高中数学等比数列的前n项和公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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高中数学等比数列的前n项和公式教学设计学情分析教材分析课后反思
等比数列的前n项和
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教版)第二章第5节第一课时。
从在教材中的地位与作用来:
看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。
不利因素是:
本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨。
三、设计思想
《新课程改革纲要》提出,要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手,培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。
对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。
心理学家研究发现,9~22岁的学生正处于创新思维的培养期,高中生正好处于这一关键年龄段,作为数学教师应因势力导,培养学生的创新思维能力。
利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。
在生生、师生交流的过程中,体现对弱势学生更多的关心。
四、教学目标
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。
通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
五、教学重点、难点
教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。
公式推导
所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点。
五、教学过程设计:
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,
尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:
(一)创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印
度国王大为赞赏,对他说:
我可以满足你的任何要求。
西萨说:
请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格。
国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。
为什么呢?
【设计意图】:
设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学
生的兴趣,调动学习的积极性。
故事内容紧扣本节课的主题与重点。
此时我问:
同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?
引
导学生写出麦粒总数。
带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和。
这时我对他们的这种思路给予肯定。
【设计意图】:
在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍
不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律:
求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?
在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍。
同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔。
(二)师生互动,探究问题
在肯定他们的思路后,我接着问:
是什么数列?
有何特征?
应归结为什么数学问题呢?
【学情预设】:
探讨1:
设,记为
(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系?
(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探讨2:
如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,
(1)式两边同乘以2则有,记为
(2)式。
比较
(1)
(2)两式,你有什么发现?
【设计意图】:
留出时间让学生充分地比较,等比数列前n
项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。
经过比较、研究,学生发现:
(1)、
(2)两式有许多相同
的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到:
。
老师指出:
这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:
为什么
(1)式两边要同乘以2呢?
【设计意图】:
经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:
真是太简洁了!
让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。
(三)类比联想,解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列,首
项为,公比为,如何求前n项和?
这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导。
【设计意图】:
在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已
知到未知,步步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。
【学情预设】:
在学生推导完成后,我再问:
由得对不对?
这里的能不能等于1?
等比数列中的公比能不能为1?
时是什么数列?
此时?
(这里引导学生对进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础。
)
再次追问:
结合等比数列的通项公式,如何把用
、、表示出来?
(引导学生得出公式的另一形式)
【设计意图】:
通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认
识,完善知识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力。
这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用。
(四)讨论交流,延伸拓展
在此基础上,我提出:
探究等比数列前n项和公式,还有其
它方法吗?
我们知道,
那么我们能否利用这个关系而求出呢?
根据等比数列的定义又有,能否联想到等比定理从而求出呢?
【设计意图】:
以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让
学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到
这其实就是关于的一个递推式,递推数列有非
常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源
于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用.
(五)变式训练,深化认识
例1:
求等比数列前8项和;
变式1、等比数列前多少项的和是;
变式2、等比数列求第5项到第10项的和;
首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同学进行评价,然后师生共同进行总结。
【设计意图】:
采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认
识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成。
通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识。
(六)课后作业,分层练习
必做:
P66练习1:
(1)、
(2);2
选作:
思考题:
(1)求和
(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请
问尖头几盏灯?
”这首中国古诗的答案是多少?
【设计意图】:
出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,
让学有余力的学生有思考的空间。
六、教学反思:
对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。
在教学中,我采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。
等比数列的前n项和学情分析
从认知结构看,前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识,一方面容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比,另一方面,本节的公式推导所要求的计算量更大,思维的深刻性更高。
对高二学生而言,虽然具有一定的分析和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但缺乏冷静、深刻,思维上具有片面性、不严谨的特点,对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
从学生的思维特点看,很难想到变加为减。
在学完等差数列的前n项和的基础上,大部分学生会容易把本节内容与其从公式的形成、推导、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。
但其实本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这其中需要学生强烈的探究及观察能力。
另外对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在使用公式的过程中容易出错。
等比数列前n项和效果分析
根据学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想,本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略,即“案例—公式—应用”,案例为浅层次要求,使学生有概括印象。
公式为中层次要求,由浅入深,重难点集中推导讲解,便于突破。
应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固所学,反馈验证本节教学目标的落实。
其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解教材;练习为应用,使学生巩固知识,举一反三。
在这三步教学中,以启发性强的小设问层层推导,充分体现学生是主体,教师教学服务于学生的思路,而且学生通过“案例—公式—应用”,由浅入深,由感性到理性,由直观到抽象,不仅加深了学生理解巩固与应用,也培养了学生的思维能力。
等比数列的前n项和教材分析
《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版必修5第二章第五节的内容,分两个课时完成,第一课时侧重于公式的推导及记忆,第二课时侧重于公式的灵活应用。
等比数列前n项和是教材中很重要的一块内容,是“等差数列”,“等差数列前n项和”与“等比数列”内容的延续,具有承上启下的作用。
它对学生进一步理解等比数列以及数列的知识有很重要的作用。
此公式的推导过程中所渗透的类比,分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
等比数列前n项和评测练习
一、单选题
1.等比数列中,,则的前4项和为()
A.48B.60C.81D.124
2.已知等比数列的首项,公比,则()
A.B.C.D.
3.在等比数列中,若,则的前项和等于()
A.B.C.D.
4.在等比数列中,已知,则()
A.10B.50C.25D.75
5.设首项为l,公比为的等比数列的前项和为,则()
A.B.C.D.
6.在等比数列中,若公比,则的值为()
A.64B.63C.58D.56
二、填空题
7.若数列满足,则的前6项和等于______.
8.在等比数列中,,,则数列的前项和__________.
9.等比数列的前项和为,,,则=___________.
10.等比数列的公比为2,前4项之和等于10,则前8项之和等于________.
11.在等比数列中,,则公比等于______.
三、解答题
12.已知等比数列{an}中,且a1+a2=6.求数列{an}的前项和为的值;
13.已知等比数列{an}满足记其前n项和为
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若,求n.
等比数列的前n项和课后反思
本节教学设计重视“过程与方法”。
符合新课标理念,把重点放在公式的推导及应用上。
一、创设教学情境,引起学生的兴趣
情境创设是为了发展学生的心理机能,激发学生的兴趣、求知欲等来增强教学效果而营造的课堂氛围。
创设教学情境,让学生“触境生情”,既可以掌握数学知识和技能,又可以体验教学内容中的情感,使原本枯燥抽象的数学知识变得生动有趣。
本节课
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