高中数学完整讲义导数及其应用导数的概念与几何意义.docx
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高中数学完整讲义导数及其应用导数的概念与几何意义
知识内容
1.函数的平均变化率:
一般地,已知函数,,是其定义域内不同的两点,记,
,
则当时,商称作函数在区间(或)的平均变化率.
注:
这里,可为正值,也可为负值.但,可以为.
2.函数的瞬时变化率、函数的导数:
设函数在附近有定义,当自变量在附近改变量为时,函数值相应的改变.
如果当趋近于时,平均变化率趋近于一个常数(也就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数称为函数在点的瞬时变化率.
“当趋近于零时,趋近于常数”可以用符号“”记作:
“当时,”,或记作“”,符号“”读作“趋近于”.
函数在的瞬时变化率,通常称为在处的导数,并记作.
这时又称在处是可导的.于是上述变化过程,可以记作
“当时,”或“”.
3.可导与导函数:
如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导.这样,对开区间内每个值,都对应一个确定的导数.于是,在区间内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数.记为或(或).
导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数.
4.导数的几何意义:
设函数的图象如图所示.为过点与的一条割线.由此割线的斜率是,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点沿曲线趋近于点时,割线绕点转动,它的最终位置为直线,这条直线叫做此曲线过点的切线,即切线的斜率.
由导数意义可知,曲线过点的切线的斜率等于.
典例分析
题型一:
极限与导数
【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【例2】在正棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()
A.B.C.D.
【例3】对于任意都有()
A.B.
C.D.
【例4】若,则________.
【例5】若,则_______.
【例6】设在可导,则等于()
A.B.C.D.
【例7】若,则等于()
A.B.C.D.
【例8】设在处可导,为非零常数,则().
A.B.C.D.
【例9】设,则()
A.B.C.D.
【例10】若,则当无限趋近于时,______.
【例11】已知函数,则的值为.
【例12】已知,则的值是()
A.B.C.D.
【例13】若,则_______.
【例14】已知函数在处可导,则()
A.B.C.D.
【例15】计算________.
【例16】_______.
【例17】将直线、(,)轴、轴围成的封闭图形的面积记为,则.
【例18】()
A.B.C.D.不存在
【例19】如图,在半径为的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去.设为前个圆的面积之和,则()
A.B.C.D.
【例20】______.
【例21】若,则常数_______.
【例22】_____.
【例23】_________
【例24】________.
【例25】__________.
【例26】()
A.B.C.D.
【例27】.
【例28】设函数,其中,已知对一切,有和,求证:
.
【例29】如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则;函数在处的导数.
【例30】如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,,,则;.(用数字作答)
【例31】下列哪个图象表示的函数在点处是可导的()
【例32】函数在闭区间内的平均变化率为()
A.B.C.D.
【例33】求函数在到之间的平均变化率.
【例34】若函数,则当时,函数的瞬时变化率为()
A.1B.C.2D.
【例35】求函数在附近的平均变化率,在处的瞬时变化率与导数.
【例36】求函数在附近的平均变化率,在处的瞬时变化率与导数.
【例37】已知某物体的运动方程是,则当s时的瞬时速度是_______.
【例38】已知某物体的运动方程是,则时的瞬时速度是_______.
【例39】已知物体的运动方程是,则物体在时刻时的速度____,加速度.
【例40】物体运动方程为,则时瞬时速度为()
A.2B.4C.6D.8
【例41】一质点做直线运动,由始点起经过s后的距离为,
则速度为零的时刻是()
A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,4s,8s末
【例42】如果某物体做运动方程为的直线运动(的单位为m,的单位为s),那么其在s末的瞬时速度为()
A.m/sB.m/sC.m/sD.m/s
【例43】求在处的导数.
题型二:
导数的几何意义
【例44】已知曲线上一点,用斜率定义求:
⑴过点的切线的斜率;⑵过点的切线方程.
【例45】已知曲线上一点,用斜率定义求:
⑴过点A的切线的斜率;⑵过点A的切线方程.
【例46】函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是()
A.B.
C.D.
【例47】求函数的图象上过点的切线方程.
【例48】曲线在点处的切线方程是()
A.B.C.D.
【例49】求曲线在点的切线方程,与过点的切线的方程.
【例50】函数在点处的切线方程为()
A.B.C.D.
【例51】已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为_______.
【例52】曲线在点处的切线的倾斜角为()
A.B.C.D.
【例53】过点作曲线的切线,则切线方程为__________.
【例54】曲线在点处的切线方程为__.
【例55】若曲线与在处的切线互相垂直,则等于()
A.B.C.D.或
【例56】设曲线在点处的切线与直线垂直,则()
A.2B.C.D.
【例57】设曲线在点处的切线与直线平行,则()
A.B.C.D.
【例58】若曲线的一条切线与直线平行,则的方程为______________.
【例59】若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()
A.B.C.D.
【例60】设为曲线:
上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是_______.
【例61】设为曲线:
上的点,且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为,则点横坐标的取值范围为()
A.B.C.D.
【例62】曲线在点处的切线方程为()
A.B.C.D.
【例63】设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为()
A. B. C. D.
【例64】设是偶函数.若曲线在点处的切线的斜率为,则该曲线在点处的切线的斜率为.
【例65】函数的图象上一点处的切线的斜率为()
A.1B.C.D.
【例66】曲线上的点到直线的最短距离是()
A.B.C.D.0
【例67】在平面直角坐标系中,点在曲线上,且在第二象限内,已知曲线在点处的切线的斜率为2,则点的坐标为.
【例68】抛物线在点处的切线与其平行线间的距离为________.
【例69】若是曲线的一条切线,则()
A.B.0C.1D.2
【例70】函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为,其中,若,则的值是.
【例71】已知点在曲线上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则的取值范围是()
A.B.C.D.
【例72】曲线在点处的切线方程为()
A.B.C.D.
【例73】若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,
则()
A.64B.32C.16D.8
【例74】函数的图象在点处的切线方程是.
【例75】设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则等于()
A.B.C.D.
【例76】直线与曲线相切,则()
A.B.C.D.
【例77】已知直线与曲线相切,则的值为()
A.B.C.D.
【例78】在平面直角坐标系中,点在曲线:
上,且在第二象限内,已知曲线在点处的切线的斜率为,则点的坐标为____.
【例79】若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于()
A.或B.或C.或D.或
【例80】已知函数的图象在点处的切线方程为,又点的横坐标为,则________.
【例81】设曲线在点处的切线与直线平行,则实数等于()
A.B.C.D.
【例82】已知函数和的图象在处的切线互相平行,则_______.
【例83】⑴曲线在点处的切线方程是____.
⑵曲线过点的切线方程是_________.
【例84】已知曲线,则过点的切线方程是_______.
【例85】已知曲线:
及点,则过点可向引切线的条数为_____.
【例86】曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是______.
【例87】曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A.B.C.D.
【例88】曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为,则.
【例89】曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()
A.B.C.D.
【例90】求曲线的斜率等于的切线方程.
【例91】若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_____________.
【例92】曲线在点处的切线方程是.
【例93】函数在点处的切线方程是()
A.B.C.D.
【例94】已知函数在上满足,则曲线在点处的切线方程是()
A.B.C.D.
【例95】已知曲线:
,求曲线上横坐标为的点的切线方程.
【例96】已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求实数、、的值.
【例97】曲线有两条平行于直线的切线,求此二切线之间的距离.
【例98】已知曲线,求经过点且与曲线相切的直线的方程.
【例99】已知曲线在点处的切线平行直线,且点在第三象限,
⑴求的坐标;⑵若直线,且也过切点,求直线的方程.
【例100】已知函数.
若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求,的值.
【例101】已知函数()的导函数是,且是奇函数,若曲线的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()
A.B.C.D.
【例102】已知函数的图象过点,且在点处的切线方程为.求函数的解析式.
【例103】已知直线为曲线在点处的切线,为该曲线的另一条切线,且,
⑴求直线的方程;
⑵求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
【例104】设函数,曲线在点处的切线方程为.
⑴求的解析式;
⑵证明:
曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
【例105】设函数,曲线在点处的切线方程为.
⑴求的解析式;
⑵证明:
曲线的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;
⑶证明:
曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
【例106】已知抛物线:
和:
,如果直线同时是和的切线,称是和的公切线,公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.
⑴则取什么值时,和有且仅有一条公切线?
写出此公切线的方程.
⑵若和有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.
【例107】设,点是函数与的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.试用表示.
【例108】已知曲线:
与:
,直线与都相切,求直线的方程.
【例109】已知函数.
⑴求曲线在点处的切线方程;
⑵求曲线过点的切线的方程.
⑶设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:
.
⑷求过任一点能作的曲线
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- 高中数学 完整 讲义 导数 及其 应用 概念 几何 意义