培优专题讲解等腰三角形含解答Word文件下载.docx
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3.已知:
如图1-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,AF与EF相等吗?
为什么?
例3已知:
如图1-9,△ABD和△BEC均为等边三角形,M、N分别为AE和DC的中点,那么△BMN是等边三角形吗?
说明理由.
练习3
1.已知:
如图1-10,在等边三角形ABC中,BD=CE=AF,AD与BE交于G,BE与CF交于H,CF与AD交于K,试判断△GHK的形状.
1-10
2.已知:
如图1-11,△ABC是等边三角形,E是AC延长线上的任意一点,选择一点D,使△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,那么△CMN是等边三角形吗?
1-11
如图1-12,等边三角形ABC,在AB上取点D,在AC上取点E,使AD=AE,作等边三角形PCD、QAE和RAB,则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形,请说明理由.
1-12
例4已知:
如图1-13,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=100°
,∠ABC的平分线交AC于E,试比较AE+BE与BC的大小?
练习4
1.如图1-14,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?
1-14
如图1-15,△ABC和△ADE都是等边三角形.B、C、D在一条直线上,说明CE与AC+CD相等的理由.
1-15
如图1-16,△ABC是等边三角形,延长AC到D,以BD为一边作等边三角形BDE,连结AE,则AD_______AE+AB.(填“>
”或“=”或“<
”)
1-16
例5已知:
如图1-17,△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,那么CE是CD的几分之几?
练习5
1.如图1-18,D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点,且AE=CD,连结BE、AD交于点P.过B作BQ⊥AD于Q,请说明BP是PQ的2倍.
2.如图1-19,在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,那么CE是BD的几分之几?
1-19
3.已知:
如图1-20,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于H,且AE=BE,那么AH是BD的________倍.
1-20
答案:
例1分析AB=AC,MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形,充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系.
1-1
解:
设∠BAM=∠CAN=α,∠AMN=β,
∵MN=AN,∴∠AMN=∠MAN=β.
设∠ABC=γ,在△ABC中,
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°
,
由于∠BCA=∠CAB=2α+β,∴4α+2β+γ=180°
.
在△ABM中,β=α+γ,
∴4α+2β+(β-α)=180°
.即3(α+β)=180°
∴α+β=60°
,故∠MAC=60°
例2分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等,往往需要做一些工作,如添加辅助线,构造全等三角形等,从而达到解决问题的目的.
延长AD到F,使AF=EF,
1-5
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠A=60°
∴△AEF是等边三角形.
∴EA=EF,∠AEF=∠A=60°
又∵EH垂直平分BD,
∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.
∴△EAD≌△EFB.
∴AD=BF.
又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE,
∴AD=CE.
1-9
例3分析要说明一个三角形是等边三角形,只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°
的等腰三角形”即可.本题只需利用三角形全等证得BM=BN,且∠MBN=60°
即可.
在△ABE和△DBC中,
∵∠ABE=60°
+∠DBE,∠DBC=60°
+∠DBE,
∴∠ABE=∠DBC.
∵AB=BD,BE=EC.
∴△ABE≌△DBC.
∴AE=DC,∠MEB=∠NCB.
又∵M、N分别是AE和DC的中点,
∴ME=NC,又△BEC为等边三角形,
∴BE=BC.
∴△MBE≌△NBC,BM=BN.
∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°
∴△BMN为等边三角形.
例4分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和,常常采用截取等长线段的方法,将那些本来没有关系的线段放在条线段上,这样可迎刃而解.
在BC上截取BF=BE,BD=BA,连结FE、DE,
∵AB=AC,∠A=100°
,∴∠ABC=∠C=40°
,又BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2=
∠ABC=20°
1-13
∵BF=BE,∴∠BEF=∠5=80°
在△BAE和△BDE中,
BA=BD,∠1=∠2,BE=BE.
∴△BAE≌△BDE.
∴AE=DE,∠3=∠A=100°
∴∠4=180°
-∠3=180°
∴∠4=∠5,DE=FE,AE=FE.
又∠6=∠5-∠C=80°
-40°
=40°
∴∠6=∠C,∴FE=FC.
故AE+BE=FC+BF=BC.
例5分析延长线段到倍长,再证明三角形全等,往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段.
延长CE到F,使EF=CE,连结BF,CE是AB的中线,∴AE=EB.
又∠FEB=∠AEC,
1-17
∴△EBF≌△EAC,∴∠EBF=∠A.
BF=AC=BD.
在△FBC和△DBC中,
FB=BD,BC=BC.
∴∠FBC=∠FBE+∠EBC.=∠A+∠ACB.
∠DBC=∠A+∠ACB.
∴∠FBC=∠DBC.∴△BCF≌△BCD.
∴CF=CD=2CE,故CE=
CD.
练习1
1.解:
设∠DEC=x,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED.
∴x=∠AEC-∠ADE=(∠B+30°
)-∠ADE=(∠B+30°
)-(∠C+x)
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∴2x=30°
,x=15°
,故选C.
2.解:
∵AB=BB′,
∴∠BAB′=∠BB′A,∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′.
又∠CBB′=∠DBB′,
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB.
设∠CAB=x,∴∠ACB=3x,∠CBD=4x,又AA′=AB,
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x.
∵AA′平分∠EAB.
∴∠A′AB=
(180°
-x).
又∠A′AB=180°
-(∠A′+∠ABA′)=180°
-8x
∴
-x)=180°
-8x.
∴x=12°
,故∠ACB=36°
3.解:
如图,作△AED≌△BAC,连结EC.
则∠AED=∠BAC=20°
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°
-20°
=60°
又∵AB=AE=AC,
∴△ACE是正三角形,AE=EC=ED.
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°
∴∠EDC=
-∠DEC)=70°
∴∠BDC=180°
-(∠ADE+∠EDC)=30°
练习2
1.解:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠FEC=90°
在Rt△DEB与Rt△FEC中,
∵∠B=∠C,∴∠BDE=∠F.
∵∠FDA=∠BDE,
∴∠FDA=∠F,故AD=AF.
以AD为边在△ADB作等边△ADE,连结BE.
则∠1=∠2=∠3=60°
∴AE=ED=AD.
∵∠DAC=15°
∴∠EAB=90°
-∠1-∠DAC=15°
∴∠DAC=∠EAB.
又∵DA=AE,AB=AC,
∴△EAB≌△DAC.
∴∠EBA=∠DCA=15°
∴∠BEA=180°
-∠EBA-∠EAB=150°
∵∠BED=360°
-∠BEA-∠AED=150°
∴∠BEA=∠BED.
又∵EB=EB,AE=ED.
∴△BEA≌△BED,∴BD=BA.
故选择C.
延长AD到G,使DG=AD,连结BG,
∵BD=DC,∠BDG=∠CDA,AD=DG,
∴△ADC≌△BDE.
∴AC=BG,∠G=∠EAF,
又∵BE=AC,∴BE=BG.
∴∠G=∠BED,而∠BED=∠AEF,
∴∠AEF=∠AFE,故FA=FE.
练习3
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°
又∵BD=AF=CE,
∴△ABD≌△BCE≌△CAF.
∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3.
即∠CAK=∠ABG=∠BCH.
又∵AB=BC=CA,
∴△ABG≌△BCH≌△CAK.
∴∠AGB=∠BHC=∠CKA.
即∠KGH=∠GHK=∠GKH.
故△GKH是等边三角形.
由于△ABC与△CDE均为等边三角形,A、C、E三点共线,得知:
CA=CB,CD=CE,∠ACD=∠BCE,
故△ACD≌△BCE.
∴∠ADC=∠BEC,AD=BE.
又DM=
AD,EN=
BE,
∴△DCM≌△ECN.
∴∠DCM=∠ECN,CM=CN.
又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°
∴△CMN是等边三角形.
连结BP.
∵△ABC与△CDP均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CP,∠ACB=∠DCP=60°
∴∠1=∠2,
∴△ADC≌△BPC.
∴∠CBP=∠DAC=60°
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°
+60°
=180°
∴R、B、P三点共线.
又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°
∴R、A、Q三点共线.
而AQ=AE=AD=BP,
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP.
又∠R=60°
,∴△PQR是等边三角形.
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形.
练习4
∵S△ACB=S△APB+S△APC,
即
AB·
CF=
PD+
PE.
∴CF=PD+PE.
∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,AE=AD,
∴△AEC≌△ADB.
∴CE=BD.
又∵BD=BC+CD=AC+CD.
∴CE=AC+CD.
∵△ABC和△BDE均为等边三角形.
∴∠ABE=60°
-∠EBC=∠CBD,AB=BC,BE=BD.
∴△ABE≌△CBD.
∴AE=CD.又∵AB=AC,
∴AD=AC+CD=AB+AE.
练习5
∵∠CAB=∠C=60°
,AE=CD,AB=AC,∴△ADC≌△BEA,∴∠CAD=∠EBA.
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°
∴在Rt△PQB中,∠PBQ=30°
∴BP=2PQ.
2.解:
延长CE交BA的延长线于F,
∵∠1=∠2,∠BEC=∠BEF=90°
,BE=BE,
∴△BEC≌△BEF.
∴BC=BF,CE=EF,
∴CE=
CF.
又∵∠2+∠3=90°
,∠4+∠5=90°
,∠3=∠4,
∴∠2=∠5,且AB=AC.
∴Rt△AFC≌Rt△ADB.
∴CF=BD.故CE=
BD.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=DC,∠DAC+∠C=90°
又∵BE⊥AC,∴∠EBC+∠C=90°
∴∠DAC=∠EBC.在△AEH和△BEC中,
∵∠DAC=∠EBC,AE=BE.
∠AEH=∠BEC=90°
,∴△AEH≌△BEC,∴AH=BC.
又BC=2BD,故AH=2BD.
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