一元二次方程讲义绝对经典实用Word下载.docx
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bxc
0(a0),其根的判别式为:
4ac则
方程ax
bx
0(a
°
)有两个不相等的实数根
xi,2
b
b24ac
0)有两个相等的实数根"
X2
0)没有实数根.
c为有理数,
为完全平方式,则方程的解为有理根;
若为完全平方式,同时
b4ac是2a的整数倍,则方程的根为整数根.
说明:
两个不相等的实数根时,
0;
有两个相等的实数根时,
没有实数根时,
⑴用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:
上述判定方法也可以反过来使用,当方程有
b4ac判定方程的根的情况(有两
⑵在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式
不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根)•当b4ac0时,方程有两个相等的实数根(
重根),不能说方程只有一个根.
1当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;
2当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.
5、一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用:
⑴运用判别式,判定方程实数根的个数;
⑵利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围;
⑶通过判别式,证明与方程相关的代数问题;
(4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.
6韦达定理
xix2pxix2q
xxXiX2
般地,如果有两个数Xi,X2满足
X1X2
,那么X1,
x2必定是ax2bx
0(a0)的
7、韦达定理的逆定理
两个根.
8、韦达定理与根的符号关系
在b4ac>
0的条件下,我们有如下结论:
C°
、^卄卫>
°
、
⑴当a时,方程的两根必一正一负.若a,则此方程的正根不小于负根的绝对值;
则此方程的正根小于负根的绝对值.
c
⑵当a
时,方程的两根同正或同负•若
,则此方程的两根均为正根;
若
,则此方程
的两根均为负根.
xi
x2是ax
0)的两根(其中
XiX2),且m为实数,当
0时,一般地
①
(xi
m)(x2
m)
m
②
(Xi
m)(X2
0且
(X2
m)0
xim
③
更一般的结论是:
)有两异根、两正根、两负根的条件.
0时,上述就转化为
特殊地:
当m
2ax
其他有用结论:
⑴若有理系数一元二次方程有一根ab,则必有一根ab(a,b为有理数)
⑵若ac0,则方程axbxc0(a0)必有实数根.
⑶若ac0,方程axbxc0(a0)不一定有实数根.
⑷若abc0,则axbxc0(a0)必有一根x1.
⑸若abc0,则axbxc0(a0)必有一根x1.
9、韦达定理的应用
⑴已知方程的一个根,求另一个根以及确定方程参数的值;
⑵已知方程,求关于方程的两根的代数式的值;
⑶已知方程的两根,求作方程;
⑷结合根的判别式,讨论根的符号特征;
⑸逆用构造一元二次方程辅助解题:
当已知等式具有相同的结构时,就可以把某两个变元看作某个一
元二次方程的两根,以便利用韦达定理;
⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后,一定要验证方程的
•一些考试中,往往利用这一点设
置陷阱
10、整数根问题
对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的实根情况,可以用判别式b24ac来判别,但是对于
个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.
方程有整数根的条件:
如果一元二次方程ax2bxc0(a0)有整数根,那么必然同时满足以下条件:
⑴b4ac为完全平方数;
⑵b寸b4ac2ak或bJb4ac2ak,其中k为整数.
以上两个条件必须同时满足,缺一不可.
另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)
11、一元二次方程的应用
1.求代数式的值;
2.可化为一元二次方程的分式方程。
步骤:
1)去分母,化分式方程为整式方程(一元二次方程)。
2)解一元二次方程。
3)检验
3.列方程解应用题
审、设、列、解、验、答
板块一一元二次方程的定义
•夯实基础
例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项系数,一次项系数和常数项。
(1)2y2y7
(2)212x2x0
(3)(x5)(x5)0
(4)(5y1)(2y1)y25
(5)(m2i)x2nmx0(x是未知数)
例2已知关于x的方程心2)x2axx21是一元二次方程,求a的取值范围.
例3若一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零,则m的值为
•能力提升
例4关于x的方程k2x2(2kl)x1是什么方程它的各项系数分别是什么
例5已知方程2xaxbx240是关于x的一元二次方程,求a、b的值.
例6若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()
A.m^1
B.mi>
C.mi>
0且mr^1
D.m为任何实数
•培优训练
._.2
例7m为何值时,关于x的方程(m.2)xm(m3)x4m是一元二次方程.
例8已知方程2xabxabab0是关于x的一元二次方程,求a、b的值.
例9关于x的方程(m+3)xm2-7+(m-3)x+2=0是一元二次方程,则m的值为
解:
•••该方程为一元二次方程,
•••m2-7=2,
解得m=±
3;
当m=-3时m+3=0,则方程的二次项系数是0,不符合题意;
所以m=3.
例10(2000?
兰州)关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是()
A.m^-1B.m^2Cm^-1或mr^2Dm^-1且mf^2
•课后练习
1、m为何值时,关于x的方程(m.2)xm
(m3)x4m是一元二次方程.
2、已知关于x的方程(a2)x
axx1是一元二次方程,求
a的取值范围.
3、已知关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程,求a的取值范围.
4、若x2ab3xab10是关于x的一元二次方程,求a、b的值.
5、若一元二次方程
(m2)x23(m215)xm240的常数项为零,则m的值为
板块二一元二次方程的解与解法
例1、(2012?
鄂尔多斯)若a是方程2x2-x-3=0的一个解,则6a2-3a的值为(
A.3B.-3C.9D.-9
若a是方程2x2-x-3=0的一个根,则有
2a2-a-3=0,
变形得,2a2-a=3,
故6a2-3a=3x3=9故选C.
例2(2011?
哈尔滨)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解.则m的值是(
A.6B.5C.2D.-6
把x=2代入方程得:
4-2m+8=0,
解得m=6.
故选A
例3用直接开平方法解下列方程
18
(1)3x290
(2)(x2)230(3)2(3x1)2
2(3x1)8
⑷5
⑹、3(x1)27
例4先配方,再开平方解下列方程
22
(5)x6x9(52x)
(3)2x37x
(1)x4x40
(2)2yy10
⑸3y2123y
(6)x2x50
例5用公式法解下列方程
(1)x23x20
(2)2x1
2x2
(3)(x1)3x
⑷(x5)(x7)1
例6用因式分解法解下列方程
QQQJ
(1)2x3x30
(2)2x45x4500(3)t22t20
⑷(23)x22(,31)x60.(5)x23a24ax2a1(6)9(x2)216(x1)20
例7(2011?
乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根是0,贝U实数a的值为(A)
A.-1B.0C.1D.-1或1
例8关于x的一元二次方程(a-1)x2+ax+a2-仁0的一个根是0,贝Ua值为(C)
A.1B.0C.-1D.±
1
乜I
例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=o(a工c有相同的根a,贝a=a_c
器:
■「方程工却si十与(a^c)有相同的棍tb
人乜同时驀足75程戏+业址弍和兀却比MT(a^c),
fp.
取+att+b=O'
*①
・•Y
«
t^-i-ctt+d=0>
②
由OY,d
(arc)甘卜归口,即(a-c)a=-S+d>
■/a^cj
」・a-c去m
■d-b
…p・抜吾案知器
例10已知a、卩是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则a3+8B+啲值为(D)
A.-1B.2C.22D.30
鰐登」撤方程厶&
7=0第是X」土严,即E士長・
•「•、隠方®
^2«
-4=C的两个实数根-
二①当p=i-后时,
adepts,
=(i+4^)那日(l-ifs)+&
!
=1&
+8-J&
+3-845+6p
=301
②当n=帀長,严1+岳时,
=(1-J5)臥(1+45)+6,
=1S-b45+9+B^5'
=30.
故选D・
==_1
例11关于X的一元二次方程(m-2)XmA-2+2mx-1=0的根是*严旷2
解答匕|解:
根揺一元二坎方程的走文,得
jtl^-4=0
*
m-2知
好得
■=-£
贝q有方程J旷1=o1
即(2^+1)5
抜答案対;
»
i=k2=-4・
例12解方程:
mx(3m2)x6m0
例13解方程mx2(3m22)x6m0
例14(新思维)阅读下面的例题:
解方程:
x2|x|20.
解:
(1)当X0时,原方程化为x2x20,
解得xi2,X21(不合题意,舍去),
(2)当x0时,原方程化为xx20.
解得X11,(不合题意,舍去),X22.
•••原方程的根是人2必2
请参照x2x330,则方程的根是
例15解方程:
x22x240
例16(新思维)设X1、X2是方程x2x40的两个实数根,求代数式人35X2210的值.
例17(新思维)先请阅读材料:
为解方程X215X2140,我们可以将x21视为一个整体,然后设X21y,则x21y2,
原方程化为y25y40,解得%1,y24.
当y1时,x211,得x2;
当y4时,x214,得x5;
故原方程的解为x2,x22,x32,x4,5.
在解方程的过程中,我们将x21用y替换,先解出关于y的方程,达到了降低方程次数的目的,这种方
法叫做“换元法”,体现了转化的数学思想.
请你根据以上的阅读,解下列方程:
(1)x4x260;
121
(2)(—X1)(—x1)10.
x1
例18已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程3的解相同.
(1)求k的值;
(2)求方程x2kx20的另一个解.
例19(新思维)若x、y是实数,且mx24xy6y24x4y确定m的最小值.
x2yz6
例20(新思维)已知x、y、z为实数,且满足xyNX3,则xyz的最小值为
课后练习
一、填空:
1.一元二次方程的一般形式是
2.一元二次方程3x25x6的一般形式是,a=
b=,c=。
3.关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程,则m的取值范围是
4.关于x的方程(m24)x2(m2)xm0是一元二次方程时,m的取值范围是
元一次方程时,m的取值范围是
二、下列方程中,是
兀二次方程的为
(
)
A.x2+3x=0
B.2x+y=3
C
/存+1二。
D.x(乂+2)=0
21_
32,小
1.0.5x0
2.x150
4
5
、用两种方法解下列方程:
3.3(1x)1
4.x5x60
5.x2x72
6.3x224x
7.x22j2x2
8.x23x70
9.3(2x1)
10.(x1)5x30
(11)x|x|10;
(2)(x22x)2(x22x)20;
五、解关于x的方程:
a2(x2x1)a(x21)(a21)x
六、(新思维)△ABC中,三边BCa,ACb,ABc,且满足a4b4c4a2c2b2c2,试判
定厶ABC的形状
七、(新思维)设X、y为实数,求代数式5x4y8xy2x4的最小值.
板块二一元二次方程根的判别式
例1不解方程,判断下列方程是否有实根,若有,指出相等还是不等。
(1)8y(2y5)25
(2)2x6x1
(3)(a1)x22ax(a24)0(x是未知数)
例2如果关于x的一元二次方程kx26x90有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()
A.k1B.k0C.k1且k0D.k1
例3已知a,b,c为正数,若二次方程ax2bxc0有两个实数根,那么方程a2x2b2xc20的根的情况是()
A•有两个不相等的正实数根B.有两个异号的实数根
C.有两个不相等的负实数根D.不一定有实数根
ax2bxc0一定有两个不等实根。
例4若关于x的方程kx26x90有两个不相等的实数根,求k的取值范围。
例6已知a、b、c是ABC的三边的长,且方程
x22(bc)x(ab)(ca)0有两个相等的实数根,试
判断这个三角形的形状.
•能力提咼
例7关于x的方程a6x28x60有实数根,则整数a的最大值是.
例8m为给定的有理数,k为何值时,方程x241mx3m22m4k0的根为有理数
例9k为何值时,方程(k1)x2(2k3)x(k3)0有实数根.
例10已知关于x的方程(m2)x22(m1)xm10在下列情况下,分别求m的非负整数值。
(1)方程只有一个实数根
(2)方程有两个相等的实数根
(3)方程有两个不相等的实数根
例11(新思维)已知一元二次方程x2(4k2)x4k20有两个不相等的实数根.则k的最大整数值
为.
例12(新思维)如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c,ZB=90°
那么,关于x的方程
a(x1)2cxb(x1)0的根的情况是().
A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
例13(新思维)已知关于x的方程x2(k2)x2k0
(1)求证:
无论k取任何实数值,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△
2例14(新思维)已知函数y和ykx1(k0)
x
(1)若这两个函数的图象都经过点(1,a),求a和k的值;
(2)当k取何值时,这两个函数的图象总有公共点
例15(新思维)若xo是一元二次方程ax2bxc0(a0)的根,则判别式b2
M(2ax0b)2的大小关系是()•
A.MB.MC.MD.不能确定
把X。
代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx)=-c,
■/(2ax0+b)2=4a2X02+4abx0+b2,
/•(2ax0+b)2=4a(ax02+bx。
)+b2=-4ac+b2=^,
ABC的周长.
4ac与平方式
•••M=△.
故选B
例16(新思维)关于x的方程|二|
口1
6、k为何值时,方程x
(2k5)xk0有两个不相等的实根
4、不解方程,判断下列各方程根的情况
7、已知a0,bac,判断关于x的方程ax2bxc0的根的情况,并给出必要的说明.
⑴求m的取值范围;
⑵若m为整数,且m3,a是上述方程的一个根,求代数式
2a3a
2a21
3的值.
10、在等腰ABC中,A、B、
C的对边分别为a、b、c,已知a3,b和c是关于x的方程
21
Xmx列0的两个实数根,求ABC的周长.
11、如果关于x的方程xaxbxbxcxcxa0(其中a,b,c均为正数)有两个
相等的实数根.证明:
以a,b,c为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特征.
板块二一元二次方程的应用
x+2_3k+10
例1解方程-'
I
例2一个车间加工300个零件,加工完80个以后,改进了操作方法,每天能多加工15个,一共用了6天完成了任务,求改进操作方法后每天加工的零件的个数。
例3某商场运进120台空调准备销售,由于开展了促销活动,每天比原计划多售出4台,结果提前5
天完成销售任务,原计划每天销售多少台
例4甲、乙两队学生绿化校园,如果两队合作,6天可以完成,如果单独工作,甲队比乙队少用5天,
问两队单独工作各需多少天完成
(图中阴
例5如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形
影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.
例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈
利的年增长率相同.
⑴该公司2006年盈利多少万元
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元
例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:
1.在温室内,沿前侧内墙保留3m宽
的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道•当矩形温室的长与宽各为多少米时,蔬菜种植区域的面
积是288m2
例8(新思维)如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的
部分种上草坪.要使草坪的面积为540m,求道路的宽(部分参考数据:
322=1024,522=2704,482=2304).
例9(新思维)某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克•经市场
调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克•现该商场要保证每天
盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元
解警?
设毎千克水杲赫价址云,(1殳)
依题意停方程:
C500-20X)(10+xJ=5000p(4#)
整理,得Q■牴id50Mb(5分)
解这个方程,得片二玉V10-花分)
要使顾嘗得到买理,应取涉5・(T分)
舊:
毎壬克水果应躺能元.岱分)
例10(新思维)如图,某农户打算建造一个花圃,种植两种不同的花卉供应城镇市场,这时需要用长为
24米的篱笆,靠着一面墙(墙的最大可用长度a是10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃•设花圃
的宽AB为xm,面积为Sm2.
O:
(n的怅是眯*
(24-3k)x=45,
解得旳丈,样、
当萨羽办点方
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