高考数学复习点拔空间几何体语文文档格式.docx
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12×
2-π×
1=,故选C.
.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的表面积为()资*源%库
A.16B.8+8
C.2+2+8D.4+4+8
答案 D
S△PAB=S△PBC=×
2×
2=2.
所以几何体的表面积为4+4+8.
.在正三棱锥S-ABC中,点M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为()
A.6πB.12π
C.32πD.36π
.已知半径为1的球O中内接一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的体积与圆柱的体积的比值为________.
答案
解析 如图所示,
设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积为S=2πr×
2=4πr≤4π×
=2π(当且仅当r2=1-r2,即r=时取等号)。
所以当r=时,
.如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°
,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________.
.已知在三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=PA=2,且在△ABC中,∠BAC=120°
,则三棱锥P—ABC的外接球的体积为________.资*源%库
解析 由余弦定理得:
BC2=AB2+AC2-2AB·
AC·
cos∠BAC,
∴BC2=22+22-2×
(-)=12,
∴BC=2.设平面ABC截球所得截面圆半径为r,则2r==4,所以r=2.由PA=2且PA⊥平面ABC知球心到平面ABC的距离为1,所以球的半径为R==,所以V球=πR3=。
.如图,侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°
,过点A作截面△AEF,则截面△AEF的周长的最小值为____________.
答案 6
1.如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上。
过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合),使得∠PEB=30°
。
(1)求证:
EF⊥PB;
(2)试问:
当点E在何处时,四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大?
并求此时四棱锥P—EFCB的体积。
(1)证明 ∵EF∥BC且BC⊥AB,
∴EF⊥AB,即EF⊥BE,EF⊥PE.
又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE,
又PB?
平面PBE,∴EF⊥PB.
(2)解 设BE=x,PE=y,则x+y=4.
∴S△PEB=BE·
PE·
sin∠PEB
=xy≤2=1.
当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大。
此时,BE=PE=2.
易错起源1、三视图与直观图
例1
(1)(2019·
课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.20πB.24πC.28πD.32π
(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()
答案
(1)C
(2)D
(1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()
(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()
答案
(1)D
(2)B
空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果。
【技巧点拔】
1.一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样。
即“长对正、高平齐、宽相等”。
Ziyuanku
2.由三视图还原几何体的步骤
一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体。
易错起源、几何体的表面积与体积
例2
(1)(2019·
北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()
A.B.C.D.1
(2)如图,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分$来源:
ziyuanku别在C1D1与C1B1上,且C1E=4,C1F=3,连接EF,FB,DE,BD,则几何体EFC1-DBC的体积为()
A.66B.68
C.70D.72
答案
(1)A
(2)A
故所求几何体EFC1-DBC的体积为66.
某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.
(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和。
(2)求体积时可以把空间几何体进行分解,把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差。
求解时注意不要多算也不要少算。
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧。
易错起源、多面体与球
例3
(1)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°
,则球O的表面积为()
A.4πB.12π
C.16πD.64π
(2)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()
A.cm3B.cm3
C.cm3D.cm3
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)在△ABC中,
设球心为点O,球半径为Rcm,正方体上底面中心为点A,上底面一边的中点为点B,
在Rt△OAB中,OA=(R-2)cm,
AB=4cm,
OB=Rcm,
由R2=(R-2)2+42,得R=5,
∴V球=πR3=π(cm3)。
故选A.
在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,
AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为,则三棱锥A-BCD的外接球体积为________.
答案 π
三棱锥P-ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形:
(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点,点A、B、C可作为下底面的三个顶点;
(2)P-ABC为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线。
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接。
解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图。
如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径。
球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径。
球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图。
ziyuanku
1.如图所示,将图
(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图
(2)中的几何体,则该几何体的侧视图为()
解析 由所截几何体可知,FC1被平面AD1E遮挡,可得B图。
2.下图是棱长为2的正方体的表面展开图,则多面体ABCDE的体积为()
A.2B.
C.D.
解析 多面体ABCDE为四棱锥(如图),利用割补法可得其体积V=4-=,选D.
3.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为()
A.8-2πB.8-π
C.8-D.8-
解析 由三视图可知,该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成,所以该几何体的体积为V=(22-2×
×
π×
12)×
2=8-π。
4.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16+20π,则r等于()
A.1B.2C.4D.8
解析 如图,
该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体,球的半径为r,圆柱的底面半径为r,高为2r,则表面积S=×
4πr2+πr2+4r2+πr·
2r=(5π+4)r2.又S=16+20π,
(5π+4)r2=16+20π,r2=4,r=2,故选B.
5.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BDCD,将其沿对角线BD折成四面体A′BCD,使平面A′BD平面BCD,若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为()
A.πB.3π
C.πD.2π
答案 A
6.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45°
,AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为________.
答案 2+
解析 如图,在直观图中,过点A作AEBC,垂足为点E,
则在Rt△ABE中,AB=1,ABE=45°
,BE=。
而四边形AECD为矩形,AD=1,
EC=AD=1,BC=BE+EC=+1.
7.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是________cm3.
答案 72 32
解析 由三视图可知,该几何体为两个相同长方体的组合,长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm,其直观图如下:
其体积V=2×
4=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为S=2(2×
2+2×
4×
4)-2×
2=2×
(8+32)-8=72(cm2)。
8.如图所示,从棱长为6cm的正方体铁皮箱ABCD—A1B1C1D1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形。
如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛的水的体积为________cm3.
答案 36
9.一块石材表示的几
何体的三视图如图所示。
将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于____________.
答案 2
解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱,如图所示。
由题意知,当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时,该球的半径最大,故其半径r=×
(6+8-10)=2.
10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
(1)求该几何体的体积V;
(2)求该几何体的侧面积S.
“师”之概念,大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰:
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义,现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称,隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》,有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制,老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”,其只是“老”和“师”的复合构词,所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称,虽能从其身上学以“道”,但其不一定是知识的传播者。
今天看来,“教师”的必要条件不光是拥有知识,更重于传播知识。
一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:
“师者教人以不及,故谓师为师资也”。
这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云:
“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
解 由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E-ABCD.
(1)V=×
(8×
6)×
4=64.
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