证明线段相等的常用方法.docx
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证明线段相等的常用方法
证明线段相等的常用方法
1.证明两线段是全等三角形的对应边
如果所证两条线段分别在不同的三角形中,它们所在三角形看似全等,或者,通过简单处理,它们所在三角形看似全等,可考虑这种方法。
例1.如图,B、C、D在一直线上,△ABC与△ECD都是等边三角形,BE、AD分别交AC、EC于点G、F。
(1)求证:
AE=BD
(2)求证CG=CF
例2.如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)∠PBA=∠PCQ=30°;
(2)PA=PQ.
例3.已知:
如图,AB是⊙O的直径,点C、D为圆上两点,且弧CB=弧CD,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E.
(1)试说明:
DE=BF;
二、利用等腰三角形的判定(等角对等边)证明线段相等
如果两条所证线段在同一三角形中,证全等一时难以证明,可以考虑用此法
例1.如图,已知△ABC中,AB=AC,DF⊥BC于F,DF与AC交于E,与BA的延长线交于D,求证:
AD=AE。
例2.如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G.
(1)求证:
AG=C′G;
例3.如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC,D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证:
FD=FG
二、证明两线段都等于第三线段或者第三个量
等量代换:
若a=b,b=c,则a=c;等式性质:
若a=b,则a-c=b-c
例1.如图,梯形中,∥,分别以两腰为边向两边作正方形和正方形,联结,设线段的中点为.求证:
.
例2.
例3.如图,是⊙的直径,是⊙的切线,交⊙于点,直线交于.求证:
.
【巩固练习】
1、已知,如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在AB上和AD的延长线上,且BE=DF,连接EF,G为EF的中点.
求证:
(1)CE=CF;
(2)DG垂直平分AC.
2、在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证:
△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
3.直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=BC,M为BC边上一点.
(1)若∠DMC=45°,求证:
AD=AM.
(2)若∠DAM=45°,AB=7,CD=4,求BM的值.
4、已知梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AC于E,AD=BC,AC=AB,DF⊥AB于F,AC、DF相交于DF的中点O.
(1)若点G为线段AB上一点,且FG=4,CD=3,GC=7,过O点作OH⊥GC于H,试证:
OH=OF;
(2)求证:
AB+CD=2BE.
5.已知,矩形ABCD中,延长BC至E,使BE=BD,F为DE的中点,连结AF、CF.求证:
(1)∠ADF=∠BCF;
(2)AF⊥CF.
6、如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
(1)求证:
CF=CG;
(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长.
7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,AC=AB,∠DAC=30度.点E、F是梯形ABCD外的两点,且∠EAB=∠FCB,∠ABC=∠FBE,∠CEB=30°.
(1)求证:
BE=BF;
(2)若CE=5,BF=4,求线段AE的长.
人;该班本次竞赛成绩的平均数为
8.如图,P为正方形ABCD边BC上任一点,BG⊥AP于点G,在AP的延长线上取点E,使AG=GE,连接BE,CE.
(1)求证:
BE=BC;
(2)∠CBE的平分线交AE于N点,连接DN,求证:
;
(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时,请直接写出CE的长为
9.(2010重庆)已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:
AM=2MB;
(2)求证:
∠MPB=90°-∠FCM.
深圳中考真题演练
[2011年深圳中考]
21、(8分)如图11,一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD折叠,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G.
(1)求证:
AG=C′G;
(2)如图12,再折叠一次,使点D与点A重合,的折痕EN,EN角AD于M,求EM的长.
【2010年深圳中考】
20.(本题7分)如图8,△AOB和△COD均为等腰直角三角形,
∠AOB=∠COD=90º,D在AB上.
(1)求证:
△AOC≌△BOD;(4分)
(2)若AD=1,BD=2,求CD的长.(3分)
【2009年深圳中考】
20.(本题8分)如图9,四边形是正方形,与交于点
(1)求证:
;(4分)
(2)若求的大小.(4分)
【课后作业】
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)
1、的倒数是()
A.B.C.D.
2、下面的计算正确的是()
A. B. C. D.
3、图1所示的几何体的右视图是()
4、在物理学里面,光的速度约为3亿米/秒,该速度用科学计数法表示为()
A.
0.3×108
B.
3×106
C.
3×108
D.
3×109
5、下列长度的三条线段能构成三角形的是()
A.3、4、8 B.5、6、11 C.6、8、20 D.5、6、10
6、从标有1,2,3,4的四张卡片中任取两张,卡片上的数字之和为奇数的概率是()
A.B.C.D.
7、不等式的非负整数解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
8、顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形,则四边形ABCD一定是()
A.菱形B.对角线互相垂直的四边形
C.矩形D.对角线相等的四边形
9、如图2,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,则下列说法正确的是()
A.AB∥CDB.AD∥BC
C.AC⊥CDD.∠DAB+∠D=180°
10、二次函数图象如图3所示.当y<0时,自变量x的取值范围是().
A.-1<x<3B.x<-1
C.x>3D.x<-1或x>3图3
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
11、已知函数,则函数自变量的取值范围为;
12、因式分解:
=;
13、一个扇形的弧长是,面积是,则扇形的圆心角是;
14、已知一次函数与反比例函数有一个交点为(2,b),则;
15、由于全球经济危机的影响,我国某些商品价格持续上涨,某商品由原价20元/件通过两次的提高价格变为28.8元/件,若每次提价的百分率一样,则每次提价百分率为;
16、如图4两幅图中,阴影部分的面积相等,则该图可验证
的一个初中数学公式为。
三、解答题
(一)(本大题共3小题,每小题5分,满分15分)
图4
17、
18、解不等式组,并将不等式的解集表示在数轴上。
19、计算:
先化简代数式:
,
再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x的值,代入求出代数式的值。
四、解答题
(二)(本大题共3小题,每小题8分,满分24分)
20、某空调厂的装配车间,原计划用若干天组装150台空调,厂家为了使空调提前上市,决定每天多组装3台,这样提前3天超额完成了任务,总共比原计划多组装6台,问原计划每天组装多少台?
21、如图5,在平行四边形ABCD中,E、F分别在边AD、BC上,且AE=CF.证明:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
图5
22、已知如图6,在平面直角坐标系中,直线AB分别与轴交于点B、A,与反比例函数图象分别交于点,轴于点E,.
(1)求直线的解析式;
(2)求该反比例函数的解析式.
五、解答题(三)(本大题共3小题,每小题9分,满分27分)
23、如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.
第一排1
第二排23
第三排456
第五排78910
第六排1112131415
…………………………
(1)表中第9行第2个数字是______;
(2)求第12行所有数字之和?
(3)求第n行的第一个数字和最后一个数字。
(用含有“n”的式子表示)
24、如图7,在梯形ABCD中,AD//BC,E是BC的中点,AD=5,BC=12,CD=,∠C=45°,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.
(1)当x的值为____________时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形;
(2)当x的值为____________时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;;
(3)点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形?
试说明理由.
图7
25、如图8,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
(3)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
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