高考数学专题复习函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析.doc
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2012高考数学专题复习
(第2轮难点突破)
函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析
【考情分析】
1.函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线,选择、填空、解答三种题型每年都有函数题的身影频现,而且常考常新.以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势.函数的图象也是高考命题的热点之一.近几年来,考查用导数工具研究函数性质的综合题基本已经定位到压轴题的位置了.
2.对于函数部分考查的重点为:
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象;指数函数、对数函数的概念、图象和性质;应用函数知识解决一些实际问题;导数的基本公式,复合函数的求导法则;可导函数的单调性与其导数的关系,求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.
【常见题型及解法】
1.常见题型
一、小题:
1.函数的图象
2.函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);
3.分段函数求函数值;
4.函数的定义域、值域(最值);
5.函数的零点;
6.抽象函数;
7.定积分运算(求面积)
二、大题:
1.求曲线在某点处的切线的方程;
2.求函数的解析式
3.讨论函数的单调性,求单调区间;
4.求函数的极值点和极值;
5.求函数的最值或值域;
6.求参数的取值范围
7.证明不等式;
8.函数应用问题
2.在解题中常用的有关结论(需要熟记):
(1)曲线在处的切线的斜率等于,且切线方程为
。
(2)若可导函数在处取得极值,则。
反之,不成立。
(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增(减)区间。
(4)函数在区间I上递增(减)的充要条件是:
恒成立(不恒为0).
(5)函数(非常量函数)在区间I上不单调等价于在区间I上有极值,则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。
(若为二次函数且I=R,则有)。
(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数,进而得到或在I上恒成立
(7)若,恒成立,则;若,恒成立,则
(8)若,使得,则;若,使得,则.
(9)设与的定义域的交集为D,若D恒成立,则有
.
(10)若对、,恒成立,则.
若对,,使得,则.
若对,,使得,则.
(11)已知在区间上的值域为A,,在区间上值域为B,
若对,,使得=成立,则。
(12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程有两个不等实根,且极大值大于0,极小值小于0.
(13)证题中常用的不等式:
①②
③④
⑤⑥
3.解题方法规律总结
1.关于函数单调性的讨论:
大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数,因此,讨论函数单调性的问题,又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。
要结合函数图象,考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。
2.已知函数(含参数)在某区间上单调,求参数的取值范围,有三种方法:
①子区间法;②分离参数法;③构造函数法。
3.注意分离参数法的运用:
含参数的不等式恒成立问题,含参数的不等式在某区间上有解,含参数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题,都可以考虑用分离参数法,前者是求函数的最值,后者是求函数的值域。
4.关于不等式的证明:
通常是构造函数,考察函数的单调性和最值。
有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论,对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。
对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明,先观察通项,联想基本不定式(上述结论中的13),确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关),再对自变量x赋值,令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加,可得要证的不定式。
)
5.关于方程的根的个数问题:
一般是构造函数,有两种形式,一是参数含在函数式中,二是参数被分离,无论哪种形式,都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值,结合函数图象,确立所满足的条件,再求参数或其取值范围。
【基本练习题讲练】
【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:
领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚
乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()
ABCD
【答案】B
【解析】在选项B中,乌龟到达终点时,兔子在同一时间的路程比乌龟短.
【点评】函数图象是近年高考的热点的试题,考查函数图象的实际应用,考查学生解决问题、分析问题的能力,在复习时应引起重视.
【例2】(山东高考题)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则
【答案】-8
-8-6-4-202468
y
x
f(x)=m(m>0)
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设,由对称性知,.所以.
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
【例3】若是方程的解,是的解,则的值为()
A.B.C.3D.
【解析】作出的图象,交点横坐标为,而.【答案】C
【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质.综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题.指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数,高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基,又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.
【例4】若函数有两个零点,则实数的取值范围是.
【解析】设函数和函数,则函数
有两个零点,就是函数与函数有两个交点,由图象可知:
当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是.【答案】
【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.体现了对分类讨论思想的考查,分类讨论时,要注意该分类时才分类,务必要全面.
【例5】已知偶函数在区间单调递增,则满足<的x取值范围是()
(A)(,)(B)[,)(C)(,)(D)[,)
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|),∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性,得|2x-1|<,解得<x<.【答案】B
【点评】该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式,体现的对转化思想的考查,同时还综合考查了函数的性质,而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性.考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点,而且成了一个固定的必考题型.
【例6】某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:
元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
(注:
平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为元,依题意得:
则,令,即,解得.
当时,;当时,,
因此,当时,取得最小值,元.
【答】为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.
【点评】这是一题应用题,利用函数与导数的知识来解决问题.利用导数,求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.
【典型题剖析及训练】
【例1】已知a、b为常数,且a≠0,函数,。
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线都有公共点?
若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由。
【解析】(Ⅰ)b=2;
(Ⅱ)a>0时单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1),
a<0时单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞);
(Ⅲ)存在m,M;m的最小值为1,M的最大值为2。
【例2】已知函数图象上一点处的切线方程为
。
(1)求的值
(2)设,求证:
对于任意的,有
(3)若方程在上有两个不等实根,求m的取值范围(其中e为自然对数的底数)
【解】
(1)由已知:
,所以。
易知。
所以函数的图象在点处的切线方程为:
,即。
由题意得:
。
(2)由
(1)知:
。
令,
则,所以,
令,得:
。
当时,,递增;
当时,,递减。
所以当时,函数取得最大值,且。
故对,都有:
,即。
(3)记,
则,令,得:
。
当时,,递增;当时,,递减。
为使方程在上有两个不等实根,
则有:
。
所以实数m的取值范围是。
【另解】方程在上有两个不等实根等价于
方程在上有两个不等实根。
记,则,
令,得:
。
当时,,递减;
当时,,递增。
所以,
又,,显然,根据的图象,
为使方程在上有两个不等实根,则有:
【例3】设函数,,。
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数图象上任意一点处的切线的斜率
恒成立,求实数的取值范围;
(3)若方程在区间上有唯一实数解,求实数的取值范围;
(4)是否存在实数t,使得函数的图象与函数的图象恰好有4个不同的交点?
若存在,求实数t的取值范围;若不存在,说明理由。
【解】
(1)当时,的的递增区间为;
当时,的递减区间为,递增区间为
(2),由已知:
对,恒成立,
即对恒成立。
当时,在时取得最大值,所以。
(3)方程在区间上有唯一实数解等价于
方程在区间上有唯一实数解。
记,则,令,得:
,
当时,,递增;
当时,,递减。
所以。
易求得:
,。
为使方程在区间上有唯一实数解,
则直线与函数的图象有唯一交点,
根据的图象可知:
或。
故的取值范围是。
(4)设,则,
,令,得:
,,。
列表如下:
-1
0
1
+
0
-
0
+
0
—
极大值
极小值
极大值
由上表可知:
当时,函数取得极大值;当时,函数取得极小值;当时,函数取得极大值。
且当时,。
为使函数的图象与函数的图象恰好有4个不同的交点,则函数有4个零点,所以函数的极大值大于0,极小值小于0,即。
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- 高考 数学 专题 复习 函数 导数 问题 解题 方法 探寻 剖析