初中数学角Word文档下载推荐.docx
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解
(1)先把15′化成度,即
15′=(15/60)°
=0.25°
,
所以18°
15′=18.25°
还记得图4.6.5八个方向吗?
但在日常生活中,八个方向是不够用的,这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向,那就要借用角度的表示方式
图4.6.5
例2如图4.6.6,OA是表示北偏东30°
方向的一条射线,仿照这条射线画出表示下列方向的射线:
图4.6.6
(1)南偏东25°
;
(2)北偏西60°
解如图4.6.7所示。
图4.6.7
(1)以正南方向的射线为始边,向东方向旋转25°
所成的角,即为所求.
(2)以正北方向的射线为始边,向西方向旋转60°
所成的角,即为所求.
练习
1.由图4.6.6填空:
(1)正东和正西方向所成的角是_______度;
(2)正南和西南方向所成的角是_______度;
(3)西北和东北方向所成的角是_______度;
(4)正西和东南方向所成的角是_______度;
2.只用一根直尺作出等于30°
、45°
、60°
、120°
的角.随后用量角器测一测,
比一比谁最为接近.3.请估计下面角的大小,然后再用量角器测量.
2.角的比较和运算
角是有大小的,如何比较两个角的大小呢?
观察如图4.6.7的三个角,哪一个最大?
图4.6.7
从上图我们可以发现,∠DEF明显比∠AOB和∠CBA小,但∠AOB和∠CBA的大小关系不太明显.如果想得到准确的结果的话,可以采用下面的方法:
图4.6.8
如图4.6.9所示,把一个角放到另一个角上,使它们的顶点重合,其中的一边也重合,这两个角的另一边都在这一条边的同侧。
这时,角的大小关系就比较明显了,可以简单的记为
∠AOB>
∠DEF,或∠DEF<
∠AOB.
比较角的大小,也可以用两脚曲分别量出角的度数,然后加以比较。
如我们用量角器可以量出图4.6.8种三个角的度数分别为
∠AOB=60°
30′,∠DEF=36°
,∠CGH=65°
所以∠CGH>∠AOB>∠DEF
一副三角板上的角是一些常用的角,除了可以用它们直接作出30°
和90°
的角之外,还可以作出其它一些特殊的角.
想一想:
如图4.6.10所示,用两种方法放置一副三角板,可以画出75°
和15°
的角.
图4.6.10
我们可以对角进行简单的加减运算,如:
(1)34°
34′+21°
51′=55°
85′=56°
25′
(2)180°
-52°
31′=179°
60′-52°
31′=127°
29′做一做:
用量角器和直尺在纸上画一个角∠AOB=84°
,如图4.6.10,然后沿O点对折,使边OB和OA重合,那么这条折痕把这个角分成了大小相等的两部分.
图4.6.13
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.
1.先观察下列各对角,其中哪一个角较大?
然后用量角器量一量各对角.看看你的观察结果是否正确.
(1)
(2)2.请用三角板中各角来估计下列角的度数,并按大小次序用“>
”符号连结这四个角.
3.角的特殊关系
在我们所用的三角板中,有一个角是90°
,其它两个角,一块是30°
与60°
,另一块都是45°
,它们的和都是90°
.在图4.6.11中,用量角器量一量如下两组图中各角的大小,发现也有这样的特殊关系.
(1)
(2)图4.6.14
两个角的和等于90°
,就说这两个角互为余角,简称互余(complementaryangle).另外,如果∠1+∠2=90°
,也可以说∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.如果两个角互余,把两个角粘在一起的话,就构成一个直角.如图4.6.12
图4.6.15同样,如果两个角的和等于一平角(180°
),就说这两个角互为补角,简称互补(supplementaryangle).
图4.6.16
如图4.6.16,∠3+∠4=180°
,所以∠3,∠4互为补角.∠3是∠4的补角,∠4也是∠3的补角例3已知∠α=50°
17'
,求∠α的余角和补角.
解:
∠α的余角=90°
-50°
=39°
43'
,
∠α的补角=180°
=129°
两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4(如图4.6.14),我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角,∠2和∠4也是对顶角.
图4.6.14
例4在图4.6.18中,∠1=30°
,那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?
解
图4.6.15因为 ∠2=180°
-∠1=180°
-30°
=150°
,∠3=180°
-∠2=180°
-150°
=30°
,∠4=180°
-∠3=180°
,由这一例,我们可以发现 ∠1=∠3,∠2=∠4.其实,任意两个对顶角,由于它们都有一个相同的补角,如上图中∠1和∠3都和∠2互补,所以它们是相等的.这也可以简单的说成:
对顶角相等.
练习1.已知∠AOB,用直尺和量角器画出∠AOB的余角,∠AOB的补角及∠AOB的角平分线.
(第1题)
2.说出下列各图中的对顶角
(第2题)
3.有两堵围墙OA、OB,有人想测量地面上所形成的角∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外,请问该如何测量?
(第3题)
习题4.6
1.填空:
(1)77°
42'+34°
45'=;
(2)108°
18'-56°
23'=;
(3)180°
-(34°
54'+21°
33')=.2.时钟的分针,1分钟转了度的角,1小时转了度的角.3.如图,如果∠1=65°
15',∠2=78°
30',∠3是多少度?
4.任意画一个∠AOB,在∠AOB的内部引射线OC、OD,这时图中共有几个角?
分别把它们表示出来.5.两个相等的钝角有一个公共顶点和一条公共边,并且角的其它两边所成的角为90°
,画出该图形,并求出钝角的大小.6.如图,OA表示北偏东40°
方向的一条射线,仿照这条射线画出表示下列方向的射线
(1)北偏东60°
(2)北偏西70°
(3)东北方向(即北偏东45°
)7.72°
20'
的角的余角等于;
25°
31'
的角的补角等于.8.在图中,EF,EG分别示∠AEB、∠BEC的平分线,求∠GEF的度数和∠BEF的余角.
(第8题)
4.7相交线
1.垂线
我们已经知道两条直线相交,只有一个交点(intersectionPoint)。
例如,在图4.7.1中,直线AB与直线CD相交,交点为O。
可以说成“直线AB、CD相交于点O”。
图4.7.1图4.7.2
我们将图4.7.1中的直线CD绕着点O旋转成图4.7.2,当所构成的四个角中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角,此时,直线AB、CD互相垂直(perpendicular),记作“AB⊥CD”,他们的交点O叫做垂足。
在日常生活中,我们经常可以看到互相垂直的直线(如图4.7.3)。
试一试:
经过直线AB外一点P,按图4.7.4所示的方法,画出垂直于直线AB的直线吗?
这样的垂线能画多少条呢?
图4.7.4
在同一平面内,你能经过直线AB上一点P(如图4.7.5),画出垂直于直线AB的直线吗?
图4.7.5
由上述操作可以看到:
在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
在图4.7.6所示的方格纸中,AB与直线BC垂直。
点A与直线BC上各点的距离长短不一,我们可以发现其中最短的应该是线段AB。
线段AB的长度就是点A到直线BC的距离。
请量一量线段AB的长度。
图4.7.6
做一做:
如图4.7.7,按下述口令画出图形:
将位于图中点A处的小海龟向前前进3格,然后向右转90°
,前进5格,然后向左转90°
,前进3格,然后向左转90°
,前进6格,再向右转90°
,后退6格,再向右转90°
,前进1格。
用粗线将小海龟经过的路线描出来,看一看是什么图形。
图4.7.7
1.如图,∠ABD=90°
。
(1)点B在直线上,点D在直线外;
(2)直线与直线相交于点A,点D是直线与直线的交点,也是直线与直线的交点,又是直线与直线的交点;
(3)直线⊥直线,垂足为点;
(4)过点D有且只有条直线与直线AC垂直。
2.在如图所示的各个三角形中,分别画出AB边上的高,并量出三角形顶点C到直线AB的距离。
3.在如图所示的方格纸中,
(1)过点C作线段AB的垂线,垂足为D;
(2)该垂线是否经过格点(格点指的是画方格时的纵向和横向线段的交点)?
如果经过格点,请在图中标出垂线所经过的格点;
(3)量出点C到线段AB所在的直线的距离(精确到1mm)。
2.相交线中的角
我们知道,两条直线相交,可以得到四个角。
如4.7.8,直线a、b相交,得到∠1、∠2、∠3、∠4。
在这些角中,有的相等,有的是互补的。
在一个平面内,一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q,可以说成“直线l截a、b于点P、Q”。
两条直线相交,可得四个角;
两条直线被另一条直线所截,可得八个角。
如图4.7.9,直线l截直线a、b,得到∠1、∠2、…、∠8。
那么这八个角中存在哪些关系呢?
图4.7.8
其中的∠1与∠5这样位置的一对角是同位角(correspondingangles)。
在图4.7.8中,∠2与∠6也是同位角。
图中除了∠1与∠5、∠2与∠6是同位角外,还有没有其他的同位角?
如图4.7.8中,∠3与∠5这样位置的一对角是内错角(alternateinteriorangles)。
图中除了∠3与∠5是内错角外,还有没有其他的内错角?
如图4.7.8中,∠4与∠5这样位置的一对角是同旁内角(interioranglesonsameside)。
图中除了∠4与∠5是同旁内角外,还有没有其他的同旁内角?
试一试:
在图4.7.9中,∠1是直线a、b相交所成的一个角,用量角器量出∠1的度数;
画一条直线c,使直线c与直线b相交所成的角∠2与∠1为一对同位角,且这对同位角度数相等。
图4.7.9
1.如图,直线a截直线b、c所得的同位角有对,他们是,内错角有对,他们是,同旁内角有对,他们是。
2.如图,与∠1是同位角的角是,与∠1是内错角的角是,与∠1是同旁内角的角是。
3.如图,∠1与∠3是同位角吗?
∠2与∠4是同位角吗?
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