高等数学同济第七版课后答案解析Word文档格式.docx
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A-»
2)-/E)=—^―-=—_^-TT—r>
°
,
I-^2I-Xl(I-Xj)(I-X2)所以/()?
)>
/(七),即/U)在(-x,1)内单调増加.
(2)y=/(x)=x+Inr.(0.+8).
设0<
%5.因为
/(x3)-/(xI)=x?
+Inx?
-X]-hiX,=x2-Tj+In=>
0,
xi
所以/(存)>
/(%),即/(W在(0,+ao)内单调增加.
公5・设/U)为定义在(-/./)内的荷函数.若/(X)在(01)内单调増加,证明/(#)在(-L0)内也单凋増加.
证设-/<
X,<
X2<
0,则0<
“2<
-A,<
/,由/(、)是哉函数,從/g)V(X|)=-/(-知)+f(-旳)■因为/Xx)在(OJ)内单调増加.所以y(-X!
)-/(-x2)>
0.从而/(旳)>
/(旳),即/(X〉在《・"
0)内也単调增加.
洎6.&
卜血所考虑的函救都是定义在区间U)上的.i止明:
(1)两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘枳是偶函数,两个奇函数的乘枳是偶函数,偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证
(1)设J|(X)./2(X)均为偶函数,则乂(-X)”('
),(-X)=6(x).今/⑴=/|(^)+/i(x),于是
F(-T)=/|(-X)+/2(F=/|(对+人(x)=F(x),
枚,(大)为偶函数.
设幻(T),&
2(愛)均为奇函数.则幻(-工)=-们(*),幻(-X)=-g2(■*)•令。
(])=g]())+&
《]),于是
G(-X)=X|(-X)+评2(-X)=■•幻(x)-&
2
(1)=f),
故c(x)为奇函数.
(2)设代3余3均为偶隣数,则4(F=/,(x)/2(-X)=/;
(%).令尸(人)=fl(x)'
f2(x).f是
戶(-X)=/,(-X)・£
(-》)=./|也)外(*)=/也).
故一(欠)为偶函数.
设们
(1),幻也)均为奇函数,则幻(-X)=-g,(^).g2(-X)=-幻
(1)・令G(x)=g|3),"
,).于是
C(-欠)=旳(-2・&
2(-大)=[-^^x)][-d2(x);
:
(z-x)“d(I)
血必汩卩群•源用晚曲丄河Z■■够阿者乔的巾獄因常區丄
埔密帆伽.(》)/二廿3=(宀)/%町二7^3=(D/I(9)
•麻狒用非X麻卵曲非却(*)/K1列・(*)/-■(、-)/日(x)/HE・)/
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(c+r)UI+1=』(g)
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Z
:
(0^^.p»
)_—=A(£
=<
(I)
麻地四印澹困脸4*・g
他=7Bf='
曝里面图書(£
•驟函曲留者文(r)
Z=7府風'
涂尝皓圍晋(£
W二EiBT牖围附剧晋(乙)
冊留.藤吏I®
烟舀(I)繩
*邱=4($)
谢备乌整更專一定
収V=rnax|IK1IJK2I|,则有
1/(*)IW虬xg
即/(*)在X上有界・
QU.在卜列各题中,求由所给两数构成的复合函数,并求这函数分别对应于给定白变最值%和勺的函数值:
TTIT
2>
7TTT
-8
=1+X2,X|=1,X2=2;
y=cMtu=,X|=0,电=1;
r=以2,h=e'
x
,入z=->
•
(1)y=»
in~x,>
|=!
,,2=j・
(2)y=sin2r.)j=马,无=1.
(3)y=\/1+>
。
|二二占.
(4)y=eA=I,y2二e.
(5)y=e2\y)=e\y,二eJ
%12,设/(«
)的定义域/>
=[0.1],求卜•列各函敎的定义域:
(1)/(/);
(2)/(sinx);
(3)/(x+a)(r?
>
0);
(4)/(a+«
)+/(.v-G)(t/>
0).
解(I)0w/<
|n顼
(2)0WsinxW1n、住!
2〃tt.(2〃+I)”]
(3)0Wi+“WlxeI-«
.I-«
/•
{OWx+oWl.■,c1
n当0时
OG-rxWl・
.1-知;
当时.定义域为。
1.Ixl<
1.
(),Ixl=1,青(x)*■,
-I,Ixl>
It
求/I"
*)]«
[/(*)].并作出这两个爾数的图形•
I.X<
0.
/(X)=
/Tg(x)l=/(eA)=
I
f.lxI<
1t1,1x1=1,
e-'
.Irl>
1.
,g*)]与的图形依次如图1-2.图1-3所示.
图I-2图1・3
^14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角步=40。
(图1-4).当过水断面應CO的面积为定值&
时,求湿周L(L=A8+RC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.
解M二彼二—乂
sin40
50=—/*[HC+(HC+2col40°
•/e)],
得
BC=単_col40。
・力,
n
所以
為2-cos40°
L=——+n.
hsin40°
'
而h>
0H^-cot40°
•A>
0,«
此湿周函数的定义域为(040。
).
由15.设x()y平面上冇正方形/)={(x,y)IOWjcW1,0WyWI}及f[线2:
x+y=£
N()).若S(〃表示正方形〃位于宜线,左下方部分的面积,试求SJ)与/之间的函数关系.
解当0i时.s(t)二!
F.
当IV,w2时,s(!
)=I-y(2-/)2=一£
f2+2/-1,
当/>
2HhS(f)=1.
放
5(。
一+2/-I,Icy2,
/>
2.
Q16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5°
C的等价华氏温度:
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的?
如果存在,那么该温度值是多少?
解设尸.其中叽/,均为常数.
因为〃=32。
相当于。
=。
/=212。
相当于C=100°
.所以
7"
*=槌
故〃=1.80+32或C=扌(F-32).
(1)F=90°
.C=刑90-32)52.2。
.
C=-5。
,F=1.Xx(-5)+32=23°
(2)设温度値,符合题意.则有
/=1.8/+32,I=-40.
即华氏-40。
恰好也是摄氏-40°
G17.已知RS4BC中,直角边AC.RC的长度分别为20、15.动点P成C出发.沿三魚形边界按CtHtA方向移动3动点Q从C出发,沿三角形边界按C方向移动,移动到两动点相遇时为止,且点Q移动的速度是点p移动的速度的2倍.设动点〃移动的距漑为xqg的而积为y.试求)与,之幻的函数关系.
解因为AC=20=15,所以,Ali=/^后IF=25.
Ih20<
2-15<
20・25可知,点P、Q在斜边AH上相讷.
令a+2%=15+20+25J!
;
x=20.即当x=2()时•点七。
相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I)当Ov—vIO时,点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
lIllCPI=xJC(M=2xJlf
(2)当1()W*WI5时,点〃在(/上.点。
在汕上(图1-6).
ICPI=x.14()1=2x-20.
设点()到。
的距髙为奴则
h丨I=45-2x
20=25=25,
WA=y(45-2x).故
y
74■
二如(45-2、)=-厅十+I8x.
(3)当!
5<
x<
20时,点户、。
都在网上(图1-7).
图1・5
K1-6
\PQ\=6()-3;
1时1=*-15,\A(J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/,则
L・
j=~IPyi•h'
=-18x*360.
0<
x<
10,
yx2+18.x.】0〈x<
15.
18xf360,15<
x<
20.
%IX
利用以卜美国人II普•在局提供的世:
界人口■据①以及指数模郴来推測I2020年的世界人口.
Iii県世界人界散懈是指何年」中的人口人.
年份
人口数(百万)
年増长率(凭)
2008
..-
6708.2
――-
1.166
2009
6786.4
1.140
2010
6863.8
1121
2011
6940.7
1.107
2012
7017.5
2013
7095.2
解由表中第3列,猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1%.于是,在2008年后的第?
年,tft界人口将是
P(/)=6708.2x(l.Oll)^百万).
2020年对应£
=12,于是
p(12)=6708.2x(1.011)”。
7649.3(百万)=76(亿).
即推测2020年的世界人口约为76亿.
数列的极限
习题]_2
收敛,命(-l)n—
—n
(3)
收敛,削(2+.)=2.
际1.下列任題中,哪些数列收敛.哪些数列发散?
对收敛数列.通过观察的变化趋势•写出它们的极限:
⑴偵卜
⑵{(f卜
(3){2+甘;
⑷{;
二卜
(5){〃(-1)”};
⑹&
卜
⑺{「+};
(8)卩(T)”+U甲}•
解⑴收敛好。
・
收敘,1而土4
(5)
n+1
|«
(-1)"
|发散.
(6)
-}发散.
收敛/mb丁=0.
(7){/1-
(8){[(U]辛)发散.
&
2.(I)数列的有界性是数列收敛的什么条件?
(2)无界数列是否一定发散?
(3)有羿数列是否一定收敛?
解(I)必要条件.
(2)一定发散.
(3)未必一定收敛,如数列t(-Dn!
有界,但它是发散的.
S3.卜•列关于数列M“的极限是"
的定义,哪些是对的,哪些是错的?
如果是对的,试说明理由;
如果是错的,试给岀一个反例.
(1)对于任意给定的£
〉0,存在NeN.,当〃〉A时,不等式%-a”成立;
(2)于任意给定的£
,存在,、‘gN,,当〃〉为时,有无穷多项七.使不等式1七-Ql<
£
成立;
(3)对于任恵给定的£
0,存在;
VeN,.^n>
/V时.不等式lxn-al成立,其中c为某个正涕数;
⑴对于任意给定的叭N,,存在鴨N.,当〃5时•不等式总5<
成立.
解(I)错误.如对数列{(-1)”+:
},“二1.対任给的£
0(设NC1),存在.N二
当n>
N时,(-I)"
4
〃-1M'
V&
但-1尸,二网极景不存在.
II
(2)错误.如对如列
刀,
“二2火-1,
keN..u=
N任给的,>
(设£
丨),存在海=[+],当11〉斤旦〃为偶数时,1%-nl=!
<
成立,(H|xn;
的极限不存在.
(3〉正确.对任给的£
0,取>
0,按假设,存在A住N,.当"
/¥
时.不
C
等式I-"
I<
C•—E二,成立・
(4)正确.对任给的£
0.取,“任N+.使丄<
£
.按假设,存在、EN■,当〃〉\m
时,不等式《
丄成立.ni
色•4・设数列|为」的一般项上=—cns三冋lim=?
求岀M使当〃〉N时宀与其nZ
极限之差的绝对值小于正数当£
=0.001时,求出敎A'
解limx„=0.证明如下:
因为
I…InlT1
I七-()1=—cos———•
”n2n
要使K-。
1<
、只要丄<
即〃A丄所以V>
0(不妨设£
\)9取N二丨!
[,则ncI£
J
当n时,就冇I叫-01<
e.
当6=0.ooi时,取n=|v]=1°
°
-即若£
=0-0。
1,只要〃>
1(剛,就有
0,-01<
0.001.
Q-5.根据数列极限的定义证明:
⑴略斗
(2)lim;
*—;
.则当〃>
、时.就有
取N
(2)因为
3”4I3
2771
3“*13
赤一]I2
八只要即
4/1
(3)lim妃土M=1:
(4)limO.999^9=I.
■••■A
证(I)因为要•使4-0=』<
,・只要〃〉丄,所以Vq0(不妨设^<
D.
V&
即lim—=0.
一〃・
3〃+1
27+1
注
由放大后的量小于8的不等式中求出.这在按定义证明做限的间放大是经常采用的.
(3)当«
=0时.所给数列为常数列,显然有此结论.以下设。
*0.因为
[招,则当〃〉A时.就有
所以戏>
0(不妨设£
土).取N=
......3h+丨3
,即lun厂一3=V
•・"
2w+12
本题中所釆用的证明方法是:
先将1%-al等价变形,然后适当放大,使'
容易
耍使
,.只要=<
.1!
卩〃所以V,>
0(不妨设&
2/r在[
取
则当〃Al时,就有
即lini/z±
z
■n
(4)因为0.蟬二9-1|二一;
•要使10.999^9-1|<
,,只妥亡<
八即
10;
t10
c,所以臨>
0(不妨没£
I).取N=[lg土"
则咨〃>
N时.就右10.竺二9-ll<
.即1血0.999-9=1.
洛飞.若lim"
=a.i(E明limI,"
=lai.并举例i兑明:
如果数列i1叫1}右极限,但数列|七丨未必有极限.
证因为limy="
所以仆>
0,3丹•当n>
.V时,有-al<
e,从而有
II"
-I"
11WI”刀-flI<
e.
但由limIunI=IaI.并不能推得limun=a.例如.考虑数列,(-1)"
虽
-1)"
=I.但1(・I)”}没冇极限.
ST7.设数列*」有界,又limy.xOjiE明:
1而七>
.=o.
•If・■—■
证因牧列]xnUi界做m材>
0.使得对一切〃有I七IWWV£
0.由于limyn=
,故对勺=宕>
,3位当“〉.、时,就有"
〈句二系从而有
*-°
1
Hrnxnyn=0.
匂*对于彼列JxJ.若札・L〃Ui证因为x2;
._,
W为尤隽
),无“—♦(J8).证明f).
f8),所以V,>
0,,当*>
知时,有I如.]-al<
e;
X
J8),所以对上述w>
0,3奶,当“奶时,有lxn-al〈&
〃=2&
-1.则
ic!
K=maxiA,tZ2|,取N=2K,则当〃〉N时,若
k>
K^—>
kl=^lxn=l*2SI-〃l《公,
若〃二2。
•则
lxn■"
I=lx2X■“I<
&
从而只要〃〉M就冇I七-aI<
即limxn=a.
函数的极限
习题1-3
1.对图1-8所示的函数/(X).求下列极限,如极限*存在.说明理由.
(1)
i-i
X/(
/(
(3)不存在,因为/(O'
Q2.对图1・9所示的函数/(«
).下列陈述中那些是对的.哪些是错的?
(1)Hm/(x)不存在:
-0
(2)lim/(x)=0;
(3)Hm/(x)=1:
(4)lim/(x)=0;
*•!
(5)lim/(x)不存在:
•>
(6)对每个xoe(-1,1),lirn/Cx)存在.
解(I)错,lim解尤)存在与否,与/(O)的偵无关.■实±
Jim/(x)=0.
(2)对,因为/(()'
)=/(0-)=0.
(3)lim/(x)的值与/(0)的值无关.
IX)
(4)错,/(L)=0,但/(I)=-1,故不存在.
・—1
(5)对,因为/(I"
)54/(1*).
(6)对.
际3.对图I-10所示的函数,下列陈述中哪些是对的,哪些進错的?
国I-10
(1)Hb./(x)=1;
—-1*
(2)lim/(x)不存在;
(3)=0:
i-0
(4)lim/(z)=1;
-•0
(5)lim/(x)=1;
■T
(6)lim/(x)=0;
—I*
(7)Iim/(z)=0:
1-2-
(8)limf(x)=0.
»
-2
解
(1)对.
(2)对,因为当x<
-I时,/S)无定义.
(3)对,因为/(()-)=/(0_)=0
(4)错』im/(x)的值4/(0)的值无关.
l・
(5)对.
(7)对.
(8)错,用为当x>
2时,/(对无定义,/(2*)不存在.
阪4.求/(.t)一:
*(*)二W当—。
时的左'
右扱限,井说明它们在,“时的极限是否存在.
解=lim—=lim1=1tlim/(x)=lirn—=lini1=1.
■-
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- 关 键 词:
- 高等数学 同济 第七 课后 答案 解析