必修3数学期末测试Word格式.docx
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A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
2.有4位同学参加某智力竞赛,竞赛规定:
每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答,且甲类题目答对得3分,答错扣3分,乙类题目答对得1分,答错扣1分,若每位同学答对与答错相互独立,且概率均为
,那么这4位同学得分之和为0的概率为( )
A.
B.
C.
D.
3.连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为a,b,记m=a+b,则( )
A.事件“m=2”的概率为
B.事件“m>11”的概率为
C.事件“m=2”与“m≠3”互为对立事件
D.事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件
4.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或白球的概率是( )
A.0.3B.0.55C.0.75D.0.7
5.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,那么对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
6.甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为( )
7.某电商设计了一种红包,打开每个红包都会获得三种福卡(“和谐”、“爱国”、“敬业”)中的一种,若集齐三种卡片可获得奖励,小明现在有4个此类红包,则他获奖的概率为( )
8.已知2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则两人在不同层离开的概率等于( )
第Ⅱ卷(非选择题)
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
二.填空题(共1小题)
9.2名男生和3名女生共5名同学站成一排,则3名女生中有且只有2名女生相邻的概率是 .
三.解答题(共3小题)
10.如图是一个方形迷宫,甲、乙两人分别位于迷宫的A,B两处,两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走,已知甲向东、西行走的概率都为
,向南、北行走的概率分别为
和p,乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q
(1)求p和q的值;
(2)问最少几分钟,甲、乙二人相遇?
并求出最短时间内可以相遇的概率.
11.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:
m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
13
10
16
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?
(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
12.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).为了解会员的健步走情况,工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员,统计了当天他们的步数,并将样本数据分为[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21]九组,整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数;
(Ⅱ)从当天步数在[11,13),[13,15),[15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人积分之和不少于200分的概率;
(Ⅲ)写出该组数据的中位数(只写结果).
参考答案与试题解析
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可.
【解答】解:
某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,
所以不用现金支付的概率为:
1﹣0.45﹣0.15=0.4.
故选:
B.
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法,判断事件是互斥事件是解题的关键,是基本知识的考查.
【分析】每人的得分情况有甲对,甲错,乙对,乙错4种可能,从而基本事件总数n=44=256种,若他们得分之和为0,则分为4类:
①4人全选甲类题目且两对对错,有
=6种可能,②4人全选乙类题目且两对两错,有
=6种可能,③4人中1人选甲类对或错,同时另3人选乙类全对或全错,有
=8种可能,④4人中2人选甲类一对一错,同时另起炉灶人选乙类一错一对,共有
种可能,由此利用互斥事件概率加法公式能求出这4位同学得分之和为0的概率.
每人的得分情况有甲对,甲错,乙对,乙错4种可能,
∴基本事件总数n=44=256种,
若他们得分之和为0,则分为4类:
=6种可能,(即四个元素3,3,﹣3,﹣3的所有排列个数),
②4人全选乙类题目且两对两错,有
=6种可能,
③4人中1人选甲类对或错,同时另3人选乙类全对或全错,有
=8种可能,
④4人中2人选甲类一对一错,同时另起炉灶人选乙类一错一对,共有
种可能,
∴这4位同学得分之和为0的概率p=
=
.
【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想、此利用互斥事件概率加法公式的合理运用.
【分析】计算出事件“m=2”的概率可判断A;
计算出事件“m>11”的概率可判断B;
根据对立事件的概念,可判断C;
根据互斥事件的概念,可判断D
连掷一枚均匀的骰子两次,
所得向上的点数分别为a,b,记m=a+b,则
事件“m=2”的概率为
,故A错误;
事件“m>11”的概率为
,故B错误;
事件“m=2”与“m≠2”互为对立事件,故C错误;
a=b时,m为偶数,故事件“m是奇数”与“a=b”互为互斥事件,故D正确;
D.
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,互斥事件和对立事件的概念,难度中档.
【分析】摸出黑球或白球的对立事件是摸出红球,由此能求出摸出黑球或白球的概率.
∵一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,
从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,
∴摸出黑球或白球的对立事件是摸出红球,
∴摸出黑球或白球的概率p=1﹣0.45=0.55.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件概率计算公式的合理运用.
【分析】根据题意,由互斥事件与对立事件的定义,依次分析选项,即可得答案.
根据题意,依次分析四个选项:
对于A、“都是黑球”是“至少有一个黑球”的一种情况,不是对立事件,
对于B、“至少有一个黑球”包括“2个都是黑球”和“一红一黑”两种情况,而“至少有一个红球”包括“2个都是红球”和“一红一黑”两种情况,
两者不是对立事件,
对于C、“恰好有一个黑球”即“一红一黑”,与“恰好有两个黑球”是互斥事件,但不是对应事件,
对于D、“至少有一个黑球”包括“2个都是黑球”和“一红一黑”两种情况,与都是红球”为对立事件;
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的定义,其中关键是熟练掌握互斥事件与对立事件的定义.
【分析】所有的选法共有3×
3=9种,而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种,由此求得他们选择相同颜色运动服的概率.
所有的选法共有3×
3=9种,
而他们选择相同颜色运动服的选法共有3×
1=3种,
故他们选择相同颜色运动服的概率为P=
,
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解答的关键.
【分析】基本事件总数n=3×
3×
3=81,他获奖包含的基本事件个数m=
=36,由此能求出他获奖的概率.
小明现在有4个此类红包,
基本事件总数n=3×
3=81,
他获奖包含的基本事件个数m=
=36,
∴他获奖的概率p=
C.
【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
【分析】由题意2人总的离开电梯共16种结果,2人在同一层下共4种,故先求该事件的概率,再由对立事件的概率可得.
2个人在一座5层大楼的第一层进入电梯,
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,
由题意总的基本事件为:
两个人各有4种不同的离开电梯方法,故共有:
4×
4=16种结果,
而两人在同一层离开电梯,共有4种结果,
∴两个人在同一层离开电梯的概率是:
所以2个人在不同层离开的概率为:
p=1﹣
【点评】本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.
9.2名男生和3名女生共5名同学站成一排,则3名女生中有且只有2名女生相邻的概率是
.
【分析】利用捆绑法求出3名女生中有且只有2名女生相邻的情况,有A32A22A32=72种,2名男生和3名女生共5名同学站成一排,有A55=120种,问题得以解决.
把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素,和剩下的一位女生,插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中,有A32A22A32=72种,
2名男生和3名女生共5名同学站成一排,有A55=120种,
∴所求概率为
故答案为
【点评】本题考查概率的计算,考查排列中相邻问题和不相邻问题,相邻用捆绑,不相邻用插空,属于中档题.
【分析】
(1)根据概率和为1,解方程得到p的值,根据乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q,得到关于q的方程,解方程即可.
(2)当t=2甲、乙两人可以相遇,设在C、D、E三处相遇的概率分别为PC、PD、PE,写出三个概率的值,最后相加得到结果.
(1)∵
+
+p=1,
∴p=
∵4q=1,
∴q=
(2)最少需要2分钟,甲乙二人可以相遇(如图在C,D,E三处相遇)
设在C,D,E三处相遇的概率分别为PC,PD,PE,则
PE=(
×
)×
(
)=
∴
即所求的概率为
【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率,考查概率的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.
(2)根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率.
(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48,使用节水龙头50天的日均用水量为0.35,能此能估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.
(1)根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图,如下图:
(2)根据频率分布直方图得:
该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率为:
p=(0.2+1.0+2.6+1)×
0.1=0.48.
(3)由题意得未使用水龙头50天的日均水量为:
(1×
0.05+3×
0.15+2×
0.25+4×
0.35+9×
0.45+26×
0.55+5×
0.65)=0.48,
使用节水龙头50天的日均用水量为:
0.05+5×
0.15+13×
0.25+10×
0.35+16×
0.45+5×
0.55)=0.35,
∴估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省:
365×
(0.48﹣0.35)=47.45m3.
【点评】本题考查频率分由直方图的作法,考查概率的求法,考查平均数的求法及应用等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
(Ⅰ)这1000名会员中健步走的步数在[3,5)内的人数为40;
健步走的步数在[5,7)内的人数为60;
健步走的步数在[7,9)内的人数为100;
健步走的步数在[9,11)内的人数为300.由此能求出这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数.
(Ⅱ)按分层抽样的方法,在[11,13)内应抽取3人,记为a1,a2,a3,每人的积分是90分;
在[13,15)内应抽取2人,记为b1,b2,每人的积分是110分;
在[15,17)内应抽取1人,记为c,每人的积分是130分.从6人中随机抽取2人,利用列举法能求出这2人的积分之和不少于200分的概率.
(Ⅲ)由频率分布直方图能求出中位数.
【解答】
(本小题共13分)
解:
(Ⅰ)这1000名会员中健步走的步数在[3,5)内的人数为0.02×
2×
1000=40;
健步走的步数在[5,7)内的人数为0.03×
1000=60;
健步走的步数在[7,9)内的人数为0.05×
1000=100;
健步走的步数在[9,11)内的人数为0.05×
40+60+100+100=300.
所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人.…………………(4分)
在[15,17)内应抽取1人,记为c,每人的积分是130分;
……………………(5分)
从6人中随机抽取2人,有:
a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a1c,a2a3,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2,a3c,b1b2,b1c,b2c共15种方法.……………………(7分)
所以从6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分的有:
a1b1,a1b2,a1c,a2b1,a2b2,a2c,a3b1,a3b2,a3c,b1b2,b1c,b2c共12种方法.……………(9分)
设从6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分为事件A,则
.……………………(11分)
所以从6人中随机抽取2人,这2人的积分之和不少于200分的概率为
(Ⅲ)中位数为
.……………………(13分)
【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,考查频率分布直方图、古典概率、列举法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是基础题.
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