部编人教版各地中考数学精析版试题分类汇编第1期等腰三角形Word下载.docx

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考点：

等腰三角形的性质；

三角形的内角和定理.

3．（2020.山东省泰安市，3分）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°

，则∠P的度数为（　　）

A．44°

B．66°

C．88°

D．92°

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°

，根据三角形内角和定理计算即可．

∵PA=PB，

∴∠A=∠B，

在△AMK和△BKN中，

，

∴△AMK≌△BKN，

∴∠AMK=∠BKN，

∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，

∴∠A=∠MKN=44°

∴∠P=180°

﹣∠A﹣∠B=92°

故选：

D．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．

4．（2020·

江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（　　）

A．6B．3C．2.5D．2

【考点】几何问题的最值．

【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小

如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，

作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，

在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×

6﹣×

4×

4﹣×

3×

3=2.5．

故选C．

二、填空题

1.（2020·

湖北黄冈）如图，已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1.连接AI，交FG于点Q，则QI=_____________.

ADFH

Q

BCEGI

（第14题）

【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.

【分析】过点A作AM⊥BC.根据等腰三角形的性质，得到MC=

BC=

，从而MI=MC+CE+EG+GI=

.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；

根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC∥GQ，则△IAC∽△IQG，故

=

，可计算出QI=

.

ADFH

BMCEGI

过点A作AM⊥BC.

根据等腰三角形的性质，得MC=

∴MI=MC+CE+EG+GI=

在Rt△AMC中，AM2=AC2-MC2=22-（

）2=

AI=

=4.

易证AC∥GQ，则△IAC∽△IQG

∴

即

∴QI=

故答案为：

2.（2020·

四川资阳）如图，在3×

3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是　　．

【考点】概率公式；

等腰三角形的判定．

【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．

根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，

故P（所作三角形是等腰三角形）=；

．

3.（2020·

四川成都·

4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　3　．

【考点】矩形的性质；

线段垂直平分线的性质；

等边三角形的判定与性质．

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵AE垂直平分OB，

∴AB=AO，

∴OA=AB=OB=3，

∴BD=2OB=6，

∴AD===3；

3．

4.（2020·

四川达州·

3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°

得到线段AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为　24+9　．

【考点】旋转的性质；

等边三角形的性质．

【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°

，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°

，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算．

连结PQ，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°

，AB=AC，

∵线段AP绕点A顺时针旋转60°

得到线段AQ，

∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°

∴△APQ为等边三角形，

∴PQ=AP=6，

∵∠CAP+∠BAP=60°

，∠BAP+∠BAQ=60°

∴∠CAP=∠BAQ，

在△APC和△ABQ中，

∴△APC≌△ABQ，

∴PC=QB=10，

在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，

而64+36=100，

∴PB2+PQ2=BQ2，

∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°

∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×

6×

8+×

62=24+9．

故答案为24+9．

5.（2020江苏淮安，16，3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是　10　．

【考点】等腰三角形的性质；

三角形三边关系．

【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．

因为2+2＜4，

所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，

周长：

4+4+2=10，

答：

它的周长是10，

10

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．

6.（2020·

广东广州）如图

中，

点

在

上，

将线段

沿

方向平移

得到线段

，点

分别落在边

上，则

的周长是cm.

［难易］容易

［考点］平移，等腰三角形等角对等边

［解析］∵CD沿CB平移7cm至EF

［参考答案］13

7.（2020·

广西贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为　120°

　．

【考点】全等三角形的判定与性质；

【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°

即可解决问题．

如图：

AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°

∴∠DCB=∠ACE，

在△DCB和△ACE中，

∴△DCB≌△ACE，

∴∠CAE=∠CDB，

∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°

，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°

，∠DHC=∠OHA，

∴∠AOH=∠DCH=60°

∴∠AOB=180°

﹣∠AOH=120°

故答案为120°

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．

8．（2020·

山东烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为　　．

【考点】勾股定理；

实数与数轴；

等腰三角形的性质．

【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．

∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，

∴OC⊥AB，

在Rt△OBC中，OC===，

∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，

∴OM=OC=，

∴点M对应的数为．

故答案为．

9．（2020.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为　448﹣480　cm3．

【考点】剪纸问题．

【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°

，AB=BC=AC．∠POQ=60°

，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°

，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：

BE=AD=2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积=底面积×

高，即可得出结果．

如图，由题意得：

△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°

，AB=BC=AC，∠POQ=60°

∴∠ADO=∠AKO=90°

连结AO，作QM⊥OP于M，

在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°

∴OD=AD=2cm，

∴AD=OD=2cm，

同理：

BE=AD=2cm，

∴PQ=DE=20﹣2×

2=20﹣4（cm），

∴QM=OP•sin60°

=（20﹣4）×

=10﹣6，（cm），

∴无盖柱形盒子的容积=×

（20﹣4）（10﹣6）×

4=448﹣480（cm3）；

448﹣480．

10．（2020·

江苏泰州）如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°

，则∠β等于　20°

【考点】等边三角形的性质；

平行线的性质．

【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°

．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°

，就可求出∠DAC，从而解决问题．

过点A作AD∥l1，如图，

则∠BAD=∠β．

∵l1∥l2，

∴AD∥l2，

∵∠DAC=∠α=40°

∵△ABC是等边三角形，

∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°

﹣40°

=20°

故答案为20°

三.解答题

1.（2020年浙江省宁波市）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°

，∠B=60°

，求证：

CD为△ABC的完美分割线．

（2）在△ABC中，∠A=48°

，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．

（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】新定义．

【分析】

（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．

（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．

（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．

（1）如图1中，∵∠A=40°

∴∠ACB=80°

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°

∴∠ACD=∠A=40°

∴△ACD为等腰三角形，

∵∠DCB=∠A=40°

，∠CBD=∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割线．

（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD=∠A=48°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°

②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°

③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．

∴∠ACB=96°

或114°

（3）由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC，

∴=，设BD=x，

∴（）2=x（x+2），

∵x＞0，

∴x=﹣1，

∴==，

∴CD=×

2=﹣．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．

上海）如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°

，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．

（1）求线段CD的长；

（2）如果△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；

（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

【考点】四边形综合题．

【专题】综合题．

（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；

（2）分类讨论：

当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；

当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，

（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．

（1）作DH⊥AB于H，如图1，

易得四边形BCDH为矩形，

∴DH=BC=12，CD=BH，

在Rt△ADH中，AH===9，

∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，

∴CD=7；

（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，

∵∠AGE=∠DAB，

∴∠GAE=∠DAB，

∴G点与D点重合，即ED=EA，

作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，

∵∠MAE=∠HAD，

∴Rt△AME∽Rt△AHD，

∴AE：

AD=AM：

AH，即AE：

15=：

9，解得AE=；

当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，

而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，

∴∠GAE=∠ADG，

∴∠AEG=∠ADG，

∴AE=AD=15，

综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；

（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，

在Rt△ADE中，DE==，

∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，

∴△EAG∽△EDA，

∴EG：

AE=AE：

ED，即EG：

x=x：

∴EG=，

∴DG=DE﹣EG=﹣，

∵DF∥AE，

∴△DGF∽△EGA，

∴DF：

AE=DG：

EG，即y：

x=（﹣）：

∴y=（9＜x＜）．

【点评】本题考查了四边形的综合题：

熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；

常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；

会利用勾股定理和相似比计算线段的长；

会运用分类讨论的思想解决数学问题．

　3．（2020·

江苏省宿迁）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　4　．

【分析】如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个．

如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，

△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），

则AB=AD=4，

故答案为4．

【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．

江苏省宿迁）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：

BE=CF．

【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．

【解答】证明：

∵ED∥BC，EF∥AC，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∴DE=CF，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠EBD=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CF．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用直线知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．

5．（2020·

江苏省宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°

时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：

GF∥AC；

（2）如图2，当90°

≤α≤180°

时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°

变化到180°

时，求点M运动的路径长．

（1）欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．

（2）①先证明A、D、M、C四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°

，即可解决问题．

②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．

（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°

∴∠A=∠ABC=45°

∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°

∴CB与CE重合，

∴∠CBE=∠A=45°

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°

∵BG=AD=BF，

∴∠BGF=∠BFG=45°

∴∠A=∠BGF=45°

∴GF∥AC．

（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，

∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，

∵∠ACD=∠ECF，

∴∠ACE=∠CDF，

∵2∠CAE+∠ACE=180°

，2∠CDF+∠DCF=180°

∴∠CAE=∠CDF，

∴A、D、M、C四点共圆，

∴∠CMF=∠CAD=45°

∴∠CMD=180°

﹣∠CMF=135°

．

②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．

∵AD=DB，CA=CB，

∴CD⊥AB，

∴∠ADC=90°

由①可知A、D、M、C四点共圆，

∴当α从90°

时，

点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，

∵OA=OC，CD=DA，

∴DO⊥AC，

∴∠DOC=90°

∴的长==．

时，点M运动的路径长为．

【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题．

6．（2020•辽宁沈阳）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°

＜α＜180°

），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．

（1）如图，当α=60°

时，延长BE交AD于点F．

①求证：

△ABD是等边三角形；

②求证：

BF⊥AD，AF=DF；

③请直接写出BE的长；

（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE的值．

温馨提示：

考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

【考点】三角形综合题．

（1）①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°

即可得证；

②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；

③分别求出BF、EF的长即可得；

（2）由∠ACB+∠BAC