求t的值;
(4)求S与t的函数关系式.
6.如图,抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于C(0,-3).
(1)设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M,求四边形ABMC的面积;
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使得四边形ABCD的面积最大,若存在,求出点D的坐标;
(3)在抛物线y=x2-2x+k上求一点Q,
使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.
知识点3.同底或同高的面积之比问题:
例3.如图,二次函数的图象过点O(0,0),A(4,0),B(2,-4
3
3),点M是OA
的中点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设P是抛物线上的一点,过点P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q,要使得四边形PQAM为菱形,求点P的坐标;
(3)将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,得到曲线OB'
A,B'
是B关于
x轴的对称点,在原抛物线x轴的上方部分取一点C,连结CM,CM与翻折后的曲线OB'
A交于点D,若△CDA面积是△MDA面积的2倍,求点C的坐标.
7.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).
(2)若点P在抛物线上运动,如图1,当△PBC的面积与△ABC面积相等时,求点P的坐标;
(3)若点P在抛物线上运动,如图2,当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式.
知识点4.三角形相似求面积问题:
例4.如图,二次函数y=ax2+bx(a>
0)的图象与反比例函数y=k的图象相交于A、B两
x
点,A(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3.
(1)求实数k的值;
(2)求二次函数的解析式;
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为D,点E为线段OD上的动点,过E作EF//OB交BD于F,连结BE,设OE的长为m,
△BEF的面积为S,求S与m的函数关系式,并求S的最大值及此时点E的坐标.
8.如图,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为
B(0,3),顶点为C,对称轴为x=1.
(2)若点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,
求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m(0<
m<
3)个单位长度得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,求S关于m的函数关系式.
9.在直角坐标系中,放置一个如图1的Rt△OAB,∠OAB=90︒,OB=2,∠AOB
=30︒,二次函数y=ax2+bx+3a图象的顶点为B,且与x轴交于点C.
(1)求二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)如图1,若点P是y轴上的动点,在二次函数的图象上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点Q的坐标;
(3)如图2,点
D是线段OB上的一个动点,过点D作直线DE⊥OB交y轴正半轴于点E,将
△AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠,设OD=t,折叠后与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并求S的最大值.
二次函数与直角三角形
知识点1.利用k值确定直角:
例1.如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标M(0,-1),与x轴交于A、B两点.
(2)试判断△MAB的形状,并说明理由;
(3)过原点任意作直线(不与y轴重合)交抛物线于CD两点,连结MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,
并说明理由.
1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(0.5,2.5)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(2)是否存在这样的点P,使得线段PC的长有最大值,若存在,
求这个最大值;
若不存在,请说明理由;
(3)是否存在这样的点P,使得△PAC是直角三角形,若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
2.如图,点B(-1,0),OA=OC=4OB,动点P在过A、B、C三点的抛物线上.
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,若存在,求点P的坐标;
(3)过动点P作PE⊥y轴于点E,
交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连结EF,当线段EF的长度最短时,求点P的坐标.
3.如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0),B(6,0),与y轴的交点是C.
(2)设P(x,y)(0<
x<
6)是抛物线上的动点,过点P作PQ//y
轴交直线BC于点Q,当x取何值时,线段PQ的长度取得最大值,并求这个最大值;
(3)在
(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得△OAQ为直角三角形,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
4.如图,分别以菱形BCDE的对角线BE、CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
抛物线y=ax2-6ax-16a(a<
0)过B、C两点,与x轴的负半轴交于点A,且满足
∠ACB=90︒,点P是x轴上的一动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作直线l⊥x轴,交抛物线于点Q.
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l交BD于点M,请用含
m的代数式表示四边形CQBM的面积S,并求S的最大值及此时点P的坐标;
(3)当点P
在线段EB上运动时,是否存在点Q,使得△BDQ为直角三角形,若存在,求点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过
点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合一条封
闭曲线称为“蛋线”,且C(0,-1.5),点M在抛物线C2:
y=mx2-2mx-3m(m<
0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面
积最大值,若存在,求点P的坐标;
(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.
知识点2.直角三角形的唯一性与最值问题:
例2.如图,抛物线y=x2+(k-1)x-k交于A、B两点,点A在B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,求A、B的坐标;
(2)在
(1)的条件下,点P是抛物线上的一动点,且在直线AB的下方,求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛
物线y=x2+(k-1)x+k(k>
0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧),在直线
y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90︒,若存在,请求处此时k的值;
6.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90︒,A(20,0),B(8,16),C(20,25).
(1)AB=,BC=;
(2)点P从点A出发,沿A→B→C的方向匀速运动,同时点Q从点D(0,10)出发,沿y轴正方向以相同的速度运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当点P在AB上运动时,△OPQ的面积S与
时间t之间的函数关系图象为抛物线的一部分,如图2.
①写出P从A运动到点C所需的时间为;
②当点P在AB上运动时,求S与t之间的函数关系式,并求当S取得最大值时,点P的坐标;
③在点P沿A→B→C运动的
过程中,是否存在点P使得∠OPQ=90︒,若有,请求出t的值;
知识点3.垂直问题:
例3.如图,在⊙C的内接△AOB中,
AB=AO=4,tan∠AOB=3,抛物线
4
y=ax2+bx经过点A(4,0)和点(-2,6).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)直线m与⊙C相切于点A,交y轴于点D,动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;
同时点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动,点P的运动速度为每秒1个单位,点Q的运动速度为每秒2个单位,
当PQ⊥AD时,求运动时间t的值;
(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.
7.如图,抛物线的顶点坐标为原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,且AD//x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B(2,1),异于点O的动点P(a,b)在抛物线上
运动,过点P作直线CB的垂线,垂足为点R.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:
PF=PR;
(3)是否存在这样的点P,使得△PFR
为等边三角形,若存在,求点P的坐标;
(4)延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作直线BC的垂线,垂足为S,试判断△RSF的形状,并说明理由.
8.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平
面直角坐标系,抛物线y=-1x2+7x+4经过A、B两点.
22
(1)A的坐标为,B的坐标为;
(2)若一条与y轴重合的直
线l以每秒2个单位长度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连结PA、PB,设直线l移动的时间为t(0<
4)秒,求四边形PBCA的面积S与t的函数
关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得△PAM是直角三角形,若存在,请求出点P的坐标;
9.如图,已知抛物线y=-1x2+bx+c图象经过A(-1,0),B(4,0)两点.
(2)若C(m,m-1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段
AB上的一个动点,且不与A、B重合,过点D作分别作DE//BC交AC于E,DF//AC交BC于F,求证:
四边形DECF是矩形;
(3)在
(2)的条件下,连结EF,线段EF是否存在最小值,若存在,求出EF的最小值;
二次函数与等腰三角形
知识点1.动点在直线上的等腰三角形存在性问题:
例1.如图,抛物线y=x2-(m+n)x+mn(m>
n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧),与y轴交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两
侧,点C的坐标为(0,-1),求∠ACB的度数;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
知识点2.动点在抛物线上的等腰三角形存在性问题:
例2.如图,经过点A(0,-6)的抛物线y=1x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),
C两点.
(1)求此抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(2)将
(1)中求得的抛物线向左平移1个单位长度,再向上平移m(m>
0)个单位长度得到新抛物线y1,若新抛物线y1的顶点P在
△ABC内,求m的取值范围;
(3)在
(2)的结论下,新抛物线y1上是否存在点Q,使得
△QAB是以AB为底边的等腰三角形,并写出m的取值范围.
1.如图,平行四边形ABCO的顶点A(-2,0),B(0,4),抛物线y=-x2+mx+n经过点A和点C.
(2)该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分,对称轴左侧部分的图形记为S1,右侧部分图形面积为S2,求S1:
S2的值;
(3)在y轴上取一点D,
坐标为0,,将直线OC沿x轴平移到O'
C'
,点D关于直线O'
的对称点记为D'
,
ç
⎪
⎝2⎭
当点D'
恰好在抛物线上时,求此时点D'
坐标和直线O'
的函数解析式.
知识点3.两个动点的等腰三角形存在性问题:
例3.二次函数的图象的顶点在原点O,经过点A(2,1),点F(0,1)在y轴上,直线y=-1与y轴交于点H.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在抛物线的图象上,过点P作x轴的垂线与直线y=-1
交于点M,求证:
FM平分∠OFP;
(3)在
(2)的条件下,当△FPM是等边三角形时,求点P的坐标.
3.如图,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动(点P异于点O),过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R.
PF=PR;
(3)是否存在点P,使得△PFR为等边三角形?
若存在,求出点P的坐标;
(4)延长PF交抛物线于另一点
Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为S,试判断△RSF的形状.
知识点4.“两边一夹角”型的等腰三角形存在性问题:
例4.如图,矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,3),动点P从
O点出发在线段OA上以每秒2个单位长度的速度向终点A运动,设运动时间为t秒.
(1)若在动点P从O点出发的同时,有一动点Q从A点出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,动点P停止时,点Q也随之停止,请问在运动过程中,当t为何值时,CP⊥PQ;
(2)在点P的运动过程中,是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请求出此时t的值和对应的点P的坐标;
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90︒,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D,点P从点
D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,速度都是每秒1个单位长度,当点P运动到点C时,两点都停止,设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式,并确定在运动
过程中,是否存在某一时刻t,使得S△CPQ:
S△ABC=9:
100,若存在,求t的值;
若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形.
7.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90︒,BC=4,AC=8,点D为AB的中点,DE⊥AB
交AC于点E.
(1)求AE的长;
(2)如图2,点P从点B出发以每秒1个单位长度向点C运动,同时点
Q从点C出发以每秒2个单位长度向点A运动,设运动时间为t秒,①在P、Q运动过程
中,四边形CPDQ的面积是否发生变化,并说明理由;
②当t为何值时,△DEQ为等腰三角形.
知识点5.三个动点的等腰三角形存在性问题:
例5.如图,在四边形ABCO中,BC//x轴,OA=OC=4,以直线x=1为对称轴的抛物线过A、B、C三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G,在
四边形ABCO的一边上取一点P,①当m=0时,如图1,点P为抛物线的对称轴与BC的交点,过点P作PH⊥l于点H,连结OP,求△OPH的面积;
②当m=-3时,如图2,过点P作x轴、直线l的垂线,垂足为点E、F,是否存在这样的点P,使得以P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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