第1章复变函数习题答案习题详细讲解.docx
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第1章复变函数习题答案习题详细讲解
第一章习题详解
1.求下列复数的实部与虚部,共轭复数、模与辐角:
1)
解:
实部:
虚部:
共轭复数:
模:
辐角:
2)
解:
实部:
虚部:
共轭复数:
模:
辐角:
3)
解:
实部:
虚部:
共轭复数:
模:
辐角:
4)
解:
实部:
虚部:
共轭复数:
模:
辐角:
2.当、等于什么实数时,等式成立?
解:
根据复数相等,即两个复数的实部和虚部分别相等。
有:
即、时,等式成立。
3.证明虚数单位有这样的性质:
证明:
4.证明
1)
证明:
设,则
2)
证明:
设,,则有:
3)
证明:
设,,则有:
4)
证明:
设,,则有:
5)
证明:
设,则有
6)
证明:
设,则
5.对任何是否成立?
如果是,就给出证明。
如果不是,对哪些值才成立?
解:
设,则有:
故当,即是实数时,成立。
6.当时,求的最大值,其中为正整数,为复数。
解:
即
的最大值是
7.判定下列命题的真假:
1)若为实常数,则;
解:
真命题。
因为实数的共轭复数就是它本身。
2)若为纯虚数,则;
解:
真命题。
设,则,显然。
3);
解:
假命题。
两个不全为实数的复数不能比较大小。
4)零的幅角是零
解:
假命题。
复数的幅角是任意的,也是无意义的。
5)仅存在一个数,使得;
解:
假命题。
有两个数,使成立。
6);
解:
假命题。
设有两个数,使不成立。
7)
解:
真命题。
8.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:
1)
解:
,
2)
解:
,
3)
解:
,
4)
解:
另:
另:
5)
解:
,
6)
解:
9.将下列坐标公式写成复数的形式:
1)平移公式:
解:
将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程,得:
即:
2)旋转公式:
解:
将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程,得:
10.一个复数乘以,它的模与辐角有何改变?
解:
设
即:
一个复数乘以,它的模不变,辐角减小。
11.证明:
,并说明其几何意义。
证明:
几何意义:
平行四边形的两条对角线的平方和等于它的相邻两边平方和的2倍。
12.证明下列各题:
1)任何有理分式函数可以化为的形式,其中与为具有实系数的与的有理分式函数;
证明:
设,则:
,
其中,,,,皆为关于的实系数多项式。
其中:
,
为具有实系数的关于的有理分式函数。
2)如果为1)中的有理分式函数,但具有实系数,那么;
证明:
因为为具有实系数的有理分式函数,所以
其中:
,
3)如果复数是实系数方程的根,那么也是它的根。
证明:
令
因为是方程的根,
又因为的系数为实数,
因此。
即也是方程的根。
即实系数多项式的复根必共轭成对出现。
13.如果,证明:
1)
证明:
2)
证明:
14.求下列各式的值:
1)
解:
2)
解:
3)
解:
即:
,,,,,
4)
解:
即:
,,
15.若,试求的值。
解:
16.
1)求方程的所有根;
解:
即:
,,
2)求微分方程的一般解。
解:
微分方程的特征方程为:
。
由前题得:
,,
微分方程有三个线性无关的特解:
,,
微分方程有三个线性实数特解:
,,
一般解为:
17.在平面上任意选一点,然后在复平面上画出下列各点的位置:
解:
18.已知两点与(或已知三点),问下列各点位于何处?
1);
解:
位于与连线的中点。
2),其中为实数;
解:
位于与连线上,其中。
3)。
解:
位于以,,为顶点的三角形的重心上。
19.设三点适合条件,。
证明:
是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
证明:
(方法一)
,位于以原点为圆心的单位圆上。
令,,
其中。
,,
或
同理可得:
或
分析:
如果,,则;如果,,则与矛盾。
。
同理。
是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
(方法二)
,位于以原点为圆心的单位圆上。
同理:
,。
于是
是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
(方法三)
,位于以原点为圆心的单位圆上。
是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
(方法四)
,位于以原点为圆心的单位圆上。
设
而
同理,
即同理,
是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
(方法五)
设,则是该方程的三个根。
而
,
所以是的三个根,即分别是复数的三次方根。
又因为,所以均匀地分布在单位圆上,即是接于单位圆的一个正三角形的顶点。
(方法六)
如右图所示:
所以为等边三角形。
同理可知为等边三角形,于是有:
同理,
,所以均匀地分布在单位圆上。
命题得证。
20.如果复数满足等式,证明,并说明这些等式的几何意义。
证明:
且
是等边三角形的充分必要条件是
因此,满足的点,,为顶点的三角形是等边三角形,必有
21.指出下列各题中点的轨迹或所在围,并作图:
1);
解:
设,则
即是以为圆心,半径为6的圆周。
2);
解:
设,则
即是以为圆心,半径为1的圆周及其外部。
3);
解:
设,则
即是平行于y轴的通过的直线。
4);
解:
设,则
即是平行于x轴的通过的直线。
5);
解:
设,则
即是平行于x轴。
6);
解:
设,则
即是以,为焦点,长的半轴为2,短半轴为的椭圆。
7);
解:
设,则
即是过的平行于x轴的直线及其下半平面。
8);
解:
设,则
即是去掉过的半平面。
9);
解:
满足的图形是不包含实轴的上半平面。
10)。
解:
设,则
即是以为端点的射线,。
22.描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的:
1);
解:
设,则,表示不包含实轴的上半平面,是无界的单连通域。
2);
解:
设,由得,表示以为圆心半径为的圆(不含圆周)的外部,是无界的多单连通域。
3);
解:
设,则,表示介于直线和之间的带形区域(不含两直线),是无界的单连通域。
4);
解:
表示介于圆与之间的圆环域(含两圆周),是有界的多连通域。
5);
解:
设,由,表示直线右边的半平面区域(不含直线),是无界的单连通域。
6);
解:
表示由射线与所围成的角形区域(不含两射线),是无界的单连通域。
7);
解:
设,由,表示以为圆心半径为的圆的外部(不含圆周),是无界的多连通域。
8);
解:
表示以与为焦点长半轴短半轴的椭圆及其部,是有界的单连通闭域。
9);
解:
表示以与为焦点实半轴虚半轴的双曲线左边一支的左侧,是无界的单连通域。
10)。
解:
设,由,表示以点为圆心半径为的圆及其部,是有界的单连通闭域。
23.证明复平面上的直线方程可写成:
,(为复常数,为实常数)。
证明:
设点在直线上,则直线方程可写成:
又,
整理得:
令,则。
因为不全为零,所以。
是复平面上的直线方程(为复常数,为实常数)。
24.证明复平面上的圆周方程可写成:
(其中为复常数,为实常数)。
证明:
设点在圆上任意一点,点为圆心,半径为,则圆的方程为:
,。
代入上式,得:
。
整理得:
令,,
是复平面上的圆的方程(为复常数,为实常数)。
25.将下列方程(为实参数)给出的曲线用一个实直角坐标方程表出:
1);
解:
设,则
2),(为实常数);
解:
设,则
3);
解:
设,则
4);
解:
设,则
5),(为实常数);
解:
设,则
6);
解:
设,则
7),(为复数)。
解:
设,则
26.函数把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线?
1);
解:
设,,则
是w平面上的圆。
2);
解:
设,,则
且是w平面上的直线。
3);
解:
设,,则
是w平面上的圆。
4)。
解:
设,,则
是w平面上的直线。
27.已知映射,求:
1)点,,在平面上的象;
解:
2)区域在平面上的象。
解:
28.证明§6定理二与定理三。
定理二如果,,那么
1);
2);
3)
证明:
1),,则
,使时,有
,使时,有
取,则当时,必有
成立。
故。
2),则及,使时,
,,,使时,有;
又,故存在,使时,有
取,则当时,必有
故。
3),则及,使时,
,,,使时,有
,使时,有
取,则当时,必有
故。
定理三函数在处连续的充要条件是:
和在点处连续。
证明:
在处连续,,即
,
即和在点处连续。
29.设函数在连续且,那么可找到的小邻域,在这邻域。
证明:
函数在连续,即
可取,存在,使得当时,有
又
即存在的邻域,在这邻域。
30.设,证明在的某一去心邻域是有界的,即存在一个实常数,使在的某一去心邻域有。
证明:
,即,,当时,有,取,则有。
31.设。
试证当时的极限不存在。
证明:
(方法一)
设,则
显然,当沿着不同的路径时,有不同的值,不存在。
(方法二)
令,则
于是,
沿着不同的路径时,的值不同,故不存在,于是不存在。
32.试证在原点与负实轴上不连续。
证明:
当时,不确定,所以在处不连续。
当点在负实轴上时,动点从上半平面趋于时,趋于;而动点从下半平面趋于时,趋于。
故不存在,所以在负实轴上不连续。
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