中考数学系统复习 第六单元 圆 第24讲 与圆有关的位置关系8年真题训练练习Word文件下载.docx
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4.(20xx·
河北T24·
11分)如图,在△OAB中,OA=OB=10,∠AOB=80°
,以点O为圆心,6为半径的优弧
分别交OA,OB于点M,N.
(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°
得OP′.求证:
AP=BP′;
(2)点T在左半弧上,若AT与
相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧
上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.
解:
(1)证明:
∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°
+∠BOP,∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°
+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP′.
又∵OA=OB,OP=OP′,
∴△AOP≌△BOP′(SAS).
∴AP=BP′.
(2)连接OT,过点T作TH⊥OA于点H.
∵AT与
相切,∴∠ATO=90°
.
∴AT=
=
=8.
∵
OA·
TH=
AT·
OT,
∴TH=
∴点T到OA的距离为
(3)10°
或170°
(注:
当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大,且左右两半弧上各存在一点)
重难点1 切线的性质
如图,AB是⊙O的直径,且长为10,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP的中点,延长CO交⊙O于点D,连接AD,过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E,连CE.
(1)若∠ADC=30°
,求
的长;
(2)求证:
△DAC≌△ECP;
(3)在点P运动过程中,若tan∠DCE=
,求AD的长.
【思路点拨】
(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系,可求得∠DOB=60°
,利用弧长公式求
(2)先证得四边形DCPE是矩形,从而证明△DAC≌△ECP;
(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系,在Rt△AOC中建立方程求解.
【自主解答】 解:
(1)∵∠ADC=30°
,OA=OD,∴∠OAD=30°
∴∠DOB=60°
∴l
(2)证明:
连接OP.
∵AO=OP,点C是AP的中点,∴∠DCP=90°
∵DE是⊙O的切线,∴∠CDE=90°
∵AB是⊙O的直径,∴∠APB=90°
.∴四边形DCPE是矩形.∴DC=EP.
又∵AC=CP,∠ACD=∠CPE=90°
,∴△DAC≌△ECP(SAS).
(3)由
(2)知,四边形DCPE是矩形,△DAC≌△ECP,
∴∠ADC=∠CEP=∠DCE.
∵tan∠DCE=
,∴tan∠ADC=
∴设AC=x,则DC=2x,AD=
x.
在Rt△AOC中,OC=2x-5,AO2=AC2+OC2,
∴52=x2+(2x-5)2,解得x1=0(舍去),x2=4.
∴AD=4
【变式训练1】 如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=60°
,P是OB上一点,过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,过点C的切线CD交PQ于点D,连接OC.
(1)求证:
△CDQ是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求BP∶PO的值.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵PQ⊥AB,∴∠APQ=90°
又∵∠BAC=60°
,OA=OC,
∴△OAC是等边三角形,∠ABC=∠Q=30°
∴∠ACO=60°
.∴∠DCQ=180°
-90°
-60°
=30°
∴∠DCQ=∠Q.
∴△CDQ是等腰三角形.
(2)设⊙O的半径为x,则AB=2x,AC=x,BC=
∵△CDQ≌△COB,∴CQ=BC=
∴AQ=AC+CQ=(1+
)x.∴AP=
AQ=
∴BP=AB-AP=
x,PO=AP-AO=
∴BP∶PO=
1.遇切线,通常的方法是连接过切点的半径,利用切线垂直于过切点的半径,构建直角三角形,进而利用直角三角形进行求解或证明.
2.在圆中还可以获得直角的方法有:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,直径所对的圆周角是直角.
3.以圆为背景的求解题,往往转化成解双直角三角形或者相似三角形.K
重难点2 切线的判定
(20xx·
聊城)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆.
AC是⊙O的切线;
(2)已知⊙O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长.
【思路点拨】
(1)证AC是⊙O的切线,可转化为证OE⊥AC;
(2)求BC,AD的长可通过证明△BDE∽△BEC和△AOE∽△ABC.
连接OE.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.
∵BE平分∠ABC,∴∠OBE=∠CBE.
∴∠OEB=∠CBE.∴OE∥BC.
又∵∠C=90°
,∴∠AEO=90°
,即OE⊥AC.
又∵OE是⊙O的半径,∴AC为⊙O的切线.
(2)∵ED⊥BE,∴∠BED=∠C=90°
又∵∠DBE=∠EBC,∴△BDE∽△BEC.
∴
,即
.∴BC=
∵∠AEO=∠C=90°
,∠A=∠A,∴△AOE∽△ABC.
.∴AD=
【变式训练2】 (20xx·
安顺)如图,在△ABC中,AB=AC,点O为BC的中点,AC与半圆O相切于点D.
AB是半圆O所在圆的切线;
(2)若cos∠ABC=
,AB=12,求半圆O所在圆的半径.
作OE⊥AB于点E,连接OD,OA.
∵AB=AC,点O是BC的中点,∴∠CAO=∠BAO.
∵AC与半圆O相切于点D,∴OD⊥AC.
又∵OE⊥AB,∴OD=OE,即OE是半圆O所在圆的半径.
∴AB是半圆O所在圆的切线.
(2)∵AB=AC,点O是BC的中点,∴AO⊥BC.
在Rt△AOB中,OB=AB·
cos∠ABC=12×
根据勾股定理,得OA=
=4
∵S△AOB=
AB·
OE=
OB·
OA,
∴OE=
,即半圆O所在圆的半径为
1.证明某条直线是圆的切线的方法:
(1)若这条直线经过圆上一点,需证明这条直线和经过这一点的半径垂直;
(2)若没有明确直线经过圆上一点,需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径.
2.不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和.
重难点3 三角形的内心与外心
如图,点O为锐角△ABC的外心,四边形OCDE为正方形,其中E点在△ABC的外部,判断下列说法正确的是(B)
A.点O是△AEB的外心,点O是△AED的外心
B.点O是△AEB的外心,点O不是△AED的外心
C.点O不是△AEB的外心,点O是△AED的外心
D.点O不是△AEB的外心,点O不是△AED的外心
【变式训练3】 如图,若点O是AB的中点,且点O不是一个三角形的外心,则这个三角形可以是(B)
A.△ABCB.△ABEC.△ABFD.△ABD
【变式训练4】 如图,⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等,则下列说法正确的是(A)
A.点O是△ABC的内心B.点O是△ABC的外心
C.△ABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形
【变式训练5】 如图,△ABC的外心坐标是(B)
A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-2,-2)D.(-1,-1)
1.判断点是某个三角形的外心,只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可;
判断点是某个三角形的内心,只需说明点到此三角形三边的距离相等即可.
2.三角形的内心是三角形角平分线的交点,又是三角形内切圆的圆心;
三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点,又是三角形外接圆的圆心.它是串联圆与三角形之间的关键点,可以利用它从一个图形过渡到另一个图形.
重难点4 切线长定理
如图,△ABC是一张周长为17cm的三角形纸片,BC=5cm,⊙O是它的内切圆,小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为(B)
A.12cmB.7cmC.6cmD.随直线MN的变化而变化
【思路点拨】 由切线长定理,可将△AMN的周长转化成求AD+AE的和,而BD+CE的和等于BC.
【变式训练6】 如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B,C是切点,A,D是⊙O上两点.若∠E=46°
,∠DCF=32°
,则∠A的度数是99°
.
1.由切线长定理及三角形周长可得:
①AD=
C△ABC-BC;
②BD=
C△ABC-AC;
③CE=
C△ABC-AB.
2.若已知三角形的内切圆及切点,求线段的长或周长时,往往用到切线长定理.
1.已知⊙O的半径为6,圆心O到直线l的距离为10,则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(D)
2.已知⊙O的半径是3,点P在圆内,则线段OP的长可能是(A)
A.2B.3C.4D.5
宜昌)如图,直线AB是⊙O的切线,C为切点,OD∥AB交⊙O于点D,点E在⊙O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为(D)
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
河北模拟)九个相同的等边三角形如图所示,已知点O是一个三角形的外心,则这个三角形是(C)
A.△ABCB.△ABEC.△ABDD.△ACE
5.(20xx·
保定模拟)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(B)
A.相切B.相交C.相离D.无法确定
6.(20xx·
烟台)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°
,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为(C)
A.56°
B.62°
C.68°
D.78°
7.(20xx·
石家庄×
×
区模拟)如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,点M,N,O均为格点,点N在⊙O上.若过点M作⊙O的一条切线MK,切点为K,则MK=(B)
A.3
B.2
C.5D.
8.(20xx·
烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立平面直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-1,-2).
9.(20xx·
安徽)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与⊙O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE=60°
10.(20xx·
邵阳)如图所示,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平分∠ABD.求证:
CD为⊙O的切线.
证明:
∵BC平分∠ABD,
∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠DBC.∴OC∥BD.
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径,
∴CD为⊙O的切线.
11.(20xx·
黄冈)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
∠CBP=∠D;
(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.
连接OB.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°
∴∠A+∠D=90°
∵BC为切线,
∴OB⊥BC,即∠OBC=90°
∴∠OBA+∠CBP=90°
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA.∴∠CBP=∠D.
(2)∵OP⊥AD,
∴∠POA=90°
∴∠P+∠A=90°
.∴∠P=∠D.
又∵∠A=∠A,
∴△AOP∽△ABD.
∴BP=7.
12.(20xx·
荆门)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,3),C(4,3),I是△ABC的内心,将△ABC绕原点O逆时针旋转90°
后,I的对应点I′的坐标为(A)
A.(-2,3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(2,-3)
提示:
I(3,2).
13.(20xx·
台州)如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E.将△BDE沿直线DE折叠,得到△B′DE,若B′D,B′E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是(D)
A.△ADF≌△CGE
B.△B′FG的周长是一个定值
C.四边形FOEC的面积是一个定值
D.四边形OGB′F的面积是一个定值
连接OA,OC,易证△DOF≌△GOF≌△GOE,△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,△ADF≌△CGE,故选项A正确;
∵△DOF≌△GOF≌△GOE,∴DF=GF=GE.∴△ADF≌△B′GF≌△CGE.∴B′F=AF,B′G=CG.∴C△B′FG=FG+B′F+B′G=FG+AF+CG=AC(定值),故选项B正确;
S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=
S△ABC(定值),故选项C正确;
S四边形OGB′F=S△OFG+S△B′GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG,过点O作OH⊥AC于点H,∴S△OFG=
FG·
OH,由于OH是定值,FG变化,故△OFG的面积变化,从而四边形OGB′F的面积也变化,故选项D错误.
14.(20xx·
南京)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切,切点为E,边CD′与⊙O相交于点F,则CF的长为4.
连接OE,延长EO交CD′于点G,则OE=OC=2.5.∴OG=EG-OE=1.5.∴CG=
=2.∴CF=2CG=4.
15.【分类讨论思想】
(20xx·
宁波)如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为3或4
分两种情况讨论:
①当⊙P与直线CD相切时,BP=3;
②当⊙P与直线AD相切时,PB=4
16.(20xx·
扬州)如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(2)若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在
(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
作OH⊥AC于点H.
∵AB=AC,AO⊥BC,
∴AO平分∠BAC.
又∵OE⊥AB,OH⊥AC,
∴OH=OE,即OH为⊙O的半径.
∴AC是⊙O的切线.
(2)∵点F是OA的中点,
∴OA=2OF=2OE=6.
又∵OE=3,
∴∠OAE=30°
,∠AOE=60°
∴AE=3
∴S阴影=S△AOE-S扇形EOF
3×
3
-
(3)作F点关于BC的对称点F′,连接EF′交BC于点P,此时PE+PF最小.
∵OF′=OF=OE,∴∠F′=∠OEF′.
∵∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°
,
∴∠F′=30°
.∴∠F′=∠EAF′.
∴EF′=EA=3
,即PE+PF最小值为3
在Rt△OPF′中,OP=tan30°
·
OF′=
在Rt△ABO中,OB=tan30°
OA=2
∴BP=2
.
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