初三上第一次月考数学试1Word下载.docx
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11.同一坐标系中,抛物线y=(x﹣a)2与直线y=a+ax的图象可能是( )
二、填空:
(每小题4分,共24分)
12.若(m﹣2)x|m|=5是一元二次方程,则m的值为 .
13.若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0,则k= .
14.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 .
15.若x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则x12+x22= .
16.已知二次函数y=ax|a﹣1|+3在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则a= .
17.如图,在平面直角坐标系中,点A1是以原点O为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x轴的直线l1的一个交点;
点A2是以原点O为圆心,半径为3的圆与过点(0,2)且平行于x轴的直线l2的一个交点;
…按照这样的规律进行下去,点A12的坐标为 .
三、解答题(每小题10分,共20分)
18.选择适当方法解下列方程.
(1)x2﹣5x﹣6=0
(2)(3x+2)2=4(x﹣3)2.
19.用规定方法解下列方程.
(1)4x2﹣8x+1=0(配方法)
(2)x2﹣2x﹣1=0(用公式法)
四、解答题.(每题7分,共14分)
20.已知抛物线y=ax2经过点A(﹣2,﹣8).
(1)求此抛物线的函数解析式;
(2)判断点B(﹣1,﹣4)是否在此抛物线上;
(3)求出抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标.
21.扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
五、解答题
22.已知二次函数的图象经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(1,2)三点,求函数解析式.
23.阅读材料:
解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将x2﹣1视为一个整体,然后设x2﹣l=y,则(x2﹣1)2=y2,原方程化为y2﹣5y+4=0.①
解得y1=1,y2=4
当y=1时,x2﹣1=1.∴x2=2.∴x=±
;
当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±
.
∴原方程的解为x1=
,x2=﹣
,x3=
,x4=﹣
根据上面的解答,解决下面的问题:
(1)填空:
在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想.
(2)解方程:
x4﹣x2﹣12=0.
24.设a,b,c是△ABC的三边长,关于x的方程
有两个相等的实数根,方程3cx+2b=2a的根为0.
(1)求证:
△ABC为等边三角形;
(2)若a,b为方程x2+mx﹣3m=0的两根,求m的值.
25.如图,抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)求抛物线的对称轴及k的值;
(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;
(3)点M是抛物线上的一动点,且在第三象限.
①当M点运动到何处时,△AMB的面积最大?
求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标;
②当M点运动到何处时,四边形AMCB的面积最大?
求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标.
九年级(上)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
【考点】一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断.
【解答】解:
A、由2x2+3=2x(5+x)得到:
10x﹣3=0,不是一元二次方程,故本选项错误;
B、当a=0时,ax2+c=0不是一元二次方程,故本选项错误;
C、当a+1=0时,(a+1)x2+6x+1=0不是一元二次方程,故本选项错误;
D、由a2+1>0知(a2+1)x2﹣3x+1=0是一元二次方程,故本选项正确;
故选:
D.
【考点】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】在方程左边两项中都含有公因式x,所以可用提公因式法.
直接因式分解得x(x﹣5)=0,
解得x1=0,x2=5.
C.
【考点】解一元二次方程-因式分解法;
三角形三边关系.
【分析】把方程左边因式分解得到(x﹣10)(x﹣2)=0,再把方程化为两个一元一次方程x﹣10=0或x﹣2=0,解得x1=10,x2=2,根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10,
然后计算三角形的周长.
x2﹣12x+20=0,
∴(x﹣10)(x﹣2)=0,
∴x﹣10=0或x﹣2=0,
∴x1=10,x2=2,
而三角形两边的长分别是8和6,
∵2+6=8,不符合三角形三边关系,x=2舍去,
∴x=10,即三角形第三边的长为10,
∴三角形的周长=10+6+8=24.
故选A.
【考点】一元二次方程的一般形式.
【分析】常数项为0,即m2﹣4=0,再根据方程是一元二次方程,须满足m﹣2≠0,问题可求.
由题意,得:
m2﹣4=0,
解得m=±
2.
又m﹣2≠0,即m≠2,
故m=﹣2.
故选B.
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【分析】先得到二月份的营业额,三月份的营业额,等量关系为:
一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800,把相关数值代入即可.
∵一月份的营业额为100万元,平均每月增长率为x,
∴二月份的营业额为100×
(1+x),
∴三月份的营业额为100×
(1+x)×
(1+x)=100×
(1+x)2,
∴可列方程为100+100×
(1+x)+100×
(1+x)2=800,
故选D.
【考点】根的判别式.
【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,那么分两种情况:
(1)当a﹣5=0时,方程一定有实数根;
(2)当a﹣5≠0时,方程成为一元二次方程,利用判别式即可求出a的取值范围.
分类讨论:
①当a﹣5=0即a=5时,方程变为﹣4x﹣1=0,此时方程一定有实数根;
②当a﹣5≠0即a≠5时,
∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4(a﹣5)≥0,
∴a≥1.
∴a的取值范围为a≥1.
【考点】配方法的应用;
非负数的性质:
偶次方.
【分析】根据完全平方公式,将x2﹣5x+8转化为完全平方的形式,再进一步判断.
x2﹣5x+8=x2﹣5x+
+
=(x﹣
)2+
,
任意实数的平方都是非负数,其最小值是0,
所以(x﹣
的最小值是
故多项式x2﹣5x+8的值是一个正数,
B.
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】确定出平移前的抛物线的顶点坐标,然后根据向右平移横坐标加,向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可.
抛物线y=
x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),
∵向右平移一个单位,再向下平移2个单位,
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(1,﹣3),
∴得到的抛物线的解析式为y=
(x﹣1)2﹣3.
【考点】二次函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据函数解析式的特点为顶点式,其对称轴为x=1,图象开口向上;
利用y随x的增大而增大,可判断y1<y2,根据二次函数图象的对称性可判断y3>y2;
于是y3>y2>y1.
A(
,y1),B(2,y2)在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,
因为
<2,故y1<y2,
根据二次函数图象的对称性可知,C(﹣
,y3)中,|﹣
﹣1|>|2﹣1|,故有y3>y2;
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于所给数据都是正数,所以当对称轴在y轴的右侧时,比较点A和点B到对称轴的距离可得到h<4.
∵抛物线的对称轴为直线x=h,
∴当对称轴在y轴的右侧时,A(0,2)到对称轴的距离比B(8,3)到对称轴的距离小,
∴x=h<4.
【考点】二次函数的图象;
一次函数的图象.
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.
A、由一次函数y=a+ax的图象可得:
a<0或a>0,此时二次函数y=(x﹣a)2的顶点(a,0),a<0,矛盾,故错误;
B、由一次函数y=a+ax的图象可得:
a<0,此时二次函数y=(x﹣a)2的顶点(a,0),a>0,矛盾,故错误;
C、由一次函数y=a+ax的图象可得:
D、由一次函数y=a+ax的图象可得:
a>0,此时二次函数y=(x﹣a)2的顶点(a,0),a>0,故正确;
12.若(m﹣2)x|m|=5是一元二次方程,则m的值为 ﹣2 .
【分析】依据一元二次方程的定义可得到|m|=2,然后再依据二次项系数不零可确定出m的值.
∵(m﹣2)x|m|=5是一元二次方程,
∴m﹣2≠0,|m|=2.
解得:
m=﹣2.
故答案为:
﹣2.
13.若关于x的方程x2+2x+k﹣1=0的一个根是0,则k= 1 .
【考点】根与系数的关系.
【分析】欲求k的值,将该方程的已知根0代入两根之积公式即可求出k值.
设方程的另一根为x1,
又∵x2+2x+k﹣1=0的一个根是0,
∴x1•0=k﹣1,
解得k=1.
14.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+2)2+b=0的解是 x3=﹣4,x4=﹣1 .
【考点】一元二次方程的解.
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体,相当于前面一个方程中的x求解.
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1,(a,m,b均为常数,a≠0),
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0,即此方程中x+2=﹣2或x+2=1,
解得x=﹣4或x=﹣1.
x3=﹣4,x4=﹣1.
15.若x1、x2是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根,则x12+x22= 16 .
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2,x1•x2=﹣6,再变形x12+x22得到(x1+x2)2﹣2x1•x2,然后利用代入计算即可.
∵一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根是x1、x2,
∴x1+x2=﹣2,x1•x2=﹣6,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=(﹣2)2﹣2×
(﹣6)=16.
16.
16.已知二次函数y=ax|a﹣1|+3在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则a= 3 .
【考点】二次函数图象与系数的关系;
二次函数的定义.
【分析】由二次函数的定义可求得a的值,再利用增减性对a的值进行取舍,可求得答案.
由二次函数定义可得|a﹣1|=2,解得a=3或a=﹣1,
∵二次函数在对称轴左侧y随x的增大而增大,
∴抛物线开口向上,
∴a>0,
∴a=3,
3.
…按照这样的规律进行下去,点A12的坐标为 (5,12) .
【考点】规律型:
点的坐标.
【分析】根据题意,可以首先求得A1(
,1),A2(
,2),A3(
,3).根据这些具体值,不难发现:
An的纵坐标是n,横坐标是
∵点A1是以原点O为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x轴的直线l1的一个交点,
∴A1的纵坐标为1,横坐标为:
=
,即A1(
,1);
同理可求:
A2(
,3)
∴根据这些具体值,得出规律:
.即An的坐标为(
,n),
当n=12时,A12的坐标为(5,12),
(5,12).
【分析】
(1)直接利用十字相乘法分解因式进而得出答案;
(2)直接利用因式分解法解方程得出答案.
(x+1)(x﹣6)=0,
x1=﹣1,x2=6,
[3x+2﹣2(x﹣3)][3x+2+2(x﹣3)]=0,
x1=﹣8,x2=
【考点】解一元二次方程-公式法;
解一元二次方程-配方法.
(1)将原式根据配方法的步骤配方求解可得;
(2)根据公式法解方程的步骤依次进行即可.
(1)4x2﹣8x+1=0,
4x2﹣8x=﹣1,
x2﹣2x=﹣
x2﹣2x+1=﹣
+1,即(x﹣1)2=
∴x﹣1=±
x=1±
x1=
,x2=
(2)∵a=1,b=﹣2,c=﹣1,
∴b2﹣4ac=8>0,
∴x=
=1±
∴x1=1+
,x2=1﹣
【考点】待定系数法求二次函数解析式;
二次函数图象上点的坐标特征.
(1)根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式,把A点坐标代入解析式得到关于a的方程,然后解方程即可.
(2)将x=﹣1代入抛物线的解析式,求出对应的y值即可判断;
(3)把y=﹣6代入抛物线的解析式,求出x的值,即可得到点的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2经过点A(﹣2,﹣8),
∴a•(﹣2)2=﹣8,
∴a=﹣2.
∴此抛物线的函数解析式为y=﹣2x2.
(2)把x=﹣1代入y=﹣2x2.得y=﹣2×
1=﹣2,
所以点B(﹣1,﹣4)不在此抛物线上;
(3)把y=﹣6代入y=﹣2x2得﹣6=﹣2x2,解得,x=±
所以纵坐标为﹣6的点的坐标为(
,﹣6)或(﹣
,﹣6).
【考点】二次函数的应用.
【分析】设菜园宽为x,则长为30﹣2x,由面积公式写出y与x的函数关系式,然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积,及取得最大面积时矩形的长和宽.
设矩形的宽为xm,面积为Sm2,根据题意得:
S=x(30﹣2x)
=﹣2x2+30x
=﹣2(x﹣7.5)2+112.5,
所以当x=7.5时,S最大,最大值为112.5.
30﹣2x=30﹣15=15.
故当矩形的长为15m,宽为7.5m时,矩形菜园的面积最大,最大面积为112.5m2.
【考点】待定系数法求二次函数解析式.
【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标,所以设交点式y=a(x﹣3)(x+1),然后把C点坐标代入求出a即可.
设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1),
把C(1,2)代入得a•(1﹣3)•(1+1)=2,解得a=﹣
所以抛物线解析式为y=﹣
(x﹣3)(x+1),即y=﹣
x2+x+
在由原方程得到方程①的过程中,利用 换元 法达到了降次的目的,体现了 换元 的数学思想.
【考点】换元法解一元二次方程;
解一元二次方程-因式分解法.
(1)根据题意可以解答本题;
(2)根据换元法可以解答此方程.
(1)由题意可得,
在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了将次的目的,体现了换元的数学思想,
换元、换元;
(2)x4﹣x2﹣12=0,
令a=x2,则原方程可化为:
a2﹣a﹣12=0,
解得,a=﹣3或a=4,
∴x2=﹣3(舍去),x2=4,
解得,x1=2,x2=﹣2,
故原方程的解是x1=2,x2=﹣2.
【考点】根的判别式;
根与系数的关系.
(1)由方程x2+2
x+2c﹣a=0有两个相等的实数根,根据判别式可得(2
)2﹣4(2c﹣a)=0,即可求得b+a=2c,又由方程3cx+2b=2a的根为0,可得a=b,则可证得a=b=c,即可得△ABC为等边三角形;
(2)由
(1)a=b,可得判别式m2﹣4×
(﹣3m)=0,即可求得m的值,又由a,b,c是△ABC的三边长,可得m≠0,即可得m=﹣12.
【解答】
(1)证明:
∵方程x2+2
x+2c﹣a=0有两个相等的实数根,
∴(2
)2﹣4(2c﹣a)=0,
∴b+a=2c,
∵方程3cx+2b=2a的根为0,
∴b=a,
∴b=a=c,
∴△ABC为等边三角形;
(2)解:
∵a,b为方程x2+mx﹣3m=0的两根,
又∵由
(1)a=b,
∴m2﹣4×
(﹣3m)=0,
∴m1=0,m2=﹣12.
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴m=﹣12.
【考点】二次函数综合题.
(1)由抛物线y=
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