竞赛奖学金分配问题的优化模型Word下载.docx
- 文档编号:21606026
- 上传时间:2023-01-31
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:99.52KB
竞赛奖学金分配问题的优化模型Word下载.docx
《竞赛奖学金分配问题的优化模型Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《竞赛奖学金分配问题的优化模型Word下载.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
关键词:
Q值法比值法目标函数法奖学金、助学金分配问题
一、问题重述
2010年数信学院各类奖学金、助学金的总数与金额如下表:
名称
国家奖学金
励志奖学金
A等助学金
B等助学金
C等助学金
金额(元)
8000
5000
2000
3000
4000
名额(人)
1
21
27
54
数信学院具有评优条件的各专业人数如下表:
数学与应用数学
信息与计算科学
信息管理
07级
071011
071021
071022
071031
34
30
29
53
08级
081011
081012
081021
081022
081031
081032
32
33
09级
091031
091032
091021
091022
091033
23
24
28
26
请根据以上情况建立合理的数学模型解决以下问题:
(1)不考虑国家奖学金的分配,请根据各个专业的人数与各奖金金额大小确定分配方案,使分配方案尽量公平合理。
(2)不考虑国家奖学金的分配,请根据各个班级的人数与奖学金金额大小确定分配方案,使分配方案尽量公平合理。
(3)考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配,请确定分配方案。
二、问题分析
(一)问题1的分析
问题1的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下,将剩下的奖金与名额分配给各专业。
求解出问题1便能大体上将各专业分配所得名额的总体情况给出,从而有利于问题2的求解。
问题1属于典型的席位分配问题,对于解决此类问题我们采取最大Q值法进行求解和分析。
(二)问题2的分析
问题2的要求是在不考虑国家奖学金的分配的前提下,将剩下的奖金与名额分配给各个班。
该问题与问题1类似,只是分配工作具体到了每个班。
求解出此问题会使得分配结果更加清晰明朗,从而让分配工作顺利进行。
在求解问题二时,假设问题1中的求解结果公平,再用Q值法将各专业所得的名额及金额分配给各班,即可得到问题2分配的结果。
(三)问题3的分析
问题3要求考虑国家奖学金与其他奖学金一起分配。
由于国家奖学金的金额数目较大,且只有一个名额。
故无论将这个名额给哪个专业,都会造成该专业对另两个专业的不公平度在金额分配上大大增加。
由于考虑到实际分配执行过程中学校是将国家级奖学金分配给待评选人中综合素质最高的学生,故分配情况有三种可能。
三、模型假设
1.假设题目所给的数据真实可靠;
2.假设各专业都具有符合各评选条件的学生;
3.假设所有的相对不公平度最小时,便视为分配结果公平;
4.假设上文求解的结果对下文都可以利用且视为真实可靠的;
5.假设各专业都有可能具有获得国家奖学金的的学生。
四、定义与符号说明
序号
符号
符号定义
代表
的总人数
2
所分配到的名额
3
4
5
代表待分配的总人数
6
代表各方总人数之和
7
代表未分配完的名额
五、模型的建立与求解
5.1问题一最大Q值法模型
5.1.1最大Q值法模型的建立过程:
用Q值法来衡量是否公平是基于这样一条原则:
如果两个数相同,那么它们的比值是零。
即如果两个数相等,它们的比值是1。
即如果
,则
。
并且上述比值越大,对
来说,这种分配方案就越不公平。
用
作为衡量
不公平的值。
假定把名额给
,计算
的不公平程度,然后假定把名额给
的不公平程度。
我们的分配方案将使不公平程度最低。
在这种情况下,当
时,
获得额外名额。
做一下简化,我们可得到:
当
记:
,则把名额分配给Q大的一方。
将该方法推广到n个专业的名额分配情况。
设各专业分配的人数
已经确定,当再增加1名额时,计算各专业的Q值。
其中Q值为:
将该名额分配给Q值最大的一方,这样可使造成的不公平程度最小。
5.1.2相对公平度评判标准:
设各专业分配的名额为
,则各专业名额代表的人数为
,平均每个名额代表的人数为
对每个专业来说,尽量的使
与
接近。
因此有:
若分配后,将结果代入上式能使Z值最小,则认为该分配方案是相对公平的。
5.1.3模型求解:
首先将总金额和总名额分开考虑,用最大Q值法分给各专业,用MATLAB求解(程序见附录),整理数据得到下表:
(表一)
专业
分配
数应
信计
信管
总名额数(人)
37
44
48
总金额数(¥)
122000
146000
161000
其次,按各类奖项名额分别利用Q值法模型分给三个专业(求解程序见附录),则各专业所分配的名额及奖金,整理后如下表所述:
(表二)
种类
励志奖学金名额
A等助学金名额
B等助学金名额
C等助学金名额
奖金总数(¥)
8
16
38
126000
9
18
43
143000
10
20
160000
对比表一与表二,发现两个表格中各专业所分到的总名额数及奖金总数有差别,即表二中信计总名额数比表一中少一个,金额也少3000元;
而与之对应的数应却多一个名额,奖金也多4000元。
又根据公平度评判标准可知道,将表一中总名额数和总金额数数据代入公式运算(求解见附录)得:
Z=0.2800362E-03同理,表二中对应数据代入求得:
Z=0.2830362E-03。
因此,可知按表一中数据分配相对更公平。
所以对表二中不同种类奖助学名额进行人为调整,使得表二中总名额数和总金额数与表一中一样,这样可以保证分配给各专业总名额数和总金额数相对公平,而不同种类奖项分配也有一定公平度。
人为调整具体是:
从表二中很容易发现只要数应给信计一个B等助学金的名额,三个专业的总名额数就能达到相对公平,再对比表一与表二的总金额数就可知,数应拿一个C等助学金名额与信管换一个B等助学金名额即可使三个专业奖金总数达到相对公平。
整理数据得出下表:
(表三)
15
19
11
如此调整之后,表格三中各专业分得的总名额及总奖金数据便与表一中的数据一致,即可以认为我们的分配方案是相对公平的。
5.2问题二比例法模型
5.2.1比例法分配模型的一般数学表达式:
设各班级分得名额的小数部分为:
,尚未分配完的名额为:
,则将
个尚未分配完的名额依次分给小数部分最大的班级。
即比例法的思想就是按比例分配给各班级名额及奖金。
5.2.2模型求解:
我们按比值法的思想来编写求解程序(程序见附录),将表三中数应专业的名额及奖金具体分配到各班,求解得到分配结果整理如下表所示:
(表四)
种类班级
091011
091012
总名额(人)
总金额(¥)
34000
26000
17000
20000
同时,我们再用Q值法求解问题二中各班级分配应得的总名额数与总金额数,得到数据整理后如下表所示:
(表五)
总额班级
28000
25000
19000
通过比较表四和表五的数据,两表中总名额与总金额相差较大。
通过评判标准Z值比较,发现代入表五中总名额和总金额数据时比代入表四中对应数据时Z值更小,说明按表五中数据分配相对更公平一点。
因此,在保持总名额和总金额与表五中一致的前提下,使用与模型一中相同的方法,对表四中的数据进行人为调整,由此可得出数应的分配结果如下表所示:
(表六)
24000
同理可得信计与信管的分配结果分别为表七和表八所示:
(表七)
种类
班级
27000
260000
班级
13
43000
23000
210000
(表八)
5.3问题三目标函数法模型
5.3.1目标函数法模型的建立:
因此,目标函数为:
满足的约束
,
取整,i=1,2,3,…,n。
且各
取整数。
5.3.2目标函数法模型的求解:
对模型进行lingo编程求解可知道:
1、当输入总名额p=130时,目标函数值为Z=0.4261468E-03;
专业分得的名额为:
x1=37,x2=44,x3=49
2、当输入总金额p=437时,目标函数值为Z=0.8734697E-05;
专业分得的金额为:
x1=125,x2=148,x3=164
所以即有分配情况如下表九所示:
(表九)
49
金额(¥)
125
148
164
由于问题一已经分配出了除特等奖以外的名额和奖金,所以通过对表一与表九的数据对比我们可以知道加入特等奖之后的分配相当于只是信管增加一个名额,而其他两个专业名额并没有变化,再由问题一分配数据为依据(如下表十所示),可以进行假设讨论特种奖的分配可能性。
(表十)
123000
如果将特等奖分给信管专业,通过对数据的调整就有如下表所示:
特等奖
125000
148000
164000
如果将特等奖分给信计专业,同理可以对数据调整后如下表所示:
14
如果特等奖分给数应专业,同理可以对数据调整后如下表所示:
六、问题的三种数学模型的比较
6.1模型的优点分析
模型一中,通过采用最大Q值法,将总金额和总名额分别分配给三个专业,通过公平度标准评判发现这样可以保证总金额数和总名额数分配给三个专业是相对比较公平的,也与问题一的要求很吻合,这就使得我们在接下来的具体各种奖学金与助学金名额分配上可以进行人为调整而对结果影响不大增加了说服力。
即使某一种奖学金名额分配存在问题,但是我们总能保证其大的前提合理即分配给各专业的总金额与总名额是相对公平合理的。
模型二与模型三均用到模型一的思维,即都先控制总的金额与名额相对公平,然后再进行进一步的分配,这样也就使得分配方在总的分配利益上是相对公平。
与此同时我们在分配具体奖金种类名额时采用了人为对调的方法,具有一定的创新;
同时也使得分配结果更加合理,与现实实际情况能够吻合。
这也加大了本模型的可信度。
通过模型结果的分析,我们发现模型的结果还是比较符合实际情况的,说明该模型具有一定的科学合理性和参考价值。
6.2模型的缺点分析:
虽然我们采取的方法相对比较科学,但是我们的模型求解结果还是不完善的,在模型一中我们在具体分配不同种类奖金时就存在不科学性,观察程序分配后的数据发现在份额越小的情况下,相差较少人数的不同专业可能分到的名额却具有较大的差异,这也充分的说明了,该模型的灵敏度比较大,所以程序求解的结果具有的说服力有限。
再者我们在分配结果中进行人为的对调不同奖金的名额以达到总名额与总金额相对更加公平,这只适合数据量较小且所分配数据较小的模型求解,具有较强的局限性。
模型二与模型三中都是利用了模型一的结果数据作为基础,这就说明在模型二、三中存在理想化,即假设模型一所求得的数据是完全可靠的,这就使得模型的说服力大大降低,偶然性增大,在不同的数据下稳定性差。
本文中所有模型虽然都采用较科学的席位分配模型中的Q值法和目标函数法等数学研究方法,但是这些方法并不能同时满足一个模型,所以还需要继续完善的和寻找更加科学合理的数学分配方法。
七、模型评价与推广
7.1模型的评价:
本文主要研究的是对奖学金与助学金的分配问题。
由于涉及各专业甚至各班的利益问题,所以要求所定的分配公平度评判标准值Z尽可能小即才能使大家更好地接受。
因此本文采用了数学建模中通用的公平席位分配模型加以改进,充分利用比例法和最大Q值法并结合MATLAB和LINGO等数学软件的优越运算功能进行求解,相对而言模型求出的结果还是比较科学合理,对现实情况的解决具有一定的参考意义。
与此同时本文中还结合实际对求解的结果进行了人为的小幅度调整使之不但更加合理,而且更加贴近实际。
7.2模型的推广:
在现实生活中,我们常常会遇到一些对资源难以分配的问题,比如本文的奖学金分配问题。
由于不同年级的人数不一样,每年新招的新生也不一样,这样每年都需要制定奖学金的分配方案,即便制定了较为合理的分配方案,但还是会有人抱怨分配对他们不公平,为什么他们班的名额就比其他班级少几个而人数却相差无几。
诸如此类问题在我们生活中比比皆是,像会议席位的合理分配、人员升迁名额合理分配等问题都或多或少具有一定的争议。
本文就我们院奖学金、助学金分配问题进行建模研究。
在本文中,所建模型由于是基于公平席位分配模型加以改进得到了的,所以它具有一定地科学依据,通过结果与实际对比发现相差无几,因此本模型对我院奖学金、助学金分配有一定的参考性。
同样该模型也适应于我们现实生活中实际问题的解决,比如会议席位的合理分配、人员升迁名额合理分配等或多或少具有一定争议性的问题。
该模型在现实生活中解决一些简单的分配问题是具有一定参考价值的,在分配思路和方法上都具有一定的借鉴意义。
参考文献
[1]谢金星、薛毅、优化模型与LINGO/LINGO软件[M].北京:
清华大学出版社;
[2]岳林,关于Q值法的一种新定义[J]系统工程199513(4):
70-72;
[3]华勇,实用数学建模与软件应用第1版.西北工业大学出版社,2008;
[4]姜启源,数学模型第3版.高等教育出版社,2003;
[5]徐玖平、胡知能、李军,运筹学(II类),北京:
科学出版社,2004。
[6]IshizukaY,AiyoshiE.Doublepenaltymethodforbileveloptimizationproblems.AnnalsofOperationsResearch,24:
73-88,1992。
附件
模型一的求解程序:
clc;
clear
a=[149,177,196];
%各专业人数
n=length(a);
p=input('
输入名额的总数'
)%需要输入的数值是37与123
S=sum(a);
%总人数
x=ones(1,n);
Q=zeros(1,n);
%各专业初始名额数
L=sum(x);
while(L<
p)%知道所有名额分配完为止
fori=1:
n
Q(i)=a(i)^2/(x(i)*(x(i)+1));
%计算各单位的Q值
end
[u,k]=max(Q);
%求最大Q值和相对应单位k
x(k)=x(k)+1;
L=L+1;
%已分配名额加1
fprintf('
各专业分配名额:
'
)
fprintf('
%2d\n'
x(i));
\n'
);
公平度评判:
model:
sets:
depart/1..3/:
a,x;
endsets
data:
a=37,44,48;
p=130;
enddata
s=@sum(depart(i):
a(i));
min=@sum(depart(i):
(a(i)/x(i)-s/p)^2);
@sum(depart(i):
x(i))=p;
@for(depart(i):
@gin(x(i)));
End
运行结果:
①Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2800362E-03
Objectivebound:
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
7
Totalsolveriterations:
715
②Localoptimalsolutionfound.
0.2830362E-03
696
模型二的求解程序:
(一)clc;
a=[3432302330]
A=a/149
m=37*A
j=123*A
LZ=6*A
ZA=8*A
ZB=15*A
ZC=8*A
sum(fix(LZ))
sum(fix(ZA))
sum(fix(ZB))
sum(fix(ZC))
sum(fix(m))
sum(fix(j))
(二)clc;
a=[3432302330];
%各专业
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 竞赛 奖学金 分配 问题 优化 模型