重点高中自招必备 八年级 专题16 等腰三角形的性质Word文档下载推荐.docx
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∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等,因此,需构造全等三角形,而在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线.
【例3】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,D是AC上一点,且AE垂直BD的延长线于E,又AE=
BD,求证:
BD是∠ABC的角平分线.
(北京市竞赛试题)
∠ABC的角平分线与AE边上的高重合,故应作辅助线补全图形,构造全等三角形、等腰三角形.
【例4】如图,在△ABC中,∠BAC=∠BCA=440,M为△ABC内一点,使∠MCA=300,∠MAC=160,求∠BMC度数.
(北京市竞赛试题)
作等腰△ABC的对称轴(如图1),通过计算,证明全等三角形,又440+160=600;
可以AB为一边,向点C所在的一侧作等边△ABN,连结CN,MN(如图2);
或以AC为一边,向点B所在的一侧作等边△ACN,连结BN(如图3).
【例5】如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形,以D为顶点作一个600角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连结MN,形成一个三角形.求证:
△AMN的周长等于2.
(天津市竞赛试题)
欲证△AMN的周长等于2,只需证明MN=BM+CN,考虑用补短法证明.
【例6】如图,△ABC中,∠ABC=460,D是BC边上一点,DC=AB,∠DAB=210,试确定∠CAD的度数.
解本题的关键是利用DC=AB这一条件.
能力训练
A级
1.如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450,那么这个等腰三角形的底角为_____________.
2.如图,已知∠A=150,AB=BC=CD=DE=EF,则∠FEM=_____________.
3.如图,在等边△ABC的AC,BC边上各取一点P、Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O,则
∠BOQ=____________.
4.如图,在△ABC中,∠BCA=900,∠BAC=600,BC=4,在CA的延长线取点D,使AD=AB,则D,B两点之间的距离是____________.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()
A.900-
∠AB.900-∠A
C.1800-∠AD.450-
∠A
6.如图,在△ABC中,∠ACB=900,AC=AE,BC=BF,则∠ECF=()
A.600B.450
C.300D.不确定
第5题图第6题图
7.△ABC的一个内角的大小是400,且∠A=∠B,那么∠C的外角的大小是()
A.1400B.800或1000C.1000或1400D.800或1400
(“希望杯”邀请赛试题)
8.三角形三边长
满足
,则三角形一定是()
A.等边三角形B.以
为底边的等腰三角形
C.以
为底边的等腰三角形D.等腰三角形
(北京市竞赛试题)
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是腰AB,AC延长线上的点,且BD=CE,连结DE交BC于G,求证:
DG=EG.
(湖北省竞赛试题)
10.如图,在△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE,求证:
CE=
BD.
(江苏省竞赛试题)
11.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=900,D为AB边中点,∠EDF=900,将∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC,BC(或它们的延长线)于E、F,当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证:
S△DEF+S△CEF=
S△ABC,当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
(牡丹江市中考试题)
12.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=800,O为△ABC内一点,且∠OBC=100,∠OCA=200,求∠BAO的度数.
(天津市竞赛试题)
B级
1.如图,在△ABC中,∠ABC=1000,AM=AN,CN=CP,则∠MNP=_________.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出以下4个结论:
①AE=CF;
②△EPF是等腰直角三角形;
③S四边形AEPF=
S△ABC;
④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A,B重合).上述结论正确的是____________.
(苏州市中考试题)
3.如图,在△ABC中,AB=BC,M,N为BC边上两点,并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,则∠MAC的度数是____________.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC与∠ACB的平分线相交于D,∠ADC=1300,那么∠CAB的大小是()
A.800B.500C.400D.200
5.如图,在△ABC中,∠BAC=1200,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,则∠C的大小是()
A.200B.250C.300D.450
6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=900,AE平分∠BAC交BC于E,BD⊥AE于D,DM⊥AC交AC的延长线于M,连CD,下列四个结论:
①∠ADC=450;
②BD=
AE;
③AC+CE=AB;
④AB-BC=2MC.其中正确结论的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC至D,延长BA至E,并且使AE=BD,连结CE、DE,求证:
CE=DE.
8.如图,△ABC中,已知∠C=600,AC>BC,又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC.
⑴证明:
△C′BD≌△B′DC;
⑵证明:
△AC′D≌△DB′A;
⑶对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C,从面积大小关系上,你能得出什么结论?
9.在△ABC中,已知AB=AC,且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形,试求△ABC各内角的度数.
(江苏省扬州中学测试题)
10.如图,在△ABC中,∠C=900,∠CAD=300,AC=BC=AD,求证:
CD=BD.
11.已知△ABC中,∠B为锐角,从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点,又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K,试问:
当
是整数时,△ABC是怎样的三角形?
并证明你的结论.
(“智能杯”通讯赛试题)
例145°
例2提示:
过点A作∠A的平分线BD交于G,先证明△ABG≌△ACF,再证明△AGD≌△CFFD
例3提示:
延长BC,AE交于一点.、
例4提示:
如图,作BD⊥AC于D,则∠OCD=∠OAD=30°
,∴∠BA0=44°
-30°
=14°
∠MAO=∠OAC-∠MAC=14°
,∴∠BAO=∠MAO,又∵∠AOD=∠COD=90°
=60°
,∴∠AOB=∠AOM=120°
,∴OB=OM.又∵AO=AO,∴△AOB≌△AOM
又∵∠BOM=120°
,∴∠OMB=30°
,故∠BMC=180°
-∠OMB=150°
.
例5如图,在AC延长线上截取CM1=BM,由Rt△BDM≌Rt△CDM1,得MD=M1D,∠MDB=∠M1DC.∴∠MDM1=120°
-∠MDB+∠M1DC=120°
,又∠MDN=60°
,∴∠NDM1=60°
,∵MD=MD1,∠MDN=∠NDM1=60°
,DN=DN,∴△MDN≌△M1DN,得MN=NM1,故△AMN周长:
AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.
例6解法1如图a,作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC,则∠EAD=21°
,AE=AB,∴DE=BD,又∠ADC=21°
+46°
=67°
,故∠ADE=∠ADB=180°
-67°
=113°
,∠CDE=113°
=56°
,连CE,可证△CDE≌△ABD≌△AED,∠ODE=∠OED=46°
,得OD=OE,又DC=AE,则AO=CO,∠OCA=∠OAC,∠COE=2∠ACO,∠COE=2×
46°
=92°
=2∠ACO.从而∠ACO=46°
=∠OAC,∴∠DAE+∠EAC=67°
解法2如图b,过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB,连接EC.
∵∠EDC=∠ABC=46°
,DE=AB=CD,
∴∠DCE=∠CED=
×
(180°
-46°
)=67°
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°
+21°
∴∠ADC=∠DCE,,∴AD=EC.
∴梯形ADCE为等腰梯形
∴AC=DE(等腰梯形对角线相等),
∴AB=AC=CD,∴∠DAC=∠ADC=67°
1.67.5°
或22.5°
2.75°
3.60°
4.85.A6.B7.B
8.D提示:
由已知得(b-c)(a-b)(a+c)=0,故b=c或a=b.
9.提示:
过D作DF∥AC交BC于F,证明△DFG≌△ECG.
10.提示:
延长CE交BA的延长线于F,证明△BEC≌△BEF,再证明△AFC≌△ADB.
11.提示:
图2成立,联系图1,可证明△ECD≌△FBD,
图3不成立,此时
12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D,连BD,则△ABD≌△ACD,则∠ABD=∠ACD=30°
,∠OBD=∠ABC-∠OBC-∠ABD=20°
=∠ABD,∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°
=∠DAB,从而△ABD≌△OBD,AB=OB,即△ABO为等腰三角形,得∠BAO=
-40°
)=70°
1.40°
2.①②③提示:
连AP.3.60°
提示:
设∠CAN=∠BAM=α,∠MAN=β,则∠C=∠BAC=2α+β,∠AMN=β
4.D5.A6.D
7.提示:
延长BD到F,使DF=BC,则△BEF为等边三角形,再证明△BCE≌△FDE
8.⑴证明略;
⑵由①得C´
D=AC=AB´
,由②得DB´
=BA=C´
A,又AD=AD,∴△AC´
D≌△DB´
A;
⑶S△AB´
C>S△ABC´
>S△ABC>S△A´
BC,S△ABC+S△ABC´
=S△AC´
B+S△A´
BC
9.满足题意的图形有以下四种情形:
10.提示:
在△ACD内以CD为边作等边△ECD,连AE,则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=
∠CAD=15°
,又∵∠DCB=90°
-∠ACD=90°
-75°
=15°
,∴∠CAE=∠BCD=∠ECA.又∵AC=BC,CE=CD,∴△ACE≌△BCD,∴∠DBC=∠EAC=15°
.∴∠DCB=∠DBC,∴DC=DB.
11.设
,因BH<BA,BK<BC,故mn<4,得
①当m=n=1时,BH=
BC,BK=
AB,△ABC是等边三角形.
②当m=1,n=2时,BH=
BC,BK=AB,△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形.
③当m=1,n=3时,BH=
AB,△ABC是∠A为120°
的等腰三角形.
④当m=2,n=1时,△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形.
⑤当m=3,n=1时,△ABC是以∠C为120°
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