推理与证明以几何教学为例第二节Word文档格式.docx
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看图,观察思考回答。
完成学案第一题。
学生动手折叠等腰三角形对等腰三角形性质实行探究。
对折叠等腰三角形出现的种种现象实行观察,思考,归纳、猜想。
回答问题,并简述理由。
有实际生活引出等腰三角形,激发学生的求知欲望。
激发学生的学习兴趣,问题分层设计,满足不同层次学生的需求。
通过动手,加深学生对知识形成过程的理解,发展学生的思维水平、动手操作水平和数学语言表达水平。
激发学生的求知欲,培养学生的探索意识和创新精神
性质证明
性质1:
等腰三角形的两个底角相等。
1、分析命题的条件、结论。
A
结合图形写出已知、求证。
C
B
思考:
(1)证明两个角相等的方法有哪些?
(2)在实践与探究中,你是如何得到等腰三角形两个底角相等这个结论的?
(3)在这道题中,通过什么方法证明两个角相等?
(4)如何把这个等腰三角形转化为两个全等的三角形?
(5)怎样作辅助线?
2、小结证明过程,指出辅助线的作法不唯一性,提示这个定理还能不能通过别的方法来证明,留作课下练习。
3、性质定理的符号语言
强调:
“等边对等角”指的是在同一个三角形中。
性质2:
(三线合一)
1、结合定理证明过程,协助学生证明“三线合一”的性质。
2、结合图形,讲清条件、结论。
3、协助学生掌握“三线合一”的符号语言。
4、课件验证,强调“三线合一”是在等腰三角形中。
等腰三角形性质的应用
试一试:
1.如图在△ABC中
E
D
∵AB=AC(已知)
∴∠
=∠
(
)
学生思考,回答问题。
总结所学知识,回顾实践与探究的过程,寻求定理的证明方法。
由一名学生口述定理证明过程,教师板书。
结合图形,掌握定理的符号语言。
证明“三线合一”的性质。
看课件演示,加深对“三线合一”性质的理解。
结合图形,积极思考,
回答问题。
分析并实践
例题
增强知识形成过程的教学,持续完善知识体系,教给学生分析问题的方法。
引导学生把实践操作与逻辑证明结合起来,培养学生从实践中获取知识的水平。
注重对一题多解的练习,为学习基础较好的学生留出发展的空间。
逻辑证明加上课件演示,协助学生完成了由特殊到一般这个理解过程,加深学生对知识的理解。
1题短小灵活,是对所学知识的直接应用,照顾了学习有困难的学生。
在△ADE中
∵AD=AE(已知)
=∠
∴∠ADB=∠AEC(
2.等腰三角形的顶角等于40°
,则
它的每个底角等于
。
3.等腰三角形的一个底角等于80°
,则它的顶角等于
4.等腰三角形的一个角等于40°
,则它的顶角等于_________.
5.等腰三角形的一个角等于100°
,则它的每个底角等于
.
等腰三角形性质应用(分层测试)
学生完成分层测试。
教师边巡视,边指导,边批改。
反馈学生完成分层测试的情况,即时实行讲解。
课后小结:
1、我们这节课学习了什么知识?
2、我们是怎样发现等腰三角形性质的?
3、通过本节课的学习,你有哪些收获?
附:
学案(等腰三角形)
完成练习,并口述理由。
完成分层测试。
根据问题实行小结。
反思学习过程,抓住重点,增强理解,持续地总结并完善知识体系。
增强师生间的沟通,树立成功者的自信。
练习分层设计,照顾不同层次学生的发展
为学习较好的学生留出发展的空间。
通过度层测试使学生掌握等腰三角形的性质,并能初步使用。
满足不同学生的需求,促动全体学生健康发展。
协助学生反思学习过程,使学生树立成功者的自信。
分析:
这是一节传统内容的课。
谷老师也是有着19年教龄的老教师。
能够说课上得非常流畅。
教师经验丰富,能够很敏锐地发现学生思维上的特点。
我想问几个问题,就是您是
1.您是如何对待新课程中传统几何内容的处理方式的?
2.结合这个案例,请您谈一谈在初中阶段培养学生的推理与证明水平的主要困难是什么?
案例2:
北京市十一学校,葛莉老师的“地板砖的奥秘”(17分57秒的视频材料)的课堂实录片断。
教学设计
设计思路
创设情境
直奔主题
生活中,在很多地方,我们都能够看到由各种各样的多边形拼出的漂亮的、多姿多彩的图案,其中隐藏着很多数学奥秘。
这节课我们使用所学过的数学知识,探索其中的奥秘。
展示学生收集到的一些精美的图案,观察拼装的特点。
学生通过观察与讨论可知:
选择不同的多边形按照一定的拼装要求,就可拼装出丰富多彩的图案。
提出拼装具体要求:
任意两块图形不能重叠,也不能留有空隙;
而且,多边形的顶点只能与顶点重合。
生活中最常见的是用正多边形拼装的,所以我们从正多边形开始研究。
从实际生活入手,设计问题情景引发学生的思考与对本节课的兴趣,使学生感受到生活中处处有数学,思考将现实问题数学化的过程,体验到数学的应用价值,使学生学会用数学的眼光看待多姿多彩的世界.
实践探索师生互动
探求奥秘
一.拼一拼(动手):
某广场要铺设地砖,请你根据已有知识,协助设计按要求的铺设方案。
①
限用一种正多边形;
②
用两种正多边形组合拼装。
学生四人一组分工合作,按要求拼装。
二.想一想(动脑):
(1)为什么有的图形能铺满地面,有的图形却不能?
究竟有什么规律呢?
(2)如果只用一种正多边形,能否铺满地面的关键是什么?
哪几种正多边形能铺满平面?
能用数学知识解释吗?
(3)以正方形和正三角形组合拼图为例,引导学生思考:
围绕一点周围有几个正方形和正三角形?
(分别有三个正三角形和两个正方形)对于正多边形个数能用数学方法分析推导出来吗?
先独立思考,然后小组实行交流、讨论,在交流中达成共识。
三.问题解决(交流):
(1)围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,就拼成一个平面图形。
(2)用规律验证刚才的拼装结果:
①正三角形,在每一个顶点处应有360°
÷
60°
=6个正三角形。
②正方形的每一个内角是90°
,所以在每一个顶点处应有360°
90°
=4个正方形。
③正六边形的每一个内角是120°
120°
=3个正六边形。
④正五边形的每一个内角是108°
,不存有正整数n,使n?
108°
=360°
成立,所以用正五边形不能拼出符合要求的图案。
用一个数学表达式概括结论:
正多边形个数×
正多边形内角度数=360?
(3)如果只用一种正多边形铺地板,能否铺满地面的关键是正多边形内角的度数是否是360?
的约数。
用相同的正多边形拼地板只有三种情形:
正三角形、正方形、正六边形。
(4)用两种不同的正多边形拼:
正多边形1个数×
正多边形1内角度数+正多边形2个数×
正多边形2内角度数=360?
正多边形个数能用数学方法分析推导出来,即把实际问题转化为寻求二元一次方程的正整数解的问题.
给学生一个探索的空间,使学生能够真正地的在“做”中学数学,在做的过程中,注重学生经历了知识的形成过程、注重学生的探究学习过程,体现了学生的主体作用。
理解由感性上升到理性。
有效的学习不再是单纯的模仿和记忆,而是一个主动实验、积极思考、踊跃交流和富有个性的过程。
在实验、交流、讨论、说理,构建模型的过程中,重点得以突出,难点得以突破.
引导学生用所学过的方程的知识解决这个问题.
思维拓展
引发思考
前面我们探究了用一种或两种正多边形铺地板的问题,还能够研究什么问题呢?
,还能够考虑用三种不同的正多边形、用四种不同正多边形铺地板.
还能够从特殊到一般提出新问题:
用一种任意多边形能否铺满整个平面?
更上层楼(课后探究作业):
1.你能设计出用三种,甚至四种不同的正多边形地砖铺满地面的方案吗?
由四种不同的正多边形不能铺满地面.因为边数最少的四种正多边形:
正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角分别为60°
,90°
,108°
,120°
,它们的和为378°
,超过了360°
.
2.用形状、大小都一样的一种任意多边形能否铺满整个平面?
如果能,怎样设计?
“欲穷千里目,更上一层楼”。
研究了用正多边形铺地板,再探索用非正多边形能否铺地板?
怎样设计?
是由特殊到一般的思维扩展,将学生引入更高层次的知识境界。
欣赏图案
激发创造欲望
在实际生活中还有很多丰富多彩的图案是由不规则的基本图形拼成的.欣赏几幅精美的拼图.
它们是怎么铺就而成的呢?
乍一看上去,这些图案令人眼花缭乱,其实都是由常规的基本图形变换而成的.
演示变换过程.
欣赏美丽的镶嵌图案,将潜移默化的美学教育推向一个新的高潮。
师生共同小结
通过本节课的研究,交流,有什么收获和体会?
1.增长知识;
2.学习方法:
实验是发现数学规律的重要方法;
数形结合的解决问题的方法(数缺形时少直觉,形少数时难入微);
从特殊到一般能够发现提出新问题;
3.感受过程(数学的美,数学的应用,合作探究的愉快)
问题:
1.这节课的教学目标是什么?
2.这样的教学设计体现了新课程改革的什么理念?
现在新课程中增加了变换几何的内容,怎样设计类似这样的教学,经常是教师面临的新问题;
同时,我们在第三个专题中谈到信息技术已经被教师普遍地应用于数学教学,这在一定水准上降低了数学学习的难度,有利于更多的学生建立起数学学习的自信。
下面我们再看一个案例:
案例3:
北京市昌平五中,刘海燕老师的“旋转过程中的规律探究”(20分57秒的视频材料)的课堂实录片断。
教学过程设计
设计意图
一引入:
出示两幅图片,让学生找不同的地方
二:
探究规律
活动1:
认真观察,发现规律
教师出示问题
(1):
把一块半径充足长、圆心角为直角的扇形纸板绕正方形中心旋转观察它们重叠部分的面积,你有什么发现?
(2)如果这个正方形的边长为a,那么重叠部分的面积是多少?
(3)写出所得结论的证明过程
归纳:
1遇到不规则图形的问题时,常常利用添加辅助线、旋转或割补的方法转化成规则图形
2要善于观察,在变中寻找不变元素
二推广
活动2:
展开联想,推广结论
教师出示问题:
非得绕正方形旋转吗?
学生先观察静止状态,想象扇形转动的情况
教师利用几何画板演示动态过程,学生观察,找出规律
教师在演示过程中,注意让学生观察特殊位置
学生回答
小组讨论证明方法,叙述后实行证明
找一个到两个学生的证明实行展示
教师引导学生总结
教师强调正方形的特点,边等角等。
学生思考,找出和正方形相关的图形:
正三角形,正五边形等正多边形
教师用几何画板演示圆心角为直角的扇形纸板绕正三角形中心旋转时的情况,通过度量面积的方法否定结论
吸引学生的注意力,激发学习兴趣
培养学生想象水平
为下面的证明做铺垫
体现小组间的合作互助
体现特殊到一般的推广
教学过程设计
追问:
这时的面积不等,那有没有可能改变一下条件就相等了呢?
圆心角为多少度的扇形纸板绕正五边形中心旋转时它们重叠部分的面积相等,是正五边形面积的多少?
猜想结论:
把扇形纸板绕正n边形中心旋转时,如果扇形的圆心角等于正多边形的中心角时,正n边形被纸板覆盖部分的面积等于正方形面积的1/n.
总结:
1从特殊情况入手,注意从特殊到一般的推广
2学习知识要有拓展意识
三探究实践
若把圆心角为直角的扇形纸板绕正方形中心旋转时正方形的边被纸板覆盖部分有什么特点?
四小结
学生谈收获
五作业:
1你能用一条直线把一个矩形分成相等的两部分吗?
2一块方角形如图所示,请你用一条直线将其分为面积相等的两部分.
学生小组讨论,得出探究结果
教师用几何画板实行面积度量
学生叙述证明方法,注意抓住特殊位置
学生思考并回答
学生实行结论猜想
小组合作探究
注意结论的推广
培养学生的探究意识
培养学生归纳概括水平
巩固所学知识提升学生的探究意识
1.本节课的重点是什么?
2.旋转的作用是什么?
3.怎样在几何教学中引导学生探究规律?
4.如何更高效地使用几何画板所制作的课件?
案例4:
北京市十一学校,龙文中老师的“相似三角形的应用”(21分18秒的视频材料)的课堂实录片断。
教学设计:
问题提出:
我们学校的旗杆给同学们或来访者留下了深刻的印象,你能应用所学的知识来测量它的高度吗?
一、准备阶段。
本节课的主要任务是通过测量旗杆的高度,培养学生学数学的兴趣和用数学的意识。
探讨测量的方法。
1.活动课题:
利用相似三角形的相关知识测量旗杆的高度。
2.活动方式:
分组活动、全班交流研讨。
3.学生准备:
相关用具(小镜子、标杆、皮尺、计算器等);
预习课本;
通过咨询家长、老师或上网、查阅资料等方式获得书本以外的测量方法。
4.教师准备:
老师事先向学生提前说明活动的目的、意义、活动要求(特别提出安全要求)。
5.具体要求:
(1)
分组、分工:
6-7人为一组,自由组合。
各组自选组长,定时间、落实工具、测量员、记录员;
(2)
小组集体讨论、实行方案设计。
(3)
活动实施(利用课外时间实行户外的实际测量。
这个过程小组自己定时间完成)
(4)
收集数据,分析数据,通过计算得出结论(并制作成课件)。
二、小组汇报(课堂展示)
【学生活动】各组指派代表上台汇报。
【教师活动】组织汇报并随时评价,收集案例,总结归纳测量方法,实行有机的渗透和拓展。
三、课堂小结:
【活动评价】
(学生自我评价自己与他人):
1.本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)?
2.在使用科学知识实行实践过程中,你具有了哪些水平?
你是否想到最优的方法?
3.把自己在与同伴合作交流中,最满意的表现说给大家听听.
4.你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人?
四、活动引申(课外思考)
“一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案,该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程”请你为警方设计一个方案,估计该盗窃犯的大致身高。
五、课后作业:
选择您认为最简单、最适用的方法测量校园内的其中一棵大树的高度。
【结束寄语】数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就能够助你到达胜利的彼岸.
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- 推理 证明 几何 教学 第二