习题集含详解高中数学题库高考专点专练之105数列最值有界性Word格式文档下载.docx
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向量,有下列四个命题,其中假命题是
A.数列是单调递增数列,数列是单调递减数列
B.数列是等比数列
C.数列有最小值,无最大值
D.若中,,,则最小时,
17.已知数列的前项和为,令,记数列的前项和为,则
18.某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前年的平均产量最高,的值为
19.对于数列,若存在常数,使得对任意,与中至少有一个不小于,则记作,那么下列命题正确的是
A.若,则数列各项均大于或等于
B.若,,则
C.若,则
D.若,则
20.设数列的前项和为,且满足,则的取值范围是
二、填空题(共20小题;
21.设等比数列满足,,则的最大值为
.
22.已知通项公式为的数列,若数列满足,且对恒成立,则实数的取值范围是
23.若数列的通项公式是,则数列中最大项是
24.已知数列的通项公式,则数列的项取最大项时,
25.设数列满足,.若存在常数,对于任意,恒有,则的取值范围是
26.已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的自然数的最小值为
27.已知公差为的等差数列的首项为,数列满足,若对任意的,都有,则实数的取值范围为
28.已知数列是各项均不为零的等差数列,为其前项和,且,若不等式对任意恒成立,则实数的最大值是
29.已知数列满足,,那么的最小值为
30.已知等差数列满足,且,数列满足,的前项和为,当取得最大值时,的值为
31.在数列中,,且,若存在使得成立,则实数的最小值为
32.为前项和,对都有,若,恒成立(为正整数),则的最小值为
33.在等差数列中,其前项的和为,且,,有下列四个命题:
①此数列的公差;
②一定小于;
③是各项中最大的一项;
④一定是中的最大项.
其中正确的命题是
.(填人所有正确命题的序号)
34.设是定义在上恒不为零的函数,且对任意的实数,都有,若,则数列的前项和的取值范围是
.
35.已知数列的通项公式,设其前项和为,则使成立的最小自然数的值为
36.若是数列的前项的和,且,则数列的最大值为
37.对于数列,若,均有(为常数),则称数列具有性质.
(i)若数列的通项公式为,且具有性质,则的最大值为
;
(ii)若数列的通项公式为,且具有性质,则实数的取值范围是
38.甲乙两人做游戏,游戏的规则是:
两人轮流从(必须报)开始连续报数,每人一次最少要报一个数,最多可以连续报个数(如,一个人先报数“,”,则下一个人可以有“”,“,”,,“,,,,,,”等七种报数方法),谁抢先报到“”则谁获胜.如果从甲开始,则甲要想必胜,第一次报的数应该是
39.已知和分别为数列与数列的前项和,且,,.则当取得最大值时,的值为
40.若数列满足,,则的最小值为
三、解答题(共60小题;
共780分)
41.已知数列的前项和为,,与的等差中项是.
(1)证明数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若对任意正整数,不等式恒成立,求实数的最大值.
42.已知各项均不相等的等差数列的前四项和为,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)设为数列的前项和,若使恒成立,求实数的最大值.
43.设数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设为数列的前项和,求;
(3)是否存在自然数,使得对一切恒成立?
若存在,求出的值;
若不存在,说明理由.
44.设数列的前项和为,点()均在函数的图象上.
(1)求证:
数列为等差数列;
(2)设是数列的前项和,求使对所有都成立的最小正整数.
45.已知首项为的等比数列不是递减数列,其前项和为,且,,成等差数列.
(2)设,求数列的最大项的值与最小项的值.
46.已知数列的前项和为,,且,.
(2)令,,记数列的前项和为,若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
47.设数列满足,.
(2)求证:
48.在一次人才招聘会上,有A,B两家公司分别开出了它们的工资标准:
A公司允诺第一年月工资为元,以后每年月工资比上一年月工资增加元;
B公司允诺第一年月工资为元,以后每年月工资在上一年月工资的基础上增加.设某人年初被A,B两家公司同时录取,试问:
(1)若该人分别在A,B公司连续工作几年,则他在工作第年的月工资分别是多少?
(2)在A公司工作比在B公司工作的月工资最多可以多多少元?
说明理由(精确到元)
49.设数列的前项和为,,当时,.
(2)是否存在正数,使对一切正整数都成立?
若存在,求的取值范围,若不存在,请说明理由.
50.己知等差数列,设其前项和为,满足,.
(1)求与;
(2)设,是数列的前项和,若对任意,恒成立,求实数的取值范围.
51.已知数列中,(,且).
(1)若,求数列中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的,都有成立,求的取值范围.
52.已知数列满足,且.
(1)证明:
(2)设数列的前项和为,证明:
53.已知数列的通项公式为,求中的最小项.
54.数列中,.
(1)求数列的第项;
此数列的各项都在区间内;
(3)在区间内有无该数列中的项?
若有,有几项?
55.已知正项数列的前项和为,数列满足.
(2)设数列满足,它的前项和为,求证:
对任意正整数,都有成立.
56.已知数列的通项公式为,,求数列的最大项和最小项.
57.已知为数列的前项和,,.
为等差数列;
(3)求数列中的最大项和最小项.
58.已知数列的前项和为,且对任意正整数,都有成立.记.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:
59.在数列中,已知,,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,的前项和为,求证.
60.已知是各项为正数的等差数列,为其前项和,且.
(1)求,的值及的通项公式;
(2)求数列的最小值.
61.已知数列满足,.
(1)若数列满足,求证:
是等比数列;
(2)若数列满足,,求证:
62.已知数列的各项均为非负数,其前项和为,且对任意的,都有.
(1)若,,求的最大值;
(2)若对任意,都有,求证:
63.设数列的前项和为,且,,成等差数列.
(2)设,,记数列的前项和为,若对所有的正整数都成立,求最小正整数的值.
64.设等差数列的前项和为,已知,为整数,且.
(2)设数列的前项和为,求证:
65.已知数列的前项和为,且是与的等差中项.
(2)若数列的前项和为,且恒成立,求实数的最小值.
66.观察下列三角形数表,假设第行第二个数为.
\(\begin{array}{ccccccccccc}&
&
1&
\llap{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\}第\1\行\\&
2&
\llap{\cdots\cdots\cdots\cdots\}第\2\行\\&
3&
4&
\llap{\cdots\cdots\cdots\}第\3\行\\&
7&
\quad&
\llap{\cdots\cdots\}第\4\行\\5&
11&
14&
5&
\llap{\cdots\}第\5\行\\\cdots&
\cdots&
\cdots&
\cdots\\\end{array}\)
(1)归纳出与的关系式,并求出的通项公式;
(2)设,求证:
67.设为数列的前项和,已知,对任意,都有.
(2)若数列的前项和为,求证:
68.已知数列的前项和为,,(且),数列满足:
,且(且).
数列为等比数列;
(3)求数列的前项和的最小值.
69.设等差数列的前项和为,且(是常数,),.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明:
70.已知单调递增的等比数列满足,且是,的等差中项.
(2)若,,求使成立的正整数的最小值.
71.已知数列的前项和为,且,,且.
数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设的前项和为,证明.
72.设等差数列的前项和为,,且,,成等比数列,.
(2)令,数列的前项和为,若对于任意的,都有成立,求实数的取值范围.
73.已知等差数列中,,,若从数列中依次取出第项,第项,第项,,第项,按原来的顺序构成一个新的数列.
(2)设,,证明:
74.已知数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式与前项和;
(2)设,,若集合恰有个元素,求实数的取值范围.
75.在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时,有最大值,并求出它的最大值.
76.已知数列满足.数列中是否存在最大的项?
若存在,把最大项求出来;
77.在等差数列中,,其前项和为,求的最小值,并求出取最小值时的值.
78.已知数列的前项和为,.
(2)设数列的前项和为,,点在直线上,若存在,使不等式成立,求实数的最大值.
79.已知函数.
(1)求方程的实数解;
(2)如果数列满足,,是否存在实数,使得对所有的都成立?
证明你的结论.
(3)在
(2)的条件下,设数列的前项的和为,证明:
80.已知数列满足,,且.
81.已知数列的前项和满足:
,为常数,且,.
(2)若,设,且数列的前项和为,求证:
82.已知数列的前项和为,,.
(2)求;
(3)证明:
存在,使得.
83.已知数列满足:
,,,.
(1)若,且数列为等比数列,求的值;
(2)若,且为数列的最小项,求的取值范围.
84.若的前项和为,点均在函数的图象上.
(2)设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数.
85.已知数列中,(为非零常数),其前项和满足.
(2)若,且,求,的值.
(3)是否存在实数,,使得对任意正整数,数列中满足的最大项恰为第项?
若存在,分别求出与的取值范围;
若不存在,请说明理由.
86.数列满足,.
(1)证明为等差数列并求.
(2)设,数列的前项和为,求.
(3)设,,是否存在最小的正整数,使得对任意,有成立?
87.正项数列的前n项和满足:
(1)求数列的通项公式;
(2)令,数列的前项和为,证明:
对于任意的,都有.
88.已知数列与满足,.
(1)若,且,求数列的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即,求证:
数列的第项是最大项;
(3)设,,求的取值范围,使得有最大值与最小值,且.
89.已知数列中,,,且.
(ⅰ)对一切,都有;
(ⅱ)对一切,有.
90.设数列为单调递增的等差数列,,且,,依次成等比数列.
(2)若,求数列的前项和;
(3)若,数列的前项和为,求同时满足下列两个条件的所有的值:
①对于任意正整数,都有;
②对于任意的,均存在,使得时,.
91.已知数列的前项和为,,且对任意的正整数,都有,其中常数.设.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若且,设,求证:
数列是等比数列;
(3)若对任意的正整数,都有,求实数的取值范围.
92.已知数列满足且().
();
().
93.已知数列中,,,数列满足.
数列是等差数列;
(2)求数列中的最大项和最小项,并说明理由.
94.已知数列的前项积为,即.
(1)若数列为首项为,公比为的等比数列,
①求的表达式;
②当为何值时,取得最大值;
(2)当时,数列都有且成立,求证:
为等比数列.
95.设数列的前项和为,已知,.
(2)若数列满足:
对任意的正整数,都有,求数列的最大项.
96.已知有穷数列:
的各项均为正数,且满足条件:
①;
②.
(1)若,求出这个数列;
(2)若,求的所有取值的集合;
(3)若是偶数,求的最大值(用表示).
97.已知数列满足:
,,数列满足:
,,数列的前项和为.
数列为递增数列;
(3)若当且仅当时,取得最小值,求的取值范围.
98.已知数列的前项和为,.
(1)求证是等比数列,并求数列的通项公式.
99.设等比数列的前项和为,等差数列的前项和为,已知(其中为常数),,.
(1)求常数的值及数列,的通项公式和.
(2)设,设数列的前项和为,若不等式对于任意的恒成立,求实数的最大值与整数的最小值.
(3)试比较与的大小关系,并给出证明.
100.各项均为正数的等比数列,,,单调递增数列的前项和为,,且
(1)求数列,的通项公式
(2)令
(1)求数列的前项和
(2)若,证明:
对任意的整数,有
答案
第一部分
1.C【解析】因为,,
所以,,且,,
所以,
,
所以.
当时,,
所以,,,,中最大的项为.
2.B【解析】,又,所以当时,取得最大值,为.
3.C【解析】令,得,又,
则.
当时,;
当时,.
故前项和等于前项和,它们都最大.
4.D【解析】根据题意并结合二次函数的性质可得,时,取得最大值,最大项的值为.
5.A
【解析】令,则,
所以是公比与首项都为的等比数列,
所以,对任意正整数,,
所以,即的最小值为.
6.C7.D【解析】设数列的公差为,
依题意得,
因为,所以,
化简可得,所以,,
所以
8.B【解析】①②④均为“自困组合”.
9.C【解析】,又因为等号成立的条件是即,显然由知等号不能成立,又因为时,;
时,.
10.C
【解析】依题意得,即;
,即,.因此使成立的的最大值是.
11.D【解析】设等比数列的公比是.
由,,得
解得
所以和为的最大值.
12.B【解析】由条件得,且,
即,得,
故数列是以为首项,为公比的等比数列,
,从而,
故当时,,
由得,,
解得,
易知,
故,
又当时,,得,
综上所述,,
故的最小值是.
13.C【解析】令,得,结合,解得.当时,;
当时,.故前项和等于前项和,它们都最大.
14.A15.D
16.C【解析】由在中,,分别是边,的中点,
,分别是线段,的中点,,,分别是线段,的中点,
可得,,,
即有,
,,,
则
可得,,
则数列是单调递增数列,数列是单调递减数列,故A正确;
数列即为是首项和公比均为的等比数列,故B正确;
而当时,,,不存在,
时,在递增,无最大值和最小值,故C错误;
若中,,,则
当时,取得最小值,即有最小时,.故D正确.
17.C【解析】由,当.所以,.所以.又有,,.所以.
18.C19.D【解析】根据题意,要使得,则中至少每隔一项就会出现不小于的数,所以数列各项不一定都大于或等于;
若,为,为,这时,,但不成立;
若,为,这时,但是不成立;
若,即与中至少有一个不小于,则和
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