集合与容斥原理Word格式文档下载.docx
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=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
=a2c2+2ac·
bd+b2d2+b2c2-2bc·
ad+a2d2
=(ac+bd)2+(bc-ad)2
又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z,从而X1X2∈A
说明:
本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换(0=2abcd-2abcd)。
命题的结论说明集合A对于其中元素的“·
”运算是封闭的。
类似的有:
自然数集合N对于“+”、“×
”运算是封闭的
整数集合Z对于“+”、“-”、“×
有理数集合Q对于“+”、“-”、“×
”、“÷
”运算是封闭的(除数不能是零)
实数集合对于“+”、“-”、“×
”四则运算是封闭的
复数集合对于“+”、“-”、“×
”、乘方、开方运算都是封闭的。
例2.已知集合M={直线},N={抛物线},则M∩N中元素的个数为()
(A)0 (B)0,1,2其中之一
(C)无穷 (D)无法确定
[分析]M中的元素为直线,是无限集;
N中的元素为抛物线,它也是无限集。
由于两集合中的元素完全不同,即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在,故M∩N=φ,选(A)
[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点,N中的元素是抛物线上的点,当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交,相切、相离时,会选(B);
例3.已知
A={Y|Y=X2-4X+3,X∈R},
B={Y∣Y=-X2-2X+2,X∈R}
求A∩B
先看下面的解法:
解:
联立方程组
Y=X2-4X+3 ①
Y=-X2-2X+2 ②
①-②消去Y,得
2X2-2X+1=0 ③
因为Δ=(-2)2-4×
2×
1=-4<
0,方程③无实根,故A∩B=φ
[说明]上述解法对吗?
画出两抛物线的图象:
Y=X2-4X+3=(X-1)(X-3),开口向上,与X轴交于(1,0)、(3,0),对称轴为X=2,纵截距为3;
Y=-X2-2X+2=-(X+1)2+3,开口向下,与X轴交于(-1-√3,0)、(-1+√3,0),对称轴为X=-1,观察可知,它们确实没有交点,但这解答对吗,亲爱的读者?
图1-1-1
回头审视两集合A、B,它们并不是由抛物线上的点构成的点集。
两集合中的元素都是实数Y,即当X∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合,即二次函数的值域集合。
故由Y=X2-4X+3=(X-2)2-1≥-1,Y=-X2-2X+2=-(X+1)2+3≤3,可知A={Y∣Y≥-1},B={Y∣Y≤3},它们的元素都是“实数”,从而有
M∩N={Y∣-1≤Y≤3}
你看,认清集合中元素的构成是多么重要!
二、集合中待定元素的确定
例4.已知集合M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y2)+……+(X2002+1/Y2002)的值等于( ),(据1987年全国高中数学联赛试题改编)。
解题的关键在于求出X和Y的值,而X和Y分别是集合M与S中的元素。
这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集),还会用到它们的简单性质:
(a)相等两集合的元素个数相等;
(b)相等两集合的元素之和相等;
(c)相等两集合的元素之积相等;
对于本题,还会用到对数、绝对值的基本性质。
由M=S知,两集合元素完全相同。
这样,M中必有一个元素为0,又由对数的性质知,0和负数没有对数,所以XY≠0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY)=0,从而XY=1
∴M={X,1,0},S={0,∣X∣,1/X}
再由两集合相等知
当X=1时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X=1不满足题目要求;
当X=-1时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而X=-1满足题目要求,此时Y=-1,于是
X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,……),
X2K+1/Y2K=2(K=1,2,……)
故所求代数式的值为0
例5.设A={X∣X2+aX+b=0} B={X∣X2+CX+15=0}
若A∪B={3,5},A∩B={3},求a,b,c。
由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理),结合∩、∪的概念入手,可以寻得解题的突破口。
由A∩B={3}知3∈B,由韦达定理知
此时,B={3,5}=A∪B
又由A∩B={3}知5
A;
而(A∩B)
A
(A∪B),故A={3},即二次方程X2+aX+b=0有二等根X1=X2=3,根据韦达定理,有X1+X2=6=-a,X1X2=9=b
所以,a=-6,b=9,c=-8
三.有限集元素的个数(容斥原理)
请看以下问题:
开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?
只参加游泳一项比赛的有多少人?
解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题(请读者参阅高中教材《数学》第一册(上)P23-P23阅读材料“集合元素的个数”。
)
为此我们把有限集合A的元素个数记作card(A)
可以证明:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)
-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)
+card(A∩B∩C)
如下图所示:
由图1-3-1,有
card(A∪B)=①+②+③=(①+②)+(②+③)-②=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(Cu(A∪B))=card(U)-card(A∪B)=card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)
又由图1-3-2,有
card(A∪B∪C)=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦=(①+④+⑤+⑦)+(②+⑤+⑥+⑦)+(③+④+⑥+⑦)-(⑤+⑦)-(⑥+⑦)-(④+⑦)+⑦=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
现在我们可以来回答刚才的问题了:
设A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同学}
则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28
且card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0
由公式②得28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0
即card(B∩C)=3
所以同时参加田径和球类比赛的共有3人,而只参加游泳比赛的人有15-3-3=9(人)
例6.计算不超过120的合数的个数
分析1:
用“筛法”找出不超过120的质数(素数),计算它们的个数,从120中去掉质数,再去掉“1”,剩下的即是合数。
解法1:
120以内:
①既不是素数又不是合数的数有一个,即“1”;
②素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30个。
所以不超过120的合数有120-1-30=89(个)
(附:
筛法:
从小到大按顺序写出1-120的所有自然数:
先划掉1,保留2,然后划掉2的所有倍数4,6,…120等;
保留3,再划掉所有3的倍数6,9…117、120等;
保留5,再划掉5的所有倍数10,15,…120;
保留7,再划掉7的所有倍数,…这样,上面数表中剩下的数就是120以内的所有素数,这种方法是最古老的寻找素数的方法,叫做“埃斯托拉‘筛法’”)
当n不很大时,计算1-n中的合数的个数困难不大;
但当n很大时,利用筛法就很困难、很费时了,必须另觅他途。
[分析2]受解法1的启发,如果能找出1-n中质数的个数m,则n-1-m就是不超过n的合数的个数。
由初等数论中定理:
a是大于1的整数。
如果所有不大于√a的质数都不能整除a,那么a是质数。
因为120<
121=112,√120<
11,所以不超过120的合数必是2或3或5或7的倍数,所以只要分别计算出不超过120的2、3、5、7的倍数,再利用“容斥原理”即可。
解法2:
设S1={a∣1≤3≤120,2∣a};
S2={b∣1≤b≤120,3∣b};
S3={c∣1≤3≤120,5∣c};
S4={d∣1≤d≤120,7∣d},则有:
card(S1)=[120/2]=60,card(S2)=[120/3]=40,card(S3)=[120/5]=24,card(S4)=[120/7]=17;
([n]表示n的整数部分,例如[2,4]=2,…)
card(S1∩S2)=[120/2×
3]=20,card(S1∩S3)=[120/2×
5]=12,
card(S1∩S4)=[120/2×
7]=8,card(S2∩S3)=[120/3×
5]=8,
card(S2∩S4)=[120/3×
7]=5,card(S3∩S4)[120/5×
7]=3,
card(S1∩S2∩S3)[120/2×
3×
5]=4,card(S1∩S2∩S4)=[120/2×
7]=2,
card(S1∩S3∩S4)=[120/2×
5×
7]=1,card(S2∩S3∩S4)=[120/3×
7]=1,
card(S1∩S2∩S3∩S4)=[120/2×
7]=0
∴card(S1∪S2∪S3∪S4)=card(S1)+card(S2)+card(S3)+card(S4)-card(S1∩S2)-card(S1∩S3)-card(S1∩S4)-card(S2∩S3)-card(S2∩S4)-card(S3∩S4)+card(S1∩S2∩S3)+card(S1∩S2∩S4)+card(S1∩S3∩S4)+card(S2∩S3∩S4)-card(S1∩S2∩S3∩S4)=(60+40+24+17)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=93
∵2,3,5,7是质数
∴93-4=89
即不超过120的合数共有89个。
四、有限集合子集的个数
问题:
(1)集合{a}一共有几个子集?
(2)集合{a,b}一共有几个子集?
(3)集合{a,b,c}一共有几个子集?
(4)集合{a,b,c,d}一共有几个子集?
(5)猜想集合{a1,a2…,an}一共有几个子集?
(6)利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数:
{1,2}
M
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。
有限集合{a}的子集有:
φ,{a};
共两个
有限集合{a,b}的子集有:
φ,{a},{b},{a,b};
共4=22个;
有限集合{a,b,c}的子集有:
φ;
{a},{b},{c};
{a,b},{a,c},{b,c};
{a,b,c};
8=23个;
有限集合{a,b,c,d}的子集有:
{a},{b},{c},{d};
{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d};
{a,b,c,d};
共16=24个。
这里,{a,b,c,d}的子集可以分成两部分,一部分不包括d,是{a,b,c}的子集;
另一部分包括d,是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。
循此思路,注意到2,4=22,8=23,16=24的规律,可以猜想有限集合{a1,a2…,an}的子集共有2n个,其中非空子集有2n-1个;
真子集也有2n-1个,非空真子集有2n-1-1=2n-2个。
利用上述猜想,问题(6)中集合M的个数应当有28=256个。
例7.一个集合含有10个互不相同的两位数。
试证,这个集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。
两位数共有10,11,……,99,计99-9=90个,最大的10个两位数依次是90,91,……,99,其和为945,因此,由10个两位数组成的任意一个集合中,其任一个子集中各元素之和都不会超过945,而它的非空子集却有210-1=1023个,这是解决问题的突破口。
已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有210=1024个子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过90+91+…98+99=945<
1023,根据抽屉原理,一定存在2个不同的子集,其元素之和相等。
如此2个子集无公共元素,即交集为空集,则已符合题目要求;
如果这2个子集有公共元素,则划去它们的公共元素即共有的数字,可得两个无公共元素的非空子集,其所含参数之和相等。
此题构造了一个抽屉原理模型,分两步完成,计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”,计算非空子集得1023个“苹果”,由此得出必有两个子集数字之和相等。
第二步考察它们有无公共元素,如无公共元素,则已符合要求;
如有公共元素,则去掉相同的数字,得出无公共元素并且非空的两个子集,满足条件。
可见,有限元素子集个数公式起了关键作用。
例8.设A={1,2,3,…,n},对X
A,设X中各元素之和为Nx,求Nx的总和
A中共有n个元素,其子集共有2n个。
A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次,(为什么?
因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类,一类是不含i的,它们也都是{1,2,…,i-1,i+1,…n}的子集,共2n-1个;
另一类是含i的,只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。
因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时,A中每一个元素都加了2n-1次,即出现了2n-1次,故得
=1×
2n-1+2×
2n-1+…+n……2n-1
=(1+2+…+n)·
2n-1
=n(n+1)/2×
=n(n+1)×
2n-2
这里运用了整体处理的思想及公式1+2+…+n=(1/2)n(n+1),其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。
得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次,是打开解题思路之门的钥匙孔。
习题一
1、化简集合
2、设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b
3、高一
(1)班的学生中,参加语文课外小组的有20人,参加数学课外小组的有22人,既参加语文小组又参加数学小组的有15人,既未参加语文小组又未参加数学小组的有15人。
问高一
(1)班共有学生几人?
4、设非空集合A
{1,2,3,4,5,6,7},且当a∈A时必有8-a∈A,这样的A共有( )个。
5、已知A={296的约数},B={999}的约数,则card(A∩B)=( )
6、对于集合
A={X∣X=3n,n=1,2,3,4}
B={X∣X=3k,k=1,2,3}
若有集合M满足A∩B
A∪B,则这样的M有多少个?
参考答案
1.A={(11/13,-3/13)},(列举法)或
(描述法)
2.A=-1,b=0
3.47个
4.15个
5.2,A∩B={1,37}
6.共8个
易知A={3,6,9,12}B={3,9,27},故
A∩B={3,9},A∪B={3,6,9,12,27},故M可以这样构造
问题归结为求N的个数,要即集合{6,12,27}的子集数,所以M有23=8个。
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