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所以,对于一次巨大的成功,没有什么可值得骄傲。
这就是第一条非常基本的原则。
因此,当谈到投资组合管理时,其意思就是管理能带来经济利益的任何事情。
这个理论的基本想法是,通过投资组合中的收益均值和方差,来度量投资的收益率。
当然,在任何给定的时间段的收益率,就是投资组合收益的增长比例。
这也可能是一个负数,表示收益减少了。
其原则是:
当给定方差时,希望预期收益率要尽可能的高;
当给定收益率时,希望投资组合的收益方差要尽可能的低。
由于高的预期收益率是好事,所以,当一个投资组合的预期收益率为12%时,就比收益率为10%的要好;
而另一方面,都不想要高的方差,因为那是风险。
所以,这两个参数都至关重要。
在实际中,不同的人会有不同的选择,即,为获得高的预期收益,选择能承受多大的风险。
最终,任何人都会同意,在一定的前提下,当比较具有相同方差的两个投资组合时,都会要预期收益率高的投资组合;
当比较具有相同预期收益率的两个投资组合时,都会要方差小的投资组合。
更直观的来解释,假设我们有很多只不同的股票,可以放入一个投资组合中,并假设这些股票都是相互独立的,即这些股票不存在相关性,在第二节课时讲过相关性。
这里要讲一下等权重的投资组合(equally-weightedportfolio)。
假设有n个相互独立的资产,可以是股票;
每一项资产的收益率标准差为,且都相同;
这些资产的预期收益率为r。
还有平方根定律(thesquarerootrule),说的是,投资组合的标准差为:
portfolio=/n1/2这是特例,因为假设了这个投资组合里的资产是相互独立的,而这不是实际情况。
这像一个保险,在人寿保险中,当对人的寿命作保险时,作保险的就假设,每个人的死亡都是相互独立的。
将作保险的情境转换为投资组合管理的问题,可以看到是一样的想法。
这里所假设的特例,是指一个等权重的投资组合。
这是一个很重要的要点,看看上面写出的非常简单的数学式子,投资组合的收益率为r,(投资组合的标准差portfolio为每项资产的)标准差除以n的平方根。
如果人们生活在这样的世界,就可以做到最佳的事情,即,尽可能增大n,由此就能大幅度地减小投资组合的标准差。
而且,从预期收益率的角度来看,这样做的成本为零。
在这个简单的例子中,可以取n为100或1000,或可取的任意数。
假如能够找到10000项独立的资产,就可将这个投资组合的风险降到几乎为零,因为10000的平方根是100,无论单个的标准差是多大,除以100以后就变得确实很小了。
如果能找到这样相互独立的资产,就能在很大程度上缩小这个投资组合的方差。
这就是投资多元化的基本原则。
这也是设想所有投资经理一直在做的事情。
下面由此特例引向更普遍一些,举出真实的案例。
在现实世界中,不存在资产是独立的问题,不同的股票会一起上涨和下跌,不会像上面所讲的理想世界。
但是,对于我们所做事情的某些范围内,还是要以这样的思路来考虑现实世界中的多元化。
考虑建立这样的一个投资组合,其中的各项资产不是相互独立,而是相互关联。
请注意,这里去掉了“相互独立”的假设,下面还要去掉其他的一些假设。
假设资产的预期收益率不是相同的,方差也不是相同。
下面以两项资产为例来说明,即n=2,这两项资产不是独立的,或说不需要是独立的。
第一项资产的预期收益率为r1;
收益率标准差为1;
第二项资产的预期收益率为r2;
收益率标准差为2;
这些是分析的输入参数。
要注意,已经说过,这些参数不是独立的。
所以,需要有收益之间的协方差(covariance),即r1和r2之间的协方差cov(r1,r2),也称作12。
下面计算这个投资组合的均值(mean)和方差(variance)或标准差(standarddeviation)。
因为对不同的投资组合,标准差都是方差的平方根。
从刚才讲的简单特例来推论,这里不假设具有相等的权重,假设用于投资的数额,其可大可小都没关系,就设为1美元;
当在资产1投入x1美元,则剩下的(1-x1)美元投入到资产2;
这里不严格规定x1是个正数,正如大家所知或应该知道,你可以拥有负量值的资产,称为做空(shortingthem)。
你可以给你的经纪人打电话,告诉他,我要做空一号股票(toshortstocknumberone),那经纪人要做的事,就是代表你借进股份,然后卖掉,这样你就拥有了负值的股份。
所以,x1可以是任何数。
注意:
x2=1-x1,因此,x1+x2=1。
现在就可以计算这个投资组合的均值和方差了,都是简单的运算,是前面讲过的。
投资组合的均值和方差将取决于x1。
如果令x1=1,投资组合的均值和方差就是资产1的均值和方差值;
如果令x1=0,投资组合的均值和方差就与资产2的均值和方差值相等;
但是,如果x1是在0与1之间的任意值,那么均值和方差就会是这两项资产各自均值和方差的综合结果。
即,投资组合的预期收益率r=xi*ri(i=1-n)=x1r1+x2r2(本例子n=2)=x1r1+(1-x1)r2(本例子x1+x2=1)投资组合的方差2=x1212+x2222+2x1x212=x1212+(1-x1)222+2x1(1-x1)12其中x1可选为任意值,可以是从负无穷到正无穷的数。
以上公式表明,只要给出x1的任意值,就可以计算出r是多少;
2是多少。
根据这些数据,由此就能描绘出投资中所具有的各种机会。
下面要解出r和x1的等式,并用r来改写方差的式子,得出投资组合的方差为预期收益率的函数。
即,(由第一式可得)r-r2=x1(r1-r2)x1=(r-r2)/(r1-r2)代入第二式,就得出投资组合的方差是预期收益率r的函数。
以上就是我们需要的所有基础数学。
通过这些式子,还能得出所谓的投资组合的边界(希勒在屏幕上示出图例)。
该例子有两项资产,Y轴表示预期年收益率r,X轴表示投资组合收益的标准差,所形成的曲线有点像双曲线形状(顶点横对着Y轴),存在最小方差的投资组合(即这个顶点),即这点的值是(曲线上值)最小的。
沿着这条曲线,表示有许多其他可能的投资组合。
曲线所包含的各个点,表示各项初始资产。
例如,这个点表示一号资产,那个点表示二号资产。
根据各项资产的预期收益率和标准差在哪,就能看到如何(投资)更好,如(顶点的)方差值就比(刚才假设的那两点资产的)方差值要小。
前面刚提过的等权重例子,是指两项资产具有相同时预期收益率、相同的方差。
而不相同的情况更加普遍。
以上就是预期收益率和有效组合边界的问题。
希勒示出用实际数据计算的一个图例。
图中有一条曲线(粉色线)是两项资产(股票和政府债券)的投资组合,是用刚才讲的公式,计算出了这两项资产不同组合的有效边界。
在曲线上不同的点,是希勒采用从1983年到2006年的数据代入公式计算出来的,计算出那个时间段的股票平均收益率和债券平均收益率。
这些债券是长期政府债券,由于是长期债券,就存在不确定性和变化性。
希勒先计算出1、2、r1和r2,再代入刚才讲的公式,就得到了这条曲线。
曲线示出,投资组合的收益标准差作为投资组合预期收益率的一个函数。
从曲线上,可以得到任何组合,也就是通过选择投资组合的一个配置,在曲线上就有相应的一个点。
例如,在曲线上的这一点,是一个100%债券的组合,在这个时间段里,这个投资组合的预期收益率是9%多一点,而标准差是9%多一点。
在曲线上的这一点,是一个100%股票的组合,这个投资组合的平均收益率或预期收益率要高得多,大约为13%,但是,其收益的标准差也高得多,大约为16%。
这是两种单一的投资组合情况,意味着投资者只投资债券,或只投资了股票。
曲线上也示出了其它一些各种组合的收益。
在投资组合方差最小的点上,这个组合的预期收益标准差是最小的,这个组合在样本期是25%的股票和75%的债券。
还有其他的组合,例如这一点,是50%的股票和50%的债券,在这点的上面,也可以取到超过100%股票的投资组合,比如取150%股票的投资组合,这意味着,取了一个杠杆化的投资组合,需要借贷。
如果你有1美元用于投资,同时能借到0.5美元,投资了价值1.5美元的股票,就会落到这个点(150%股票)上,将会获得非常高的收益,但也具有更多的风险。
(因为)借钱买股票将会有风险。
你也可以选择下面的一个点,高于100%债券的组合,怎样做呢?
你可在股市做空,卖掉价值0.5美元的股票,购买价值1.5美元的债券,就能落到这点上了。
以上的任何一种组合都是有可能的,都是刚才讲过的简单数学计算。
在这种情况下,你会怎么做呢?
如果你是一个投资者,不喜欢风险,那你不会选择(曲线上顶端)这里以下的任何点,因为在这些点上不会有所获得。
而移动在其上一点,就会好一些,就能获得较高的预期收益率,但是没有更多的风险。
这是不是显得复杂化了呢?
先从一个简单的想法开始说起,那就是,谁也不想把所有的鸡蛋放到一个篮子里。
如果你有许多相互独立的股票,都赋予相同权重,现在看到,有许多种投资组合,你选择投资组合的结果,可以是曲线上的任何一点。
希勒在这里说道,我不用告诉你要去做什么,这不用说,你也不会选择一个低于最小方差的资产组合的那些点。
因为如果你选了,那你就总是处于劣势。
你总是可以找到一个投资组合,具有较高的预期收益率,而标准差一样。
此外,如果仅限于股票和债券,那你可以沿着这条边界曲线,进行多种尝试了。
这就是所谓的有效投资组合边界。
(在曲线上)可以选择任意一点,取决于你承受多大的风险,取决于所期望的预期收益率。
下面讨论具有三项资产的情况,实际上,可以是任何数量的资产。
相同的公式能扩展应用于更多的资产情况。
这里假设拥有三项资产,要计算有效组合边界,计算投资组合的均值和方差。
示例图形是希勒已经计算好的关于三项资产的有效组合边界。
这里n=3,在图中是股票、债券和石油等三项资产,石油是非常重要的资产。
现在涉及许多输入(参数),这些输入是:
r1、r2和r3分别是三项资产的预期收益率;
还有三种资产收益的标准差1、2、3;
以及三项资产的每两项之间的协方差12、13、23。
以上参数对于计算三项资产的有效组合边界,都必须知道。
为了做出示例图形,希勒就是这样计算的。
希勒计算了从1983年以来每年的股票、债券和石油的收益率,计算出平均收益率,作为预期收益率;
还算出标准差、协方差。
再将这些参数代入在第二节课讲的各项公式。
投资组合的预期收益率是多少?
要计算出来,就必须选出三个值:
x1、x2和x3,分别是投入三项资产的金额,在这里限定三者之和为1,即x1+x2+x3=1。
那么,投资组合的预期收益率为r=x1r1+x2r2+x3r3其方差为:
2=x1212+x2222+x3232+2x1x212+2x1x313+2x2x323这就是将公式进行逻辑性扩展而应用于三项资产的情况。
很容易看出,怎样扩展到四项或更多项资产的情况。
这只是逻辑性的扩展。
在希勒作出的示图中,计算了三项资产的有效组合边界(蓝色线)。
当所拥有的资产超过三项或两项时,就有可能取到边界里面的点。
而边界表示了三项资产最好的可能组合。
在示图中,(三项资产组合的)蓝色曲线比(两项资产组合的)粉色曲线更具优势。
(这说明),当增加了另一项资产,拥有三项资产时,就变得更好。
这是由于拥有三项资产比拥有两项资产具有了更加多样化的可能性。
石油、债券和股票都是相互独立的,这只是在一定程度上,不是绝对的。
但是,在一定程度上的相互独立,在其一定范围内,就能减小方差。
这可看到蓝线比粉线好。
因为,对于任何的期望收益率,蓝线都在粉线的左边。
例如,在年期望收益率12%时,如果有股票、债券和石油的投资组合,其标准差为8%;
如果只是股票和债券的投资组合,标准差就会高得多。
这就很清楚了吧。
投资组合管理的一般原则是,要尽可能地包含最多的资产。
如果能保持不断加入资产,那么投资组合的标准差就会越做越小。
希勒在(示图中三项资产组合的)蓝色曲线上标出了一些点,有一个点的投资组合全是石油和股票,没有债券;
而最小方差的点的投资组合是9%的石油、27%的股票和94%的债券;
还有其他不同投资组合的点,都可以选择。
首先,这个思路是,为了管理投资组合,我们需要做的是计算这些统计数据,包括各种资产的预期收益率、标准差、协方差(上述公式涉及的参数)。
因为这些数据对投资组合的变化性有影响作用。
这些参数的共变性越多,就会一起趋动变化,相互抵消的趋势就越少。
所以,一般来说,(从公式可以看到)协方差越大,投资组合的方差2就越高。
在这三项资产的基础上,还可以加入一项资产,称为无风险资产(risklessasset)。
(我们知道)由于长期债券是长周期的,是有些不确定性和可变性。
如果能掌握所研究资产的年度收益,就可以找到一项具有年度收益的完全无风险资产,这可以是一年期的政府债券。
现在,假设我们信任政府,比如美国政府,从未拖欠过债务,就可以将其当作无风险收益。
这可能具有一些风险,但在金融学上采取了近似事实的方法,就可将政府债券视为无风险。
我们将具有政府预期收益率的债券作为第四项资产,预期收益率记为r4,或记作rf。
这是一项特殊的资产。
rf为无风险资产的预期收益率。
因此,对于这项资产,f=0。
我们将这项资产作为第四项资产,将利用这项资产的特殊性质,即没有风险。
而且,第四项资产与其他各项资产之间的协方差都是0,如1f=0,等等。
这项资产没有任何风险,没有任何变化。
如果我们把这项资产加入到投资组合中,其起到什么作用呢?
加入后所形成的有效组合边界就是一条直线。
在示图中也表示出来了。
所能得到的最好的、可能的投资组合,就是这条直线上的所有点。
这就是有效组合计算的最终样子。
讲到这里所得出最终结果,就是有一个非常重要的原则:
要尽所能,总是要降低投资组合的方差。
这意味着,最终是在(这有效组合曲线上)选定一个点。
这条直线与有效组合边界相切,而有效组合边界包含了所有的资产组合配置,直线与有效组合边界相切,意味着两者(在这点上的)斜率相同,直线与包含风险资产的有效组合边界在这点上正好相交,包含风险资产的有效组合边界的斜率就是一条过切点的直线。
以上所讲内容,是怎样计算投资组合管理,如果你是投资组合经理,你所要做的,就是要估算出以上公式中的输入参数,即预期收益率、标准差、协方差;
需要对所有的风险资产做一个统计分析,获取到这些资产的预期收益率、方差、协方差,得到这些参数后,再算出没有无风险资产的有效组合边界。
最后,找出一条切线,与无风险资产直线的斜率相同(图上没有标出这条直线),经过标准差为0和收益率5%的交点,与风险资产有效组合边界曲线相切交于一个点,从这个点起,切线高于风险资产有效组合边界曲线,即在相同方差下,具有更高的预期收益率。
这就是有效组合计算的理论。
还有一个基本原则,将引出本课程惯例性话题,这就是,当有且只有一种切线投资组合画出来时,是一条穿过x轴的,与无风险资产直线斜率相同,并与有效组合边界曲线相切的直线。
切线投资组合就是应该持有的投资组合。
由切线投资组合上升到金融学的共同基金定理,即,所有投资者所需要的,只是一份单一的共同基金。
共同基金是一种投资工具,允许投资者持有一种投资组合。
共同基金定理是指,所有人都应该持有切线投资组合。
那么,为何人们不设立一个公司,创造这样的投资组合?
投资者可以买进这样的投资组合呀。
如果以上关于股票、债券和石油的期望收益率、标准差和协方差估算正确,假设收益率为5%,即在x=0时过y=5%这一点,就是在y轴的截距为5%。
所有人都应该持有切线投资组合。
在上面的例子中,哪个是切线投资组合?
是12%石油、36%股票和52%债券的组合,这是用取样周期数据得出的结果。
也许有人不同意这种结果,他们采取不同的估计值,会认为这样的取样周期有问题。
对此,希勒认为,他是根据理论,采用取样周期的数据计算出预期收益率和协方差,由此得出应该怎样做的结果。
从理论上讲,每个人都应该以这样的比例进行投资,并没有为个人选择留下任何空间,你只是能选择想要什么种类的共同基金与无风险资产的组合。
有些极度厌恶风险的人们会说,我想只持有无风险的资产,我不喜欢有任何风险。
那可以获得5%的预期收益率,没有风险。
另外的一些人们会说,我就按这个点来投资,我想持有切线投资组合,那太有诱惑了,因为可以获得较大的预期收益率,每年都可以获得12%左右的收益,我愿意做出牺牲;
这个组合的标准差虽然大约为8%,但是,如果收益正是我想要的,我对风险能够承受,那这就是最佳的选择了。
还有其他的人们会说,如你所知,我就是一个冒险家,不在乎什么风险,就想要获得更高的收益。
这样的人会在(切点上面、超出有效边界的线段)这里选点,这是一个杠杆化的投资组合,在无风险利率处借贷,投入多于本金的更多资金,保持在切线投资组合。
这就是说,你有1美元,又借来50美分,将1.5美元投入到一个组合,即9%石油、27%股票和64%债券。
每个人都这样做,没人持有一些其他的投资组合,因为这条线是最靠左的,人们都要求越靠左越好(标准差越小),都要求在任何给定的预期收益率下,希望将标准差最小化。
而这条线是最左边的线,这就意味着,每个人都将持有相同的投资组合。
希勒说,我不觉得我的分析是含义深刻的最终答案,只是用所采集的数据做了大概的估计。
希勒再次强调,如果有人要与我们争论,他们会对所估计的预期收益率、标准差和协方差的估值提出争议,但不会对这个理论争议,这个理论是非常严密的。
如果你认同所作出的估计值,那么作为投资者,就会这样去做,应该只持有切线投资组合比例的投资组合,即9%石油、27%股票和64%债券。
(回顾一下)在开始先讲了等权重,又讲了股票,是关于n个具有相同方差的股票,都是相互独立的,后来放弃了这个假设,现在已经考虑到相互的相关性,考虑到具有不同的预期收益率、不同的协方差和方差,这就是所讲的内容。
这是一个著名的框架,这张图形是所有金融学理论中最有名的图表,确实是第一幅理论图形。
这张图是希勒按照自己采集的数据画出来的,但是,有效组合边界的图形大致都像这个样子,只是根据人们采集不同的估值,曲线的位置略有不同。
希勒曾经展示过这张图。
那是希勒与他的同事去挪威,与挪威政府讨论他们的投资组合,希勒给他们展示的幻灯片就包括这张图。
希勒研究了挪威政府的资产状况,挪威政府拥有退休基金资产,在2006年约为2万亿挪威克朗,还拥有北海油田,但那是挪威与英国分享的,挪威的人口比英国少得多,而拥有北海的大量石油,希勒计算出挪威拥有的石油价值约为3.5万亿挪威克朗。
可以看出区别了吗?
就是说,挪威政府所持有的资产中,是约三分之二的石油和三分之一的政府退休基金。
这部分政府退休基金换算成美元,大约为2000亿,他们管理的可是一大笔钱呀。
希勒试图说服他们(笑),要采取一些措施,管理拥有石油的风险,因为太过于倾重石油了。
(挪威政府的投资)是在有效组合边界的哪里呢?
他们的投资组合中拥有64%石油,位于图上的哪里呢?
已经到图的外面了。
(因为所画的图示中)最远的点是28%石油,所以离得更远。
挪威政府做错的是什么呢?
关于这点有一些争议,希勒向他们指出了问题,第二天报纸就登出来了。
挪威政府在投资因素上太偏了,因为石油是一项如此多变的资产,而他们却把这么大部分的资产与石油捆绑在一起。
(在挪威)希勒听到一些说法,他去到挪威财政部,也去了挪威银行即挪威的中央银行,他感觉,从那里所得到的回答都是“是的,你是对的”。
希勒说,他从来没有得到过像这样的答复(笑),这是有条件的同意,“是的,挪威应该管理这样的石油风险,但在政治上很困难,问题在于,挪威政府不能做到最优的管理”。
也许在结构上存在不少问题,阻碍他们的行动。
希勒认为,挪威会向着那个方式前进,未来会看到的。
希勒去过墨西哥银行,与行长见面,试着告诉他们,墨西哥过于依赖石油了,石油(占比)太多了,就必须去掉石油的风险。
希勒还要去俄罗斯平准基金(theRussianStabilizationFund)。
在三月份时,希勒在莫斯科与他们会面达成共识,希望再得到俄罗斯的回应。
石油对俄罗斯经济是非常重要的,而他们在管理风险方面做得好吗?
希勒说“我打赌(他们做得)不好”,希勒将给俄罗斯做一张类似的图(笑)。
希勒认为,像阿拉伯的、波斯湾附近的国家,都确实有类似的问题。
在世界经济论坛(theworldEconomicForum)上,希勒与人们讨论过这个问题,有些国家实在是依赖于石油,因此他们确实应该计算出有效组合边界。
这门课的给出的教训之一,就是我们拥有精彩的理论,但几乎没有管理好。
这并不是在批评那些国家,同样的批评也能用在美国(笑)。
美国处于不同的状况,当考虑美国拥有石油时,会在有效边界的哪一点呢?
相对于投资组合的规模,美国没有太多的石油,美国的石油储备量非常小,在图中的位置会在粉色线的上面一点,所以,美国也没有形成最佳投资组合。
希勒在这里建立了一个理论框架,以石油为例,是希望能够清楚地说明所谈到的内容。
下面讲不要“粘上”风险。
希勒在世界经济论坛上,与一位来自波斯湾国家的人讨论过这个问题。
希勒问他,“你们如此依赖石油,就不担心吗?
”他回答,当然,我们很担心,国家GDP和政府收入的一大部分都与石油相关。
大家看到石油的价格一路飙升,最近已经升到每桶100美元,而在上世纪九十年代末,每桶不到二十美元。
人们都不知道石油价格会走到哪里。
希勒认为,这些国家在某种程度上,都试着管理这种石油风险,但是,他们还不能达到有效边界。
事实表明,美国也没有达到有效边界,所以,在金融领域还有大量的事需要去做。
下面写出一个等式,与资产的预期收益率相关,称作资本资产定价模型(CapitalAssetPricingModel)。
在金融学中,资本资产定价模型是最著名的模型,缩写为CAPM,希勒笑称,很抱歉,在这里就不细讲了,这里面有很多的前因后果,可以从金融理论课程(ECON25
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