完整版初中数学实际问题与二次函数详解与练习含答案Word文档下载推荐.docx
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625平方米。
2故当x=25米时,养鸡场的面积最大,养鸡场最大面积为
如果设养鸡场的宽为x,上述函数关系式如何变化?
请读者自己完成。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
2
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
2
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗?
若能,求出两段铁丝的长度;
若不能,请说明理由.
(1)解:
设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x)cm
20x2)17解得:
x116,x244
当x116时,20-x=4;
当x24时,20-x=16由题意得:
()(2x4
答:
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
(2)不能。
理由是:
设第一个正方形的边长为xcm,则第二个正方形的边长为
围成两个正方形的面积为ycm,
yx2(5x)22x210x25,
∵yx2(5x)22x210x25中,a=2>0,∴y有最小值,2204x(5x)cm,4
b1054acb2422510225时,ymin即当x=12.5>12,2a2224a422
故两个正方形面积的和不可能是12cm.
练习1、如图,正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上,若AE=x,正方形EFGH的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)正方形EFGH有没有最大面积?
若有,试确定E点位置;
若没有,说明理由.
2
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1如图
(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当
水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽
4m.如图
(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式
是.
图
(1)图
【解析】试题分析:
由图中可以看出,所求抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,可设此函数解
2析式为:
y=ax,利用待定系数法求解.
试题解析:
设此函数解析式为:
y=ax,a¹
则-2=4a即得a=-2y=-12x.20;
那么(2,-2)应在此函数解析式上.112,那么y=-x.22
考点:
根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面中心,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状如图
(1)所示.图
(2)建立直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与
2水平距离x(米)之间的关系是yx2x5.请回答下列问题:
4
(1)柱子OA的高度是多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?
2.一座桥如图,桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米.要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米.
(1)如图1,若把桥看做是抛物线的一部分,建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式;
②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?
(2)如图2,若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径;
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数:
y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(6分)
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3分)
(3)物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×
销售量)(3分)
答案:
(1)35;
(2)30或40;
(3)3600.
【解析】
试题分析:
(1)由题意得,每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数,根据利润=(定价-进价)×
销售量,从而列出关系式;
(2)令w=2000,然后解一元二次方程,从而求出销售单价;
(3)根据函数解析式,利用一次函数的性质求出最低成本即可.
(1)由题意得出:
Wx20yx2010x50010x2700x10000,∵a10<
0,b35,2a
∴当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.
(2)由题意,得:
10x2700x100002000,
解这个方程得:
x1=30,x2=40.
∴李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a10<
0,∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,W≥2000.
∵x≤32,∴当30≤x≤32时,W≥2000.
设成本为P(元),由题意,得:
P2010x500200x10000,
∵k=200<0,∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时,P最小=3600.
想要每月获得的利润不低于2000元,每月的成本最少为3600元.
二次函数的应用.
练习1.某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具,市场调查发现,若以每只50元的价格销售,平均每天销售90只,单价每提高1元,平均每天就少销售3只.
(1)平均每天的销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为;
(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元/只)之间的函数关系式;
(3)物价部门规定每只售价不得高于55元,当每只玩具的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大利润是多少元
2.为了落实国务院的指示精神,地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:
y2x80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少元?
3.某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:
销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系
yax2bx.当x1时,y1.4;
当x3时,y3.6.
信息2:
销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y0.3x.根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
4.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:
y10x500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
5.某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔,物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个,根据以往经验:
以12元/个的价格销售,平均每周销售签字笔100个;
若每个签字笔的销售价格每提高1元,则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.
(1)该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个(用含x的式子表示);
(2)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w(元)与销售价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)当x取何值时,该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大?
6.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.
(
2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?
请求出公司的最大月收益是多少元.
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8,如图9,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°
,
BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速
运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面
积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线
运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的
速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间为t秒(0≤t
2≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm.
①求S关于t的函数关系式;
②求S的最大值.
(1)当点P运动2秒时,AP=2cm,由∠A=60°
,知AE=1,PE
.
∴SΔAPE=.2
(2)①当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,设PM与AD交于点G,QN与AD交于点F,
tt,QF=t,AP=t+2,AG=1+,PG=3t.2222
3∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.t22
当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G,QN与AD交于
tt,DF=4-,QF=t,BP=t-6,CP=10-t,PG=(10t),222
532t3t34.而BD=4,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=8
当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点G,QN与DC交于点F,则则AQ=t,AF=点F,则AQ=t,AF=CQ=20-2t,QF=(20-2t
,CP=10-t,PG=(10t).
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=332t3t.2
(0t6)2故S关于t
的函数关系式为S(6t8)2(8t10)
7当6≤t≤8时,S的最大值为62
当8≤t≤10时,S的最大值为6所以当t=8时,S有最大值为63.
②当0≤t≤6时,S的最大值为
参考答案
一、1
22
(1)y=2x-2ax+a
(2)有.当点E是AB的中点时,面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.
(1)先由AAS证明△AEF≌△DHE,得出AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,再根据勾股定理,求出2
EF,即可得到S与x之间的函数关系式;
(2)先将
(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式,再根据二次函数的性质即可求解.解:
∵四边形ABCD是边长为a米的正方形,∴∠A=∠D=90°
,AD=a米.∵四边形EFGH为正方形,∴∠FEH=90°
,EF=EH.在△AEF与△DHE中,
∵∠A=∠D,∠AEF=∠DHE=90°
-∠DEH,EF=EH
∴△AEF≌△DHE(AAS),
∴AE=DH=x米,AF=DE=(a-x)米,
2222222
∴y=EF=AE+AF=x+(a-x)=2x-2ax+a,
即y=2x-2ax+a;
a2a2
(2)∵y=2x-2ax+a=2(x-)+,
24
∴当x=
a
时,S有最大值.2
故当点E是AB的中点时,面积最大.
二、练习1
(1)
955
(2)(3)442
【解析】本题考查了二次函数的应用.
(1)本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式,从而得出y的值,即可求出答案.
(2)通过抛物线的顶点坐标求得(3)本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子,再得出x的值,即可求出答案.解:
(1)把x=0代入抛物线的解析式
55
,即柱子OA的高度是44
92
=1时,y=,即水流距水平面的最大高度
(2)由题意得:
当x=
42
(1)
得:
y=
(3)把y=0代入抛物线
155
=0,解得,x1=(舍去,不合题意),x2=
224
5
故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外
x2x
2.
(1)①y
12
x4;
②10;
(2)①14.5
;
②25
【解析】试题分析:
(1)①利用待定系数法求函数解析式即可;
②根据题意得出y=3时,求出x的值即可;
222
(2)①构造直角三角形利用BW=BC+CW,求出即可;
②在RT△WGF中,由题可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5,根据勾股定理知:
GF=WF﹣WG,求出即可.
(1)①设抛物线解析式为:
yax2c,∵桥下水面宽度AB是20米,高CD是4米,
1
a100ac0
∴A(﹣10,0),B(10,0),D(0,4),∴,解得:
25,∴抛物线解析式
c4c4
为:
y
25
x4,解得:
x5,∴EF=10米;
②∵要使高为3米的船通过,∴y3,则3
(2)①设圆半径r米,圆心为W,∵BW=BC+CW,∴r2(r4)2102,解得:
r14.5;
GF=WF﹣WG,即GF=14.5﹣13.5=28,所以
GF=
EF=
1.二次函数的应用;
2.垂径定理的应用.
三、1.
(1)y=-3x+240;
(2)w=-3x+360x-9600;
(3)定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.
(1)根据题意知销售量y(只)与销售价x(元/只)之间的函数关系式为y=90-3(x-50)=-3x+240;
(2)根据“总利润=每件商品的利润×
销售量”可知w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x+360x-9600;
(3)求获得最大利润,也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值.试题解析:
(1)y=90-3(x-50)即y=-3x+240;
(2)w=(x-40)y=(x-40)(-3x+240)=-3x+360x-9600;
(3)当x≤60,y随x的增大而减小,
当x=55时,w最大=1125
所以定价为55元时,可以获得最大利润是1125元.考点:
(1)一次函数;
(2)二次函数.
2.
(1)w2x2120x1600;
(2)该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.【解析】试题分析:
(1)根据销售额=销售量×
销售价单x,列出函数关系式;
(2)用配方法将
(2)的函数关系式变形,利用二次函数的性质求最大值.
(1)由题意得:
wx20yx202x802x2120x1600,∴w与x的函数关系式为:
w2x2120x1600.
(2)w2x2120x16002x30200,
∵﹣2<0,∴当x=30时,w有最大值.w最大值为200.
该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大销售利润200元.考点:
1.二次函数的应用;
2.由实际问题列函数关系式;
3.二次函数的最值.3.见解析【解析】
(1)因为当x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6,代入yaxbx得
ab1.4a0.12
解得,所以,二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x;
9a3b3.6b1.5
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,
根据题意可列函数关系式为:
W=-0.1m+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m+1.2m+3=-0.1(m-6)+6.6,因为-0.1<0,根据二次函数的性质知当m=6时,W有最大值6.6,试题解析:
(1)∵当x=1时,y=1.4;
当x=3时,y=3.6,∴
ab1.4
9a3b3.6
a0.1
b1.5
解得
所以,二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x;
3分
则W=-0.1m+1.5m+0.3(10-m)=-0.1m+1.2m+3=-0.1(m-6)+6.6,∵-0.1<0,
∴当m=6时,W有最大值6.6,
∴购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.
1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.4.
(1)政府这个月为他承担的总差价为600元;
(2)当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000;
(3)销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
(1)根据每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可求得每月销售量,又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价,则可得到总差价.
(2)求每月可获得最大利润,即为求该二次函数的最大值,将二次函数配方法,可得该函数的最大值.(3)w3000同时满足x£
25,根据函数图象的性质知道,k<
0随x的增大而减小,当x=25时,该函数有最大值时,p有最小值500.
(1)当x=20时,y1x05001020,300?
(1210)=300?
2600,
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。
(2)依题意得,w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10x-30+4000,
a=-10<
0,
∴当x=30时,w有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000.(3)由题意得:
10x2+600x-50003000,解得:
x1=20,x2=40.
0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知:
当20#x40时,w³
3000.
又x£
25,∴当20#x25时,w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,\p121010x50020x1000.
k=-20<
0,\p随x的增大而减小.
∴当x=25时,p有最小值500.
∴销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【考点】1.二次函数的性质;
2.二次函数的图象;
3.二次函数的综合应用.
5.
(1)(220-10x);
(2)w10x320x2200(3)当x=14时,该文具店这种签字笔平
均每周的销售利润最大是320元.【解析】
用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为(220-10x)个,列出函数关系式w(22010x)(x10),再运用二次函数的性质解决问题,由题意可知10x14所以
x=14时,W最大为320.试题解析:
(1)(220-10x);
(2)w(22010x)(x10)3分
10x2320x22005分w10x2320x2200
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