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4.设X~B(10,31),则DE((XX))
B.2
D.10
和方差分别为(
A.E(X)=2,D(X)=4
B.E(X)=4,D(x)=2
C.E(X)=41,D(X)=12
D.E(X)=1,D(X)=1
24
6.设二维随机变量(
X,
Y)的分布律为
B.0
则E(XY)=
A.1
9
C.1
7.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布,则随机变量X的
D.1
方差为(
A.-2
2
8.设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为2的指数分布,Y
D.2
B(6,21),则E(X-Y)=(A.
B.12
D.5
9.
设二维随机变量(X,Y)的协方差Cov(X,Y)=1,且D(X)=4,6
D(Y)=9,则X与Y的相关系数XY为(
216
6
B.1
36
二、填空题
1.设X服从二项分布B(n,p),则D(2X
1)
2.总体X服从N(2,22),则EX2
3.设二维随机变量(X,Y)的分布律为
则E(XY)
4.设随机变量X的分布X律为-11,则E(X2)=
P
5.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布。
随机变量
1,X0,
Y0,X0,则D(Y)
6.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)0,D(Y)0,则X与Y的相关系数XY
7.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)0,D(Y)0,则X与Y的相关系数XY
8.设随机变量X具有分布P{X=k}=1,k=1,2,3,4,5,则D(X)=
5
9.若X~N(3,0.16),则D(X+4)=
100
X2,⋯,X100相互独立,令Y=Xi,则由中心极限定理知Y近似服从
i1
于正态分布,其方差为
11.设随机变量X~B18,1,则D(X)=
12.设随机变量X的概率密度为f(x)2x,0x1;
则E(X)=
0,其他,
13.已知E(X)=2,E(Y)=2,E(XY)=4,则X,Y的协方差
Cov(X,Y)=
14.设X~N(0,1),Y=2X-3,则D(Y)=
15.设随机变量X与Y相互独立,其分布律分别为
16.设X,Y为随机变量,已知协方差Cov(X,Y)=,则
Cov(2X,3Y)=
则X与Y的相关系数=
三、计算题
1.设X,Y的联合密度为f(x,y)12y,0yx1。
求边际密度函数
0,其它
PX(x),PY(x);
(2)EX,EY;
(3)X,Y是否独立?
2.设离散型随机变量的分布列为
X
-1
p
0.1
0.2
0.3
0.4
求
(1)X的分布函数
F(x);
(2)P(0.5
1.8)
(3)DY。
X0
3.设随机变量X~U[
1,2],随机变量Y
X0,求Y的分布
律及DY
0,
x0,
4.设连续型随机变量
X的分布函数为
F(x)
x
8
0x8,求:
(1)X
1,
x8.
的概率密度f(x);
(2)
E(X),D(X);
(3)P
E(X)
D(X)。
5.已知随机变量X,Y的相关系数为XY,若U=aX+b,V=cY+d,其中ac>
0.试求U,V的相关系数UV。
6.设离散型随机变量X的分布律如下,且已知E(X)=0.3,试求:
1)p1,p2;
(2)D(-3X+2)
盒冰淇淋可为小店挣得1元,但假如销售不出而屯积于冰箱,则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源,才能使平均收益最大?
8.设随机变量X的概率密度为f(x)ax0,b,0其他x,1,,且E(X)=172.求:
(1)常数a,b;
(2)D(X)。
9.设X~B(10,0.2),Y~N(1,22),
(1)已知X,Y相互独立,求
E(2X3XY4X2);
(2)已知XY0.3,求D(XY)。
10.设X服从普阿松分布,已知PX1PX2,求EX,DX。
11.某射手有3发子弹,射击一次命中的概率为2,如果命中了就停
3止射击,否则一直独立地射到子弹用尽。
求
(1)耗用子弹数X的分布列;
(2)EX,DX。
12.设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X
(单位:
吨),X~U[2000,4000],每销售一吨商品,可为国家赚取外
汇3万元;
若销售不出,则每吨商品需贮存费
1万元。
问应组织多少
货源,才能使国家收益最大?
1x
13.设随机变量X的密度为f(x)2cos2,0x
,对X独立地重复
0,其它
观察4次,用Y表示观察值大于3的次数,求EY2
15.设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EXEY0,EX2EY22,求E(XY)2
14.设随机变量X和Y的联合分布为
求Cov(X2,Y2)
第六章参数估计
一、选择题
1.设总体X~N(,2),X1,X2,,Xn为来自总体X的样本,,2均未
nn
C.n1i1(XiX)D.n11i1(Xi)2
2.设总体X~N(,2),其中未知,x1,x2,x3,x4为来自总
则下面说法错误的是
4.矩估计必然是()
大似然估计
偏估计
1.X1,X2,,Xn是均匀总体U[0,3],0的样本,是未知数,n
X1Xi,则的无偏估计是
ni1
估计
3.设总体X~N(,2),其中2未知,现由来自总体X的一个样本x1,x2,,x9算得样本均值x10,样本标准差s=3,并查得t0.025(8)=2.3,则的置信度为95%置信区间是
4.设总体X服从参数为(0)的指数分布,其概率密度为
由来自总体X的一个样本x1,x2,,xn算得样本平均值x9,则参数的矩估计?
=
5.设总体X服从参数为(>
0)的泊松分布,x1,x2,⋯,xn为X的一个样本,其样本均值x2,则的矩估计值?
6.设总体X为指数分布,其密度函数为p(x;
)=ex,x>
0,x1,x2,⋯,xn是样本,故的矩法估计=
7.由来自正态总体X~N(,12)、容量为100的简单随机样本,得样本均值为10,则未知参数的置信度为0.95的置信区间是。
(Z0.0251.96,Z0.051.645)
8.假设总体X服从参数为的泊松分布,X1,X2,⋯,Xn是来自总体
n
X的简单随机样本,其均值为X,样本方差S2=1(XiX)2。
已知
n1i1
aX(23a)S2为的无偏估计,则a=
e(x),x
9.设总体X的概率密度为f(x,)e,x,而X1,X2,,Xn是来
0,x
自X的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计为
10.总体X服从N(,2),其中未知,2已知。
X1,X2,Xn为其样本,
1.设总体X服从指数分布,即密度函数p(x,)e,x0,其中0,
0,x0
求的矩法估计?
,并说明它是否是的无偏估计。
2.总体X~U[0,],求的矩估计和极大似然估计。
3.总体X~U[,2],求的矩估计和极大似然估计。
4.设总体X的概率密度为f(x;
)e,x0,X1,X2,⋯,Xn为样本,
求参数的矩估计和极大似然估计。
5.设总体X的分布函数为F(x;
)1x,x1,其中1为未知参数,
0,x1
X1,X2,⋯,Xn为样本,求的矩估计和极大似然估计。
6.设总体X服从指数分布,其概率密度为f(x,)=ex0,其中
0x0
0为未知参数,x1,x2,⋯,xn为样本,求的极大似然估计。
17.设总体X的概率密度为f(x,)1e,x0,其中0,X1,X2,⋯,
0,x0,
Xn为来自总体X的样本.
(1)求E(X);
(2)求未知参数的矩估计^。
8.某药品每片中有效成分含量X(单位:
mg)服从正态分布N(,0.3)。
现从该药品中任意抽取8片进行检验,测得其有效成分含量为分别计算该药品有效成分含量均值的置信度为0.9及0.95的置信区
间。
(x25.85)
9.已知某市新生婴儿体重X(单位:
kg)服从正态分布N(,2)。
其中,2未知,试用该市新生婴儿体重的如下样本
求出该市新生婴儿平均体重的置信度为0.95的置信区间
10.某公司欲估计自己生产的电池寿命,现从其产品中随机抽取50只电池做试验,得X2.266(单位:
100小时),S1.935,求该公司生产的电池平均寿命的置信系数为95%的置信区间。
11.自动包装机包装某食品,每袋净重X~N(,2)。
现随机抽取10
10
袋,测得每袋净重xi(克),(i1,2⋯,10),计算得xi5020,i1
xi22520420,若未知,求2的置信度为95%的置信区间,求的i1
置信度为95%的置信区间。
12.欲比较甲、乙两种棉花品种的优劣,现假设用它们纺出的棉纱强度分别服从N(1,2.182)和N(2,1.762),试验者从这两种棉花中分别抽取X1,X2,⋯,X200和Y1,Y2,⋯,Y100,其均值为X5.32,Y5.76,求12的置信区间。
(10.95)
13.某公司利用两条生产线生产灌装矿泉水,现从生产线上随机抽取样本X1,X2,⋯,X12和Y1,Y2,⋯,Y17,它们是每瓶矿泉水的体积(毫升),其均值为X501.1,Y499.7,样本方差为S122.4,S224.7,假设这两条生产线灌装的矿泉水的体积分别服从N(1,2)和N(2,2),求
12的置信区间(10.95)。
四、证明题
1.设总体X的均值与方差2均为未知参数,X1,X2为样本。
证明21(X1X2)2为2的无偏估计。
2.设总体X服从区间[,]上的均匀分布,其中0为未知参数,又
X1,X2,⋯,Xn为样本,证明?
23Xi2是2的无偏估计。
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