北师大版初二年级下册《三角形的证明》培优带答案Word文件下载.docx

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，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（　　）

10

8

5

2.5

6.如图，D为△ABC一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

1.5

2

1

7．（4分）如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；

②△BDF≌△CDE；

③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（　　）

①

②

①②

①②③

8．（4分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°

，AB=3，CE=4，则AD等于（　　）

12

24

48

9．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°

，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（　　）

6

9

10．（4分）（2013•）如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠B=30°

，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；

②∠ADC=60°

；

③点D在AB的中垂线上；

④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

3

4

12．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

①④⑤

①③④

③④⑤

二、填空题（每小题4分，共24分）

14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个角小于或等于60°

”时，首先应假设这个三角形中　___．

15．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　_　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°

，则∠C=　_________　．

17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于　_________　．

18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为　　m．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠B=60°

，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是　　．

三、解答题（每小题7分，共14分）

20．（7分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：

∠A=∠B．

21．（7分）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．

四、解答题（每小题10分，共40分）

22．（10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°

，∠DCA=30°

，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？

23．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：

△ACD≌△AED；

（2）若∠B=30°

，CD=1，求BD的长．

24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°

）绕着顶点B顺时针旋转60°

，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．

CF=DG；

（2）求出∠FHG的度数．

25．（10分）已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°

，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．

BF=AC；

（2）求证：

．

五、解答题（每小题12分.共24分）

26．（12分）如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．

BG=CF；

EG=EF；

（3）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

27．（12分）△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°

，则△BEF是　_________　三角形；

（2）若∠BAC=∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？

请直接写出结论并画出相应的图形．

北师大版八下《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A

（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）

考点：

等腰三角形的性质．4270583

专题：

分类讨论．

分析：

分80°

角是顶角与底角两种情况讨论求解．

解答：

解：

①80°

角是顶角时，三角形的顶角为80°

，

②80°

角是底角时，顶角为180°

﹣80°

×

2=20°

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°

故选B．

点评：

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

命题与定理．4270583

先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．

解；

A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：

如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；

B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；

C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；

D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．

故选：

此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

3．（4分）△ABC中，∠A：

3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（　　）

含30度角的直角三角形．4270583

三个角的比以及三角形的角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°

所对的直角边是斜边的一半．

根据三个角的比以及三角形的角和定理，得直角三角形中的最小角是30°

，根据30°

所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，故选D．

此题主要是运用了直角三角形中角30°

4．（4分）（2013•）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）

全等三角形的判定．4270583

求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．

解答

∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，

A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；

C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；

D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，

∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

5．（4分）（2012•）如图，在△ABC中，∠B=30°

线段垂直平分线的性质；

根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．

∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°

（线段垂直平分线的性质），

∵∠B=30°

，∴BE=2DE=2×

5=10（直角三角形的性质），∴CE=BE=10．故选A．

本题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．

6．（4分）（2013•一模）如图，D为△ABC一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为（　　）

等腰三角形的判定与性质．4270583

由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；

由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣BC）．

如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．

又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．

∵AC=5，BC=3，∴BD=（5﹣3）=1．故选D．

本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．

全等三角形的判定与性质；

角平分线的性质．4270583

常规题型．

从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB=∠AFC=90°

∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF（①正确）

∴AE=AF，∴BF=CE，

∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE（②正确），∴DF=DE，

连接AD，

∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，

即点D在∠BAC的平分线上（③正确），故选D．

此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．

勾股定理；

本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．

∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°

，∴∠AEB=∠CDE=30°

∵30°

所对的直角边是斜边的一半，∴AE=6，DE=8

又∵∠AED=90°

，根据勾股定理，∴AD=10．故选A．

解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°

所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．

9．（4分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°

等边三角形的判定与性质；

作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．

延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，

∵∠EBC=∠E=60°

，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，

∵BE=6，DE=2，∴DM=4，

∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°

∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°

，∴∠NDM=30°

∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，故选B．

此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．

角平分线的性质；

作图—基本作图．4270583

压轴题．

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°

，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．

故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°

，∴∠CAB=60°

又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°

，∴∠3=90°

﹣∠2=60°

，即∠ADC=60°

．故②正确；

③∵∠1=∠B=30°

，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°

，∴CD=AD，

∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．

∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，

∴S△DAC：

S△ABC=AC•AD：

AC•AD=1：

3．故④正确．

综上所述，正确的结论是：

①②③④，共有4个．

故选D．

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

12．（4分）（2013•）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

等腰三角形的判定；

坐标与图形性质．4270583

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．

如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，

∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，

∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×

=3，

∵3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，

与直线y=x没有交点，

所以，点C的个数是1+2=3．故选B．

本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．

13．（4分）（2009•）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°

②四边形CDFE不可能为正方形，

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（　　）

正方形的判定；

等腰直角三角形．4270583

压轴题；

动点型．

解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°

，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；

判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．

连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°

，CF=AF=FB；

∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90°

，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°

，∴△EDF是等腰直角三角形．

因此①正确．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．因此②错误．

∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，因此④正确．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；

即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；

因此③错误．

当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．

此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；

因此⑤正确．

本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．

”时，首先应假设这个三角形中　每一个角都大于60°

　．

反证法．4270583

熟记反证法的步骤，直接填空即可．

根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个角都大于60°

故答案为：

每一个角都大于60°

此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：

（1）假设结论不成立；

（2）从假设出发推出矛盾；

（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

15．（4分）（2013•）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　5　．

等腰三角形的性质；

非负数的性质：

绝对值；

偶次方；

三角形三边关系．4270583

先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．

根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，

①若a=1是腰