最新圆锥曲线定义几何性质文档格式.docx
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=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()
(A)«
(B)«
(C)«
(D)«
4、已知双曲线«
的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且«
则点M到x轴的距离为(C)
(C)«
5、已知双曲线«
的右焦点为F,若过点F且倾斜角为«
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()
(A)«
(B)«
(C)«
(D)«
6、如图,把椭圆«
的长轴
分成«
等份,过每个分点作«
轴的垂线交椭圆的上半部
分于«
七个点,«
是椭圆的一个焦点,
则«
________________;
7、若动点(x,y)在曲线«
(b>
0)上变化,则x2+2y的最大值为(A)
(A)«
;
(B)«
(D)2b。
8、设«
的最小值是()
C.-3D.«
三、直线与圆锥曲线的位置关系:
1、已知椭圆C1的方程为«
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足«
(其中O为原点),求k的取值范围。
2、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在«
轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,«
与«
共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且«
,证明«
为定值。
解:
设椭圆方程为«
则直线AB的方程为«
,代入«
,化简得
.
令A(«
),B«
),则«
由«
共线,得
又«
,
即«
,所以«
故离心率«
(II)证明:
(1)知«
,所以椭圆«
可化为«
设«
,由已知得«
«
在椭圆上,«
①
由
(1)知«
,代入①得«
故«
为定值,定值为1.
3、已知方向向量为«
的直线l过点(«
)和椭圆«
的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,
满足«
cot∠MON≠0(O为原点).
若存在,求直线m的方程;
若不存在,请说明理由.
(I)解法一:
直线«
,①
过原点垂直«
的直线方程为«
,②
解①②得«
∵椭圆中心(0,0)关于直线«
的对称点在椭圆C的右准线上,
∵直线«
过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).
故椭圆C的方程为«
③
(II)设M(«
),N(«
).
设直线«
,代入③,整理得«
«
即«
∴«
=«
,整理得«
解得«
或«
故直线m的方程为«
经检验上述直线均满足«
所以所求直线方程为«
4、如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l1:
x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
(I)设椭圆方程为«
(«
),半焦距为c,则
«
由题意,得«
解得«
故椭圆方程为«
(II)设P(«
当«
时,«
时,«
只需求«
的最大值即可。
的斜率«
,直线«
当且仅当«
最大,
5、如图,F为双曲线C:
的右焦点。
P为双曲线C右支上一点,且位于«
轴上方,M为左准线上一点,«
为坐标原点。
已知四边形«
为平行四边形,«
。
(Ⅰ)写出双曲线C的离心率«
的关系式;
(Ⅱ)当«
时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若«
,求此时的双曲线方程。
∵四边形«
是«
,∴«
,作双曲线的右准线交PM于H,则«
,又«
,«
,双曲线为«
四边形«
是菱形,所以直线OP的斜率为«
,则直线AB的方程为«
,代入到双曲线方程得:
,由«
得:
,解得«
,则«
为所求。
6、已知一列椭圆Cn:
x2+«
=1.0<bn<1,n=1,2.«
.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离dn是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
(Ⅰ)试证:
bn≤«
(n≥1);
(Ⅱ)取bn=«
,并用Sn表示«
PnFnGn的面积,
试证:
S1<S2且Sn<Sn+3(n≥3).
图(22)图
证:
(1)由题设及椭圆的几何性质有
«
设«
因此,由题意«
应满足
从而对任意«
(Ⅱ)设点«
得两极«
,从而易知f(c)在(«
)内是增函«
数,而在(«
,1)内是减函数.
现在由题设取«
是增数列.又易知
«
故由前已证,知«
7、已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
=λ
(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明
·
为定值;
(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.
(Ⅰ)由已知条件,得F(0,1),λ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).由
即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),
将①式两边平方并把y1=
x12,y2=
x22代入得 y1=λ2y2③
解②、③式得y1=λ,y2=
,且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4,
抛物线方程为y=
x2,求导得y′=
x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y=
x1(x-x1)+y1,y=
x2(x-x2)+y2,
即y=
x1x-
x12,y=
x2x-
x22.
解出两条切线的交点M的坐标为(
)=(
,-1).……4分
所以
=(
,-2)·
(x2-x1,y2-y1)=
(x22-x12)-2(
x22-
x12)=0
为定值,其值为0. ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=
|AB||FM|.
|FM|=
=
+
.
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+
+2=(
)2.
于是 S=
|AB||FM|=(
)3,
由
≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
8、已知两定点«
,满足条件«
的点«
的轨迹是曲线«
与曲线«
交于«
两点,如果«
,且曲线«
上存在点«
,使«
,求«
的值和«
的面积«
本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
由双曲线的定义可知,曲线«
是以«
为焦点的双曲线的左支,
且«
,易知«
故曲线«
的方程为«
,由题意建立方程组«
消去«
,得«
又已知直线与双曲线左支交于两点«
,有
又∵«
依题意得«
整理后得«
∴«
但«
故直线«
,由已知«
∴点
将点«
的坐标代入曲线«
的方程,得«
得«
,但当«
时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意
点的坐标为«
到«
的距离为«
9、已知椭圆C1:
抛物线C2:
且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥«
轴时,求«
、«
的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)是否存在«
的值,使抛物线C2的焦点恰在直线AB上?
若存在,求出符合条件的«
的值;
解 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,点A、B关于x轴对称,所以m=0,直线AB的方程为
x=1,从而点A的坐标为(1,«
)或(1,-«
因为点A在抛物线上,所以«
,即«
此时C2的焦点坐标为(«
,0),该焦点不在直线AB上.
(Ⅱ)解法一 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为«
消去y得«
.……①
设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是方程①的两根,x1+x2=«
因为AB既是过C1的右焦点的弦,又是过C2的焦点的弦,
所以«
,且
从而«
解得«
因为C2的焦点«
在直线«
上,所以«
时,直线AB的方程为«
解法二 当C2的焦点在AB时,由(Ⅰ)知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程
为«
. ……①
上,
.代入①有«
.……②
则x1,x2是方程②的两根,x1+x2=«
. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根,所以x1+x2=«
=«
.解得«
上,所
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