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AB
=
-
AC
=5
2-32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二:
勾股定理的构造应用
2、如图,已知:
在中,,,.求BC的长.
思路点拨:
由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.
解析:
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
∴(在中,如果一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理,在中,
.
1
∴.
举一反三【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
连结BM,根据勾股定理,在中,
而在中,则根据勾股定理有
又∵(已知),
在中,根据勾股定理有
,
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
分析:
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
,∠B=90°
,∴∠E=30°
。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
=48,BE==
∴BE=AE-AB=8-4
=。
∵DE=CE-CD=4-2=12,∴DE=
∴S
四边形ABCD△ABE
△CDE
=S-S
=AB·
BE-CD·
DE=
类型三:
勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°
方
向走了到达B点,然后再沿北偏西30°
方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°
+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°
的方向
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点
D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米(大门宽度一半),OD=
0.8米(卡车宽度一半)在
Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD=
==0.6米,CH
=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).因此
高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了
3
四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH=及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>
2.732
∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,
沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
如
4
图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得
(提问:
勾股定理)
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短路程约为10.77cm.
类型四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角
三角形斜边长就是,类似地可作。
作法:
如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。
斜边为;
(3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
可以把看作是直角三角形的斜边,,
为了有利于画图,让其他两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。
如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取
AC=1,以OC为半径,以
O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
类型
五:
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题:
猫有四只脚.(正确)
2.原命题:
对顶角相等(正确)
.原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)
角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)
5
掌握原命题与逆命题的关系。
1.逆命题:
有四只脚的是猫(不正确)
2.逆命题:
相等的角是对顶角(不正确)
3.逆命题:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.?
(正确)
4.逆命题:
到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)
总结升华:
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。
要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,
故只有从该条件入手,解决问题。
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)
2≥0,(b-4)
2≥0,(c-5)
2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
【答案】:
连结AC
∵∠B=90°
,AB=3,BC=4
∴AC=AB+BC=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC+CD=169,AD=169
∴AC+CD=AD
∴∠ACD=90°
(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为
m-n,2mn,m+n(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角
形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,
只要证明:
a+b=c即可
证明:
所以△ABC是直角三角形.
6
【变式3】如图正方形
ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。
请问FE与DE是否垂直?
请说明。
【答案】答:
DE⊥EF。
证
明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE=CE+CD=4a+16a=20a
连接DF(如图)
DF=AF+AD=9a+16a=25a
∴DF=EF+DE,
∴FE⊥DE。
经典例题精析
勾股定理及其逆定理的基本用法
、若直角三角形两直角边的比是
3:
4,斜边长是
20,求此直角三角形的面积。
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=×
3x×
4x=6x2=96
直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D
则:
BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形
ABD中,AB=AD+BD,即:
AD=AB-BD=4-1=3
∴AD=
S△ABC=BC·
AD=
注:
等边三角形面积公式:
若等边三角形边长为a,则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得:
由
(1)得:
x+y=7,
(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)
(2)-
(2),得:
xy=12
7
∴直角三角形的面积是
xy=×
12=6(cm)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是
n+1,n+2,n+3,求n。
首先要确定斜边(最长的边)长
n+3,然后利用勾股定理列方程求解。
此直角三角形的斜边长为
n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得:
n2=4
∴n=±
2,但当n=-2时,n+1=-1<
0,∴n=2
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。
【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,
222222
对数据较大的可以用c=a+b的变形:
b=c-a=(c-a)(c+a)来判断。
∵82≠(40+39)×
(40-39),
∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。
【答案】:
A
【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·
BC+AC·
CD=36
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°
,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机
行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪
声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m
则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束
影响学校。
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtABP中,∵∠ABP=90°
,∠APB=30°
,AP=160,
∴AB=AP=80。
(在直角三角形中,30°
所对的直角边等于斜边的一半)∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图,假设拖拉机在公路
MN上沿PN方向行驶到点
C处学校开始受到影响,那么
AC=100(m),
由勾股定理得:
∴BC=60。
BC=
100-80
=3600,
8
同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120m÷
5m/s=24s。
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,
构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出
了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
他们原来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm,则
故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,
这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
【答案】
(1)单位正三角形的高为,面积是。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中,,
,故
数学思想方法
(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且
9
DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直
角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.
连接AD.
因为∠BAC=90°
,AB=AC.又因为AD为△ABC的中线,
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°
.
因为∠EDA+∠ADF=90°
.又因为∠CDF+∠ADF=90°
所以∠EDA=∠CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理:
AF=BE=12.
在Rt△AEF中,根据勾股定理得:
,所以EF=13。
总
结升华:
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题,我们可以了
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同
一直角三角形中求解。
(二)方程的思想方法4、
如图所示,已知△ABC中,∠C=90°
,,求、、的值。
由,再找出、的关系即可求出和的值。
在Rt△ABC中,∠A=60°
-∠A=30°
则,由勾股定理,得。
因为,所以,
,,。
在直角三角形中,30°
的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三:
【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,
求EF的长。
因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°
在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,
所以。
设,则。
在Rt△ECF中,,即,解得。
即EF的长为5cm。
10
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